Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике, страница 58

— (Р, + Я) бур — — О. Но л х„= — хд = е -' а яп ~р, уд = уд = а соз <р и ур — Ь з|п <р+ —, 2' откуда бхд=- — бхд =асоз<рбр, буд — — буд = — аяп <убор, бур — — Ь соыр б~р. КРоме того, /с =хд — — е+а Яп ~9 и, следовательно, Ров =- = Р, ~ = — /!г»' = — (е+ а з|п <р) а*. ц а Таким образом, уравнение Даламбера — Лагранжа принимает вид 2 — (е+а ып~9) ы'а соз~р+2Ра яп р — (Р, + Я) бсср) Ьр=О.

Отсюда, учитывая, что брчьО, находим ЬЯсоз~р=2Ра( ' ~в*сову (-э|игр) — ЬР, соз~р; следовательно, () = 2Р— ( ч га'+ тй у1 — Р . Определив („), нетрудно найти жесткость с пружины. Действительно деформация пружины ).=!,— (! — Й вЂ” Ь з)пгр), поэтому О О е х / — !+л+л зт р Задачи типа l/ (задачи 930, 943 — 948) Пример !83.

Через блоки А и В с неподвижными осями переброшен шнур, поддерживающий подвижной блок С, части шнура, не лежащие на блоках, вертикальны. Блок С нагружен гиреи весом Р=до и ~ к концам шнура прикреплены грузы весом Р,=-20 и а Р,=-ЗО и. Определять ускорения всех трех грузов, пренебрегая массой блока и шнура и трением на осях (рис 221). Р е ш е н и е, Располагая координатные оси, как указано па рис. 221, применяем общее уравнение динамики в форме (244), которое в данном случае принимает вид (Р— — в) бх 1- (Р, — — ' в,) бх, + (Р,— — ' в,) бх,= О, где в, в„в,— проекции искомых ускорений грузов на ось х.

Учитывая, что длина шнура постоянна, очевидно, имеем х, + 2х + х, = сопз1. Таким образом, трн координаты х, х, и х„определяющие положение данной системы (предполагается, что все грузы перемещаются прямолинейно), связаны одним условием, следовательно, данная система имеет две степени своооды. Варьируя последнее равенство, вариаци- находим зависимость между ями координат трех грузов: Ьх,+2бх+бх,=О, отсюда Ьх = — —, (Ьх, + бх,). ! Подставляя это значение бх в уравне- ние Даламбера — Лагранжа и вынося за скобки множители бх, и Ьх„полу- чим ( Р, РРР— — 'в — — + — в1бх + д ' 2 2з ) 1 Р, Р Р +(Р— — *в — + — в)бх =О.

2 2х ) д' Рис 221 или, подставляя данные числовые значения весов, в — в, =О, 2в — Зв,= — д, Отсюда 2 в,= и в= — вт —. з з' Это уравнение имеет место при любых, независимых друг от друга значениях вариаций Ьх, и бх„а это возможно лишь при условии, что коэффициент при каждой из этих вариаций равен нулю. Следовательно, должно быть: Р1 — — — = — — - 1 — — *в»= —— а 2 м Чтобы получить третье уравнение для определения трех искомых ускорений, продифференцируем дважды по ! уравнение х,+2х+х,=сонэ(. Тогда имеем У~, гр»,!'х — '+2 — + — '=О и!' Вн и!» и!, + 2 ге + гв, = О.

Подставляя с!ода значения и!, и гз„получаем 2 ел + 2щ + —, !р + а = О. з з Отсюда находим !и = —— з Н и, следовательно, Ю я !! 2 д 3 01 — = — 0 зз з Отрицательное значение ускорений»з и ю, указывает на то, что их направление совпадает с отрицательным направлением оси х, т. е. что зти ускорения направлены вверх. $4. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА Н РОДА (ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ) Обоби4енными координатали механической системы называются независимые друг от друга параметры, при помощи которых можно определить в каждый данный момент положение этой системы и через которые, следовательно, можно выразить декартовы координаты всех ее точек.

Таким образом, если обозначим й обобщенных координат Ч„Ч„..., Ч», то декартовы координаты каждой материальной точки М, (х„у„г,) системы можно выразить как функции параметров Ч„Ч„Ч„..., Ч и времени г', т. е. хг=х,(Ч„Ч„Ч,...,, Ч, !), д,=У (Ч, Ч„Ч„..., Ч», !), (ю=( 2 ... л). (245) г, =г (Ч~ Ч, Ч, ° ° ° Чм г). Если связи, наложенные па систему, являются стационарными, то время ! в правые части этих уравнений не войдет. Число а независимых обобщенных координат равно числу степеней свободы данной системы.

В соответствии с числом независимых ебобщенных координат, т. е. с числом степенен свободы данной механической системы, имеем для нее й уравнениИ Лагранж» 11 рода: (246) Л ч-~ !а ! ! где кинетическая энергия системы Т= ~— 1=3 силы, которые определяются — так называемые о б о б щ е н н ы формулами и ~-~~ (д ах! дя, дг, ~ !=з (247) и ! — ! Производные д„д„... д„от обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями.

Уравнения Лагранжа Н рода представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций !7„г(„.. д». Для того чтобы составить эти уравнения, кинетическую энергию Т системы необходимо выразить через обобщенные координаты и обобщенные скорости. Обобщенные силы можно вычислять одним из следующих способов: а) непосредственно по формулам (247), б) чтобы найти обобщенную силу Яг, соответствующую обобщенной координате д, нужно данной механической системе сообщить такое возможное перемещение, при котором изменяется только одна координата д,, а все остальные обобщенные координаты остаются неизменными; затем составить сумму л элементарных работ ~~',6А!, всех заданных сил на этом пере<=з мещении и разделить эту сумму на вариацию бдя т.

е. ~' ьл!! (~= (, 2, ° й), (248) ~l в) в частном случае если система находится под действием сил, имеющих потенциал, то обобщенные силы определяются по аав формулам О = — =— ду эп (249) дд дтт ' где У вЂ” силовая функция, П вЂ” потенциальная энергия системы, т. е. обобщенная сила равна частной производной от силовой функции или взятой с обратным знаком частной производной оп1 потенциальной энергии системы по соответствующей обобщенной координате.

При вычислении обобщенных сил по формулам (249) необходимо предварительно силовую функцию или потенциальную энергию системы выразить через обобщенные координаты этой системы. Интегрируя систему уравнений Лагранжа, находим обобщенные координаты д„ д„ ... д каь функции времени 1 и 2н произвольных постоянных С„ С„ ... С„, определяемых начальными условиями движения системы. Задачи на применение уравнений Лагранжа в большинстве случаев можно отнести к одному из следующих типов: 1. Задачи, в которых требуется только составить дифференциальные уравнения движения системы. П. Задачи, в которых требуется определить ускорения (линейные или угловые).

П!. Задачи, относящиеся к малым колебаниям системы. Задачи каждого из этих типов можно разделить на две группы в зависимости от того, рассматривается ли в данной задаче система с одной степенью свободы или с числом степеней свободы, большим единицы, Задачи типа ! Первая группа (закачн 1190, 1193, 1194, 1190, 1197, 1201, 1303 — 1303) Пример 184. Кулачок, имеющий форму круглого эксцентрика радиуса 1с, вращается вокруг оси О парой снл с моментом М (рис. 222). Вес кулачка равен Р, и центр тяжести его находится в геометрическом центре С„причем ОС,=е; радиус инерции кулачка относительно оси О равен й.

Жесткость пружины, прижимающей тарелку толкателя к кулачку, равна с и прн наинизшем положении толкателя (0=0) пружина сжата на величину Х,. Принимая угол поворота ~р кулачка за обобщенную координату, составить дифференциальное уравнение движения системы. Трением пренебречь. Вес толкателя равен Р,.

Решение. Движение системы определяется одним уравнением (а) Варьируем координату ф и определяем сумму виртуальных работ действующих на систему активных сил: ~~ бл = Мбф — Р,бу, — Р,бу,— Рбу,. Но на основании равенств (б) имеем бу,=ез(пф бф; бу,=сыпфбф Таким образом, ~я,бЛ = Мбф — (Р, -ь Р,+с(Х, + е— — е сов ф)) е з!пфбф. Отсюда находим обобщенную силу системы, соответствующую обобщенной координате ф: Рис 222 ()= дА =М (Р,+Р,+с(Х,+е — есоьф))ез)пф, (д) ~6А Учитывая равенства (в), (г) и (д), уравнение (а) но кно предста- зва Кинетическая энергия Т системы слагается из кинетической энергии Т, кулачка и кинетическои энергии 7, толкателя, причем д,э' Р, , ф* Р, дв 2 у 2 Кроме того, у,, = у, = — ОС, соз р= — есозф1 Ус. = у, =)с — е созф-)-сопз(. (б) Учитывая, что у,=ез)пф ф, получаем Т= Г +Т = — ' й'~ + — е' г~ф* = — (Р й'+Р е'в(п'ф) ф'1 — 1 (Р,й'+ Р,е' з)п'ф) ф; дч /дТ) 1,,, 1 )— — ( — ) = — (Р я' + Р е' з(п' ф) ф 4- — Р е' з(п 2ф ф'1 (в) дТ 1 — =,— Р е'з(п 2ф ф'.

дф 22 (г) Переходим к определению обобщенной силы, соответствующей обобщенной координате ф. Кроме движущего момента М, на систему действуют веса Р, и Р, кулачка и толкателя, а также сила Р упругости пружины. Последняя направлена вертикально вниз и по модул1о определяется так: Р = с (Х, + е — е сов ф) вить в следукицем виде: (Р,й*+ Р,е* з!и* !у) !р 1 0,5Р,е'зт 2!!з зр' Р +(Р,+Р,+с(Х, +е — есоз»УЯса з!пчз=Мд. Вторая группа (задачи 12!О, 1213, 1214, !216, 1221) Пример 185. На шкив радиуса г намотана нить, к концу которой подвешен точечный груз весом Р =тп, где и — масса груза (рнс. 223), К шкиву приложен вращающий момент М, при помощи которого этот груз поднимается, раскачиваясь в то же время в вертикальной плоскости. Составить дифференциальные уравнения движения системы, если момент инерцви шкива относительно его оси равен (, и длина свисающей части нити при ее вертикальном положении в начальный момент равна 1,.

Решение. Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат принимаем Рис 223 угол чз поворота шкива и угол зр отклонения нити ог вертикали. Тогда движение системы определяется уравнгниями (а) Расстояние от точки В подвеса грузя до точки А набегания нити на шкив опредсляегся следующим образом: 1 = ВА = (, — ззр + гф Отсюда находим координаты точки В: х =1соь зр — г з!и з)'=((,— лр+гзр) соз ф — г з(п зр; у =1 3!и зр р и сов ф = (зз — гзт+Гзр) 5!и зр+ Г соз их (б) Кинетическая энергия системы слагается из кинетических энергий шкива и груза 1= 2 (з'Р 1 -пз(» РУ).

399 но на основании равенств (б) х= — лрсоз»р — (1,— г~р-р г»р) з)п»р»р; у = — лр з»и»р -) (1,— лр -'; пр) соь»р»р. Следовательно, Т= — '<р + — [г'гр" -[-(1 — г~р, г»р)у] Производим операции, указанные уравнениями (а): — = /,~р + тг»р = (,1, ». »пг )»р, дТ дз» Ы гдт') д»», д»р/ (/а+ лг ) р дТ д»р — = — тг(1,— лр+ г»р) ф'. дт — = т (1, — лр + г»р) ' 'ф. и»'дТ') а» '», д»р / — 1 — 1» = т (1 — лр + г»р)*»р -» + 2тг (1, — г»р+ г»р) (ф — гр)»р; дТ (1.— р-) г Р) Р* (в) (г) Варьируя координаты»р и»Р, находим сумму виртуальных работ сил, действующих на систему: ~", 6А = Мб»р -1 Рбх, но на основании уравнений (б) имеем дх дх бх = — б~р -)- — 6»р = — г соз»[»скр — (1 — лр -т- г»р) з\и ~[»-6»р. да» д»р о Таким образом, ~ 6А = (М вЂ” Рг соз»р) бр — Р (1,— лр+ лр) з1и»рб»р.