III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска), страница 5

В свою оче- С' ~ в" редь, отрезок ОС" является диагональю параллелограм- С В' с" ма ОА'С"В', так что ОС'= — — Ф О А А' = ОА'+ОВ'. Значит, Рис. 1.1З у / ОР = ОА'+ ОВ'+ ОС'. — + Остается заметить, что пары векторов Оч ~ О и ОА', ОМ ~ О и ОВ', ОС ~ 0 и ОС' коллннеарны, и, следовательно, — > можно подобрать коэффициенты о, )1, т так, что ОА'= аОА, к6. Базис ОВ' = ~ЗОВ и ОС' = ТОО. Окончательно получаем ОИ = оОА+ ДОМ+ уОС!. Следовательно, вектор Осе выражается через остальные три вектора, а все четыре вектора, согласно теореме 1.3, линейно зависимы.

> 1.6. Базис Аналогично трем моделям геометрии 1геометрии на прямой, на плоскости и в пространстве) мы рассмотрим три множества свободных векторов, или, как говорят, три пространства векторов: пространстпво Ъ; всех каалинеарных между собой векторов, т.е. параллельных некоторой прямой, простпранстпво 1' всех компланарных между собой векторов, т.е. параллельных некоторой плоскости, и простпранстпво Ъ' всех свободных векторов. Рассмотрим пространство т1. Любой нендлевой вектор пространства $'~ называют базисом в $~м Любые два вектора этого пространства, будучи коллинеарными, линейно зависимы,т.е. один из ннх может быть получен из другого умножением на число. Выберем и зафиксируем в Кт базис, т.е.

вектор е ф. О. Тогда любой вектор к Е 1ет представляется в виде х = Ле. Это равенство называют разложением вектпора к в базисе е, а число Л вЂ” координатной вентпора к в этом базисе. Отметим, что коэффициент Л при этом определен однозначно. Действительно, этот коэффициент равен Л = ~~кие(, причем выбирают знак плюс, если векторы к и е однонаправлены, и знак минус в противоположном случае. Рассмотрим пространство 1з. Любую дпорлдоченндю пард неколлинеарных векторов в пространстве 1з называют базасом в 1ез. Выберем в этом пространстве базис, т.е.

два неколлинеарных вектора ем ез. Согласно теореме 1.5, эти два 2 анелитичеекее еееаетрия 34 ь линейные ОпеРАЦии ИАД ВектОРАми вектора и любой третий вектор к, будучи компланарными, линейно зависимы. Поэтому один иэ них является линейной комбинацией двух других. При этом можно утверждать, что вектор х выражается через е1 и ег.

Действительно, запишем линейную комбинацию этих векторов (1.3) ох+ 131ег + дгег — — О, в которой один из коэффиииеннгов не равен нулю. Сразу делаем вывод, что а ~ О, так как в противном случае в равенстве (1.3) слева можно опустить первое слагаемое, и мы получим, что векторы ем ег линейно зависимы. Но этого быть не может, так как они неколлинеарны (см. теорему 1.4). Так как о ф О, мы можем разделить равенство (1.3) на а.

В результате, перенося последние два слагаемых в правую часть, получаем представление вида ж = Л1ег + Лгег, (1.4) которое называют разложением векогора ж в базисе еы ег, а коэффициенты Лм Лг этого представления — координангами векигора ж в базисе еы ег.

Отметим, что в представлении (1.4) коэффициенты Л1 и Лг определены однозначно. Это можно обосновать, анализируя доказательство теоремы 1.5 (используемый в доказательстве' параллелограмм однозначно определен диагональю и прямыми, на которых лежат смежные стороны). Однако то же можно установить, используя лишь факт линейной независимости векторов е, и ег. В самом деле, если есть два представления к = Л ге г + Лгег = 1гг ег + игег то, перенеся в последнем равенстве все слагаемые влево и используя свойство 8' (см. с. 23) дистрибутивности умножения вектора на число относительно чисел, получим (Л1 — Рг)ег + (Лг — 1гг)ег = О.

35 Коэффициенты в этом равенстве слева равны нулю, так как векторы еы ез линейно независимы (они неколлинеарны, см. теорему 1.4). Таким образом, Л> —— пы Лз = дз, и два взятых нами представления вектора т совпадают. Рассмотрим пространство Ъз. Любую упорядоченную тройку некомпланарных векторов называют бозисоля в 1>з. Выберем в кз базис, т.е. любые три некомпланарных вектора еы ез, ез. Эти три вектора с добавленным к ним произвольным четвертым вектором ж линейно зависимы (см.

теорему 1.6). Можно доказать так же, как мы это делали в случае пространства Гг, что вектор ж является линейной комбинацией векторов ем ег> ез: ж = Л> е> + Лгег + Лзез. (1.5) При этом коэффициенты в представлении (1.5) определены однозначно, так как векторы еы ез, ез линейно независимы. Представление вектора ж в виде (1.5) называют розложенмеля еекявора и базисе еы ез, ез, а коэффициенты Лы Лз и Лз разложения — моординатпамм еемтпора ю в базисе еы ез, ез. Векторы в базисах пространств 1з и Рз, согласно определению базисов, являются упорядоченными. Порядок векторов в базисе устанавливает порядок среди координат любого вектора, и поэтому координаты всегда считают тоже упорядоченными. Если базис, например, в пространстве $з фиксирован, то каждому вектору из Ъз соответствует единственная упорядоченная тройка чисел, составленная из его координат.

Кроме того, каждой упорядоченной тройке чисел соответствует единственная линейная комбинация векторов базиса, т.е. вектор из Ъз, координаты которого совпадают с этой тройкой чисел. Поэтому, если базис фиксирован, то векторы можно рассматривать как упорядоченные наборы их координат в этом базисе. Эту возможность часто используют, отождествляя векторы с упорядоченными наборами их координат. Например, если вектор ж из Ъз в бази~е е>, ез, ез имеет разложение а = 2е~ + Зез — 4ез, то этому вектору соответствует упорядо- 36 ь Линейные ОпеРАЦии нАД ВектОРАми ченная тройка его координат, которую часто записывают так: (2; 3; -41.

Более того, отождествляют вектор с упорядоченной тройкой координат и пишут х = (2; 3; -4), вкладывая в это равенство указанный выше смысл. Итак, если базис в пространстве Ъ~, $г или Ъз фиксирован, то любой вектор из этого пространства однозначно определен своими координатами, записанными в порядке следования векторов базиса. Поэтому можно сказать, что координаты вектора являются представлением, или „изображением", этого вектора в данном базисе. 1.7. Вычисления в координатах Выясним, что происходит с координатами векторов при выполнении линейных операций.

Теорема 1.7. При сложении двух векторов их координаты в одном и том же базисе складываются. При умножении вектора на число координаты этого вектора умножаются на это число. ~ Для простоты остановимся, например, на пространстве $'з. Фиксируем в Уз базис ем ег, ез. Возьмем два произвольных вектора х и у и запишем их разлогкеиия в выбранном базисе: х = хгег+ хгег+ хзез> у = угег +угег+ узез. Используя свойства линейных операций, вычисляем сумму этих векторов: х+ у = (хгег + хгег+ хзез) + (угег + угег+ улез) = = (хг + уг)ег + (хг + уг) ег + (хз + уз)ез.

Мы получили разложение суммы векторов в фиксированном базисе. Отсюда заключаем, что координаты х; и у; исходных слагаемых, соответствующие одному вектору е; в базисе (г = = 1,2,3), складываются. 37 К 7. Вычислении в координатах Аналогично с учетом свойств линейных операций имеем Лх = Л(хьеь + хгег + хзез) = (Лхь)еь + (Лхг)ег + (Лхз)ез В итоге получаем разложение вектора Лх в фиксированном базисе.

Из этого разложения видим, что каждая из координат исходного вектора х умножена на число Л. > Разложение вектора в базисе имеет простой геометрический смысл. Рассмотрим, например, пространство $7з. Разложение вектора Н в базисе, скажем а, Ь, с, показано на рис. 1.13. Координатами вектора д будут отношения оа — ~ ~ аЬ вЂ” ~ 1 ос — ~ ~ОА') ~ОВ'~ ~ОС'~ ~ОА~ ' ~ОВ~ ' ' !ОС~ ' где знаки выбирают в зависимости от того, является соответ— + ствующая пара ноллинеарных векторов (например, ОА и ОА' для И ) однонаправленной или нет.

Теорема 1.8. Для того чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их одноименные координаты в одном и том же базисе были пропорциональны. < Докажем теорему в случае пространства $7з. Фиксируем в 17з базис ем ег, ез. Рассмотрим разложения в выбранном базисе векторов х и у: х = х1еь + хгег+хзез, у = уье1+ угег+узез (1 6) Если одноименные координаты этих векторов пропорциональ- ны, т.е. существует такое Л б хь, что выполнены равенства х1 — — Луж хг — — Луг, хз —— Луз, (1.7) то х = хьеь + хгег + хзез = Луьеь + Лугег+ Лузез = = Л(У1еь+Угег+ Увез) = ЛУ и из теорем 1.3, 1А следует, что векторы х и у коллинеарны.

Достаточность условия доказана. Для доказательства его 38 Е ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ необходимости предположим, что векторы х и у коллинеарны. Но тогда по теореме 1.4 они линейно зависимы и в силу теоремы 1.3 один из них, например х, является линейной комбинацией „остальных", т.е. х = Лу. Подставляя в это равенство разложения (1.6), получаем хгег + хгег + хзез = Л(угег + угег + узез), или (хг — Луг)ег + (хг — Луг)ег+ (хз — Луз)ез = О.

А поскольку вектор О в любом базисе имеет нулевые координа- ты, то из последнего равенства следуют соотношения (1.7). > Следствие 1.1. Для того чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы отношения их одноименных координат в одном и том же базисе были равны. ~ Выражая Л из соотношений (1.7) и приравнивая полученные дроби, находим, что хг хг хз Уг Уг Уз (1.8) Пример 1.3. Пусть векторы еыег образуют базис в 1'г. Векторы а = 2ег — Зег, Ь = — ег + Зег линейно независимы, так как 2/( — 1) ф — 3/3.

Поэтому они тоже образуют базис в том же 1г. Найдем разложение в этом базисе векторов ег и с = Зег — бег. Чтобы найти разложение вектора еы вычислим сумму векторов а и Ь: а+Ь=ег. Следовательно, искомым разложением является ег = а+ Ь. Отметим, что в условии (1.8) в знаменателях дробей могут стоять нули, но при этом подразумевается, что и в числителб соответствующей дроби стоит нуль. Для пространства Ъг условие (1.8) сводится к равенству только первых двух дробей.

~ . 49 ь линейные ОпеРАции нАд ВектОРАми — е Г. (1.9) Аналогично вычисляют длину вектора из пространства $~г по его координатам х1, хг в ортонормированном базисе: Х !х! = Гх2+ хг, ж б Рг, (1.10) и длину вектора из $~1 с коорди- натой х1 в ортонормированном базисе: г Х,. Рис. 1.14 )х~ = ~/х1 —— )х1~, х Е Ъ'1. (1.11) Пусть ненулевой ее«тор х б $~з образует с направлениями векторов ортонормированного базиса г, у, Й углы а, Д и у соответственно. Величины сова, сояД, сову называют нпираеллго«4аиа «оси«усами ве«тпора х (рис. 1.15).

х Направляющие косинусы век-' 7 о В тора можно использовать при вычислении его координат. Если У ненулевой вектор х Е Рз имеет в О 1 ортонормированном базисе г, у, Й кооРДинаты (х1, хг, хз1 и направляющие косинусы сова, сое13, сову, то х1 = («~сова, хг = )х(сояА хз = ~х)соз у. (1.12) Используя формулу (1.9) для вычисления длины вектора, получаем ~х~~ = ~х~~сов~а+ ~х~~сое~б+ (х~~соя~у, ОХ, ОХь — это абсолютные значения координат вектора х = ОА в базисе г, у, Й. В результате получаем формулу для вычисления длины ве«тора х с координатами (х1, 'хг, хз) в ортонормированном базисе г, у, Й пространства Уз.' 41 Вопросы и задачи ткуда после сокращения на ~х! ~ О вытекает следующая формула связи для направляющих косинусов: соя а+соя~,9+соя~.у = 1.