Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике, страница 54

Учитывая, что скорости грузов А и В параллельны оси у и что количество движения шкива равно нулю, так как его центр тяжести лежит на оси вращения, находим: К =О,К= — — и-,- — и, Р, Р, х ' Г х 1 Ьг ° ' Из этих уравнений получаем: Р, <Ь, Р,оо, — — 'ш,+ — 'ш,=Р,-(-Р, -(-Р—— и а ' Р,К'+Р,г'+Р,г'„„ Угловое ускорение шкива можно найти н по теореме о кинетическом моменте системы.

Применяя эту теорему по отношению к оси О, имеем: д~'= англ, (Р"') =гп,(Р,)+гп, (Р) = Р,Й вЂ” Р,г. (а) (Моменты внешней силы Р, и реакции в точке О относительно оси вращения шкива равйы, очевидно, нулю). Кинетический момент Е, данной системы относительно оси О равен сумме кинетических моментов шкива и двух грузов относительно той же оси. Следовательно, 1 =у а+.— 'я'в+ — 'г'ы= — 'г' в+ — ' К'е+ — 'г1ы= о О я ~, ин =(Р,Р'+ Р,г'-~ Р,г',„) †. Поэтому уравнение (а) принимает вид Р,й*+ Р,г~+ Р г~„аь а ш 1 а ' *"" — =Р й — Рг; отсюда йо Р,й — Р,г Р,й'+Р г'-~-Р,г'„„ Пример 173. Доска весом Р, лежит на двух цилиндрических катках радиусом г и весом Р, каждый.

Вся система движется под действием заданной горизонтальной силы Р, приложенной Яг Ряс 209 к доске; при этом предполагается, что катки катятся без скольжения и что скорость доски равна скорости катка в точке А. Найти ускорение доски и общую силу трения в точках А и В (рис. 209). Решение. Для определения ускорения в доски воспольвуемся, как и в предыдущей задаче, уравнением (227): ггT Ж вЂ” = ЕЖ. Так как доска движется поступательно, а движение катков является плоскопараллельным, то кинетическую энергию данной Збч системы находим пи формулам (229) и (231): где п — скорость доски, оо — скорость центра тяжести катка, в — угловая скорость катка, Уо — его момент инерции, относительно оси О, перпендикулярной к плоскости рисунка. Так как каток катится беэ скольжения, то точка А, есть его мгновенный центр вращения; отсюда следует, что оА-— -2г44, по=по и и гА о 2 2 Кроме того, 3о = — ' г, поэтому Р, 0 2д 2д ' ~2д4 4д 4~ 2 ~ '+4 Отсюда Так как силы Р, и Р, перпендикулярны к скоростям их точек приложения, а силы трения между катками и опорной !Д ! ! ! ! ! 4- Рис 2И ( Р, + — 'и Р,) — и! = Ро, откуда 4 т!.

4Р,+ЗР~' збэ плоскостью приложены в точках А, и В„скорости которых равны нулю, то работа каждои нз этих снл равна нулю. Сумма работ внутренних сил трения между доской и катками, приложенных в точках А и В, также равна нулю, так как доска не скользит по каткам. Поэтому работу производит только сила Г, мощность которой равна У= Ро. Следовательно, уравнение (227) принимает вид Гс! =Р Р р ~ — У +Лг Р где !(1, а У,— нормальные реакции катков, приложенные к доске в точках А и В (рис. 210).

Р, 4Ргл Но ы =сл н ж =О, поэтому Р,р — — Р— — 'п4 =Р— К у ьг 4Р, +ЗР ЗР,Р 4Р,+3Р,' '+ Если обозначим 1' коэффициент трения между доской и катками, то Р,р ~~У, и Р,р:а7У,. Отсгола слеДУет, что Ргр=Ртр 4-Ргр ~7()у,+У,), или 4Р, ЗР, г " ' ' Р,(4Р, ,'3Р,)' Такому условиит должен удовлетворять коэ4рфициент трения, чтобы доска не скользила по каткам. Таблица 20 Классификация задач Типы эадач и Задачи на применение теореиы об нэчененин кннегической энер. гни сьстечы, состоищсй иэ одного гела нли нескольнии тел Группы 1 Задачи на эычислеиие кинетической энергии (задачи 1040 — 10481 Задачи, решаемые прн помощи теоремы об изменении кинетической энергии в конечной форме (задачи 1053 — 1074] 1-я Задачи, ре!паемые прн помощи теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме 2-я Задачи, решаемые при помощи теоремы о зависимости между кинетической энергией системы н мощностью действующих на систему снл (задачи 932 — 934, 940 — 942, 109!) 3-я 370 Чтобы найти РавнодействУК4п(Ую Ргр снл тРениЯ Р,р и Р„р, прилаженных к доске в точках А н В, рассмотрим отдельно движение доски и составим уравнения движения ее центра тяжести С: Глава Ч ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА И ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ П ЕРЕМЕ ЩЕ Н И И й ц принцип длллмвснл для систсмы млтврилльных точки Если к каждой материальной точке движущейся системы приложить силу инерции этой точки, то все эти силы инерции будут уравновешиваться заданными силами н реакциями связей, приложенными к данной системе.

В этом и состоит сущность принципа Даламбера для системы. Таким образом, если заданную силу, приложенную к й-той точке механической системы, состоящей нз и материальных точек, обозначим Ё», реакцию связей, приложенную к той же точке, обозначим Ф„и силу инерции этой точки Р»"', то имеем: Ря+)Чя+Р1 =О (Л= 1, 2, ..., и). (232) При этом — ю (233) т. е. сила инерции материальной точки равна по модулю произведению массы этой точки на се ускорение и направлена противоположно этому ускорению.

Отсюда следует, что система заданных сил, реакций связей и сил инерции удовлетворяет уравнениям статики, т. е. сумма проекций всех этих сил на любую ось и сумма их моментов относительно любой точки или любой оси равна нулю. Таким образом, принцип Даламбера дает общий прием составления уравнений, необходимых для решения задачи динамики системы, причем этн уравнения имеют ту же форму, что и уравнения статики. Этот прием оказывается особенно полезным при решении тех задач, в которых требуется найти динамические реакции связей, т. е.

реакции, возникающие при движении системы. Задачи, относящиеся к этому параграфу, можно разделить на два основных типа: 1. Задачи, в которых силы, приложенные к каждому телу системы (заданные силы и реакции связей), и силы инерции, нх уравновешивающие, лежат в одной плоскости.

11. Задачи, в которых заданные силы, реакции связей и силы инерции, их уравновешивающие, образуют пространственную систему сил. Задачи типа 1 Так как в задачах этого типа рассматривается плоская система сил (заданные силы, реакции связей н силы инерции), находящихся в равновесии, то применяем три уравнения плос- кой статики два уравнения проекций и одно уравнение моментов. В частных случаях будем иметь только два из этих уравнений: два уравнения проекций (в случае сходящихся сил) или одно уравнение проекций и одно уравнение моментов (в случае параллельных сил). Если в задаче имеется система, состоящая из двух илн нескольких тел, то приходится, расчленив эту систему, составлять уравнения равновесия для каждого тела в отдельности, совершенно так же, как в статике. Задачи типа 1 можно разделить на три группы.

Первая группа К этой группе относятся задачи, в которых тела, входящие в систему (или одно тело), движутся поступательно. Решая эти задачи по принципу Даламбера, необходимо к каждой материальной частице движущегося тела приложить силу инерции этой частицы. Так как при поступательном движении тела все его точки имеют одно н то же ускорение в, то силы инерции материальных частиц тела будут в этом случае пропорциональны массам этих частиц, параллельны н направлены в одну сторону (противоположно ускорению ш), поэтому все эти силы инерции приводятся к одной равнодействую й силе, приложенной в центре тяэкести тела. Р"' = — Хтв = — мат = — Мв, где М вЂ” масса тела.

Игак, сила инерции поступательно движущегося тела равна по модулю произведению массы этого тела на его ускорение, направлена противоположно эпюму ускорению и приложена в центре тяжести тела. После того как в центре тяжести каждого поступательно движущегося тела мы приложим силу инерции этого тела, данная система, согласно принципу Даламбера, будет в равновесии. Поэтому для этой системы нужно составить уравнения равновесия и, решив их, найти те неизвестные величины, которые требуется определить в данной задаче. Обычно искомыми величинами в этих задачах являются ускорения тел и реакции связей.

Пример 174. Два груза А и В весом Р и 1г, связанные не- растяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок, вращающийся вокруг неподвижной оси О, могут скользить по граням неподвижной призмы, причем коэффициент трения равен ). Найти ускорение ш, с которым будут двигаться грузы, и силу натяжения нити, если углы а а р известны (рис. 211). Решение. Каждый из грузов А и В движ тся поступательно и прямолинейно. Допустим, что груз А опускается с ускорением в,. Так как грузы А и В связаны нерастяжимой нитью, то груз В будет подниматься с ускорением а,, равным по модулю ускорению в,, т.

е. ю,=ю,=ю. Применяя принцип Даламбера, приложим к грузу А силу инерции этого груза, равную по модулю Роя= — ю и направ- 1 л ленную противоположно ускорению а о а к грузу  — силу инерции, равную по модулю Р"'* — ю и направленную противоположно ускорению в,. Тогда, по принципу Даламбера, данная система будет находйться в равновесии. $' /6~ / 'х, Рис вы Расчленив эту систему, т.

е. перерезав нить, составим по два уравнения равновесия для каждого груза в отдельности. Для этого спроектируем все силы, прнложенны. к грузу А, т. е. силы Р, М„Р,р„Р~"', Т„на оси Ох, и Оу„а силы, приложенные к грузу В, т. е. силы ф, Ф„Рр„Р',", ҄— на оси Ох, и Оу,.

Здесь У, и М,— нормальные реакции граней призмы, Р„, и Р,,— силы трения, Т„Т,— реакции (силы натяжения) нити, приложенные соответственно к грузам А и В, причем Т, = Т, = Т. Тогда имеем для груза А: Р з)п а — Рта 1 Р1 (в> У,— Р сова =0; для груза В: )пр+Р,+ Р'," — Т=О, М,— Я совр =О. Из второго и четвертого уравнений находим: Ф = Р сов а, Ж, = Я соэ р. Следовательно, Р,„, =-)Ф, =1Р сози, Р,о, = )'Л', =- )О соз р. Подставив значения снл трения н сил инерции в первое н третье уравнения, получим: — ш + Т = Р з! и и — )' Р сов и = Р (з! п сс — )с соз а), Р К Т вЂ” ч се =- О з) и [] + я соз ~ = я (з[и ]) + Т соз ~).

К Отсюда находим: Р (в1п а — ( сов о) — ~7 (в(п р+ [ сов [)) "Рца ' а РЧ [в(па-|-Мп р — [(сова — совр)] 2Р(с, а-|-р Р+ () Р+() ' 2 о — р .. а — рх х ~ соз — +) з[п — ). 2 2 )' Вторая группа К этой группе относятся задачи, в которых тела, входящие в систему (или одно тело), имеют враи(ательное двилсение вокруг неподвижной оси. Ускорение каждой точки такого тела равно геометрической сумме касательного и нормального (центростремительного) ускорений. В соответствии с этим, решая задачу по принципу Даламбера, мы должны к кавкдой материальной частице вращающегося тела приложить две силы инерции частицы.