III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска), страница 4

Если же у = — или а = О, то точка С совпадает с точкой А и вектор АС является нулевым вектором. Однако сон — = О, следовательно, и в этом случае утверждение теоремы справедливо. ~ Теорема 1.2. Ортогональная проекция суммы векторов на направление ненулевого вектора равна сумме их ортогональных проекций на направление этого вектора, а при умножении вектора на число его ортогональная проекция на направление ненулевого вектора умножается на то же число: пр~(а+ Ь) = прка+ пр~Ь, пр~(Ла) = Л прка.

!вк Лииейнвв зависимость и иеэввисимость векторов 27 ~ Доказательство следует из рис. 1.11. В случае а имеем пр, а = ~АВ~, пр! Ь = — ~ВС~, пр!1а+ Ь) = )АС( = ~АВ) — ~ВС). В случае б пр1а = !АВ~ и, если Л > О, пр!(Ла) = ~АЕ~ = Л!АВ/. Остальные варианты 1точка С не принадлежит отрезку АВ в случае в, Л ( О в случае б) рассматриваются аналогично, !ь А Е В 1 м Рис. 1.11 1,5. Линейная зависимость и независимость векторов о;а; = о!а! +...

+ ова„, Е 1=1 (1.1) где о1, ..., о„— произвольные действительные числа. Это выражение называют линейной комбинацией вектпоров а!, ..., а„. Числа о;, г = 1, п, представляют собой козффициекпты линейкой комбинации. Набор векторов называют еще систпемой век!воров. Введенные нами линейные операции над векторами дают возможность составлять различные выражения для векторных величин и преобразовывать их при помощи установленных для этих операций свойств. Исходя из заданного набора векторов а1, ..., а„, можно составить выражение вида 28 ь линейные ОпеРАции нАд ВектОРА ми В связи с введенным понятием линейной комбинации векторов возникает задача описания множества векторов, которые могут быть записаны в виде линейной комбинации данной системы векторов аы ..., а„.

Кроме того, закономерны вопросы об условиях, при которых существует представление вектора в виде линейной комбинации, н единственности такого представления. Если каждый вектор может быть представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов и притом единственным способом, то мы можем интерпретировать вектор как набор коэффициентов соответствующей линейной комбинации. Тогда взаимосвязи между геометрическими объектами— векторами — будут представлены некоторыми числовыми соотношениями, а мы получим возможность изучать свойства векторов и других геометрических объектов алгебраическими методами. Определение 1.8. Векторы аы ..., а„называют лннейно зависимыми, если существует такой набор коэффициентов аы ..., а„, что а1а1+...

+ о„а„= О (1.2) и при этом хотя бы один из этих коэффициентов ненулевой. Если указанного набора коэффициентов не существует, то векторы называют линейно независимымн. Если о1 = ... = а„ = О, то, очевидно, а1а1 + ... + а„а„ = = О. Имея это в виду, можем сказать так: векторы аы ..., а„линейно независимы, если из равенства (1.2) вытекает, что все коэффициенты аы ..., а„равны нулю. Следующая теорема поясняет, почему новое понятие названо термином „зависимость" (или „независимость" ), и дает простой критерий линейной зависимости.

Теорема 1.3. Для того чтобы векторы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один нз них являлся линейной комбинацией остальных. 1.5. Линейная зависимость и независимость векторов 29 < Необходимость. Предположим, что векторы а1, ..., а„ линейно зависимы. Согласно определению 1.8 линейной зависимости, в равенстве (1.2) слева есть хотя бы один ненулевой коэффициент, например о1. Оставив первое слагаемое в левой части равенства, перенесем остальные в правую часть, меняя, как обычно, у них знаки. Разделив полученное равенствог на аы получим стг оо а1 — — — — аг — ". — — а„, о1 ст1 т.е.

представление вектора аг в виде линейной комбинации остальных векторов аг, ..., а„. Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть, например, первый вектор а1 можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов: а =Дгог+".+деон. Перенеся все слагаемые из правой части в левую, получим а1 — 13гаг — ... — 11„а„= О, т.е. линейную комбинацию векторов а1, ..., оа с коэффициентами о1 = 1, сег — — -~3г, ..., а„= — ~9„, равную нулевому вектору.

В этой линейной комбинации не все коэффициенты равны нулю. Согласно определению 1.8, векторы о1, ..., а„ линейно зависимы. ~ Определение и критерий линейной зависимости сформулированы так, что подразумевают наличие двух или более векторов. Однако можно также говорить о линейной зависимости одного вектора. Чтобы реализовать такую возможность, 2 У нас нет такой операции „деление вектора на число".

Поэтому формально вместо „разделим равенство на число о~" мы должны были бы говорить „умножим равенство на число 1/о1". Однако подобная педантичность усложняет изложение, в то время как формально не определенное понятие деления достаточно очевидно. зо Е ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ нужно вместо „векторы линейно зависимы" говорить „система векторов линейно зависима". Нетрудно убедиться, что выражение „система из одного вектора линейно зависима" означает, что этот единственный вектор является нулевым (в линейной комбинации имеет~я только один коэффициент, и он не должен равняться нулю). Понятие линейной зависимости имеет простую геометрическую интерпретацию. Эту интерпретацию проясняют следующие три утверждения.

Теорема 1.4. Два вектора линейно зависимы тогда н только тогда, когда они коллинеарны. м Если векторы а и Ь линейно зависимы, то один из них, например а, выражается через другой, т.е. а = ЛЬ для некоторого действительного числа Л. Согласно определению 1.7 произведения вектора на число, векторы а и Ь являются коллинеарнымн. Пусть теперь векторы а и Ь коллинеарны. Если они оба нулевые, то очевидно, что они линейно зависимы, так как любая нх линейная комбинация равна нулевому вектору.

Пусть один из этих векторов не равен О, например вектор Ь. Обозначим через Л отношение длин векторов: Л = ~а~/(Ь|. Коллинеарные векторы могут быть однонаправленны.ни илн противоположно направленными. В последнем случае у Л изменим знак. Тогда, проверяя определение 1.7, убеждаемся, что а = ЛЬ. Согласно теореме 1.3, векторы а и Ь линейно зависимы. ~ь Замечание 1.5.

В случае двух векторов, учитывая критерий линейной зависимости, доказанную теорему можно переформулировать так: два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда один из них представляется как произведение другого на число. Это является удобным критерием коллинеарности двух векторов. Теорема 1.5. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они номпланарны. Ьв. Линейная зависимость и независимость векторов 31 м Если три вектора сс, Ь, с линейно зависимы, то, согласно теореме 1.3, один из них, например а, является линейной комбинацией остальных: а = ВЬ + ус. Совместим начала векторов Ь и с в точке А. Тогда векторы ВЬ, ус будут иметь общее начало в точке А и по правилу параллелоерамма их сумма, т.е.

вектор сь, будет представлять собой вектор с началом А и концом, являющимся вершиной параллелограмма, построенного на векторах-слагаемых. Таким образом, все векторы лежат в одной плоскости, т.е. компланарны. Пусть векторы а, Ь, с компланарны. Если один из этих векторов является нулевым, то очевидно, что он будет линейной комбинацией остальных.

Достаточно все коэффициенты линейной комбинации взять равными нулю. Поэтому можно считать, что все три вектора не являются нулевыми. Совместим начала этих векторов в общей точке О. Пусть их концами будут соответственно точки А, В, С (рис. 1.12). Через точку С проведем прямые, параллельные прямым, проходящим через пары точек О, А и О, В. Обозначив точки пересечения через А' и В', получим параллелограмм ОА'СВ', следовательно, — Ф ОС =ОА'+ОВ'.

Вектор ОА' и ненулевой вектора =О ч коллинеарны, а потому первый из них может быть получен умножением второго на действительное число ос ОА' = сяОА. Аналогично ОВ' = РОИ, 11 Е К. В результате получаем, что ОС = сеОА + ~ЗОВ, т.е. вектор с является линейной комбинацией векторов сь и Ь. Со- о А А' гласно теореме 1.3, векторы а, Ь, с Рис. 1.12 являются линейно зависимыми. ~ Теорема 1.6. Любые четыре вектора линейно зависимы. ~ Доказательство проводим по той же схеме, что и в теореме 1.5. Рассмотрим произвольные четыре вектора а, Ь, с и Н.

32 Ь ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ Если один из четырех векторов является нулевым, либо среди них есть два коллинеарных вектора, либо три из четырех векторов компланарны, то эти четыре вектора линейно зависимы. Например, если векторы о и Ь коллинеарны, то мы можем составить их линейную комбинацию па Ь рЬ = 0 с ненулевыми коэффициентами, а затем в эту комбинацию добавить оставшиеся два вектора, взяв в качестве коэффициентов нули. Получим равную О линейную комбинацию четырех векторов, в которой есть ненулевые коэффициенты.

Таким образом, мы можем считать, что среди выбранных четырех векторов нет нулевых, никакие два не коллинеарны и никакие три не являются компланарными. Выберем в качестве их общего начала точку О. Тогда концами векторов а, Ь, с, д будут некоторые точки А, В, С, Р (рис. 1.13). Через точку Р проведем три плоскости, параллельные плоскостям ОВС, ОСА, ОАВ, и пусть А', В', С' — точки пересечения этих плоскостей с прямыми ОА, ОВ, ОС соответственно. Мы получаем параллелепипед ОА'С"В'С'В"РА", и векторы а, Ь, с лежат на ребрах параллелепипеда, выходящих из вершины О. Так как четырехугольник ОС"РС' является параллелограммом, то ОВ = А" = ОС'+ ОС~.