Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы, страница 7

Подставляя (8) в (7), получим квадратное уравнение ЬЧ' — еЧ+ а=О, (9) которое называется характеристическим уравнением, соотвегсгвуюи(им раэностному уравнению (7). В зависимости от знака дискримиианта с' — 4аЬ могут представиться три различных случая.

Если с'>4аЬ, то корни с+ Р сх — 4пЬ с — 1' с' — 4аЬ Чг= 2Ь Чх = 2Ь уравнения (9) вещественны и различны. В этом случае разиостиое уравнение (7) имеет частные решения У/ =Ча У/ =Ча. 1м / св / (11 ) Если с'<4аЬ, то корни Ч, и Ч, комплексно сопряжены. Функции (11) и в этом случае являются решениями разностиого уравнения (?), однако удобнее представить Ч, в тригонометрической форме: Ч, =г (соэ ф+У з(п ф), где зг —..

)4.— ° с Г= Ь/ —, 5)пяа=, созф==. (12) Ь 2 $/аЬ 2 г'аЬ В качестве решений уравнения (7) можно взять функции У!' = !'! сох ()СГ), У!' = Г! 5!п(Я). 11аконец, если с'=4аЬ, то уравнение (9) имеет кратный корень у=с/(2Ь), а разностное уравнение имеет частные решения у) =ч' у! =И'. (! 3) Построим теперь решение задачи Коши ау;,— су,+Ьу!,=О, 1=1, 2,..., (14) (15) У~=)! У =1!з исходя из найденных частных решений (11). В силу линейности и однородности уравнения (7) любая линейная комбинация у; = аз!)!'+ а!у', (15) также является его решением. Подберем параметры и, и а.

таким образом, чтобы удовлетворялись начальные условия (15): а,+аг=)!и аД,+Я*У =)г,. (17) Решая систему (17), находим )чей кк а н'- н~ч! чз — ч! чз ч! (18) мт(ч,' '-ч',' ') 4-ч,! У)= ' рз+ — рз. 1=0 1.2, . (19) Чт % й Ч~ где д,л определены согласно (10). В таком же виде представляется и рен!ение задачи Коши (14), (15) в случае с'(4аЬ. Заметим, что в этом случае Ч~чи (Ч! Ч ) ° з!и Д) — 1) р) дд — д! мп !р Ч! — Ч!,Мп 1(р) чх Ч~ Б1п !р где г и гр определены согласно (12).

Поэтому решение задачи Коши можно записать в виде уг = — с! . а1п ((! — 1) ~р) з)!п и(Ьр) р, + г)-' — ц,. аш гр мп !р В случае с'=4аЬ, используя частные решения (!3), можно представить решение задачи Коши (14), (15) в виде у = — (! — !) у'р +!'у' 'р:, (21) где у=с)(26). 27 Подставляя (18) в (16) и собирая коэффициенты при р„р„получим, что решение задачи Коши (14), (15) в случае с'>4аЬ имеет впд Аналогичным образом строится решение краевой задачи ау;,— су,+Ьу„,=О, 1=1, 2, ..., й! — 1, (22) Ус=Им Ух=им (23) Если с-'Ф4аЬ, то (4,', ' — ч', ') !чин)' 9д 41 (24) где д,,: определены согласно (10).

Если же с'=4аЬ, то (25) а,уьо — с,.у,+Ь,у;„= О (26) представляется в виде линейной комбинации двух его линейно независимых решений, а общее решение неоднородного уравнения (1) — в виде суммы частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения. Изучим более подробно свойства разностного уравнения (26). Будем считать сейчас, что У=(0, ='-1, .~2, ...), т. е. уравнение (26) определено для всех целых !. Заметим прежде всего, что если и, и о,— два решения уравнения (26), то и любая линейная комбинация и,и!+а,о, также является решением. Этот факт следует из линейности и однородности уравнения (26). Для дальнейшего потребуются понятия линейной зависимости и линейной независимости функций, заданных на множестве У.

Две функции и! и о, целочисленного аргумента !е: — !' называются линейно зависимыми, если существуют постоянные ап а„одновременно не равные нулю и такие, что выполнено равенство а,и!+а,о,=О для всех !евУ. (27) Если же из условия (27) следует, что а,=а,=О, то функции и, о, называются линейно независимыми.

Линейная зависимость решений и„ о, характеризуется значениями определителей 1и! о! и!!1и 4=~ "!м !и (28) являющимися аналогами определителя Вронского, Лемма 1. Если функции иь о, линейно зависимы, то !о,=О для всех !с=-Е 28 где у=с!'(2Ь). 3. Однородное разностное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Для уравнения с переменнымп коэффициентами (1) существует теория, аналогичная теории линейных дифференциальных уравнений, а именно; общее решение однородного уравнения Действительно, согласно (27) для всех 1~7 выполняются равенства и;а,+о,а,=О, (29) и;,ао + оиаг — — О, и;,„а, + о~„,ао =0 (30) относительно неизвестных а„а,.

Поскольку определитель этой системы равен нулю, существует нетривиальное решение (а„а,). Образуем с помощью этого решения [а„ао) функцию г,=а,и,+а,о, (31) и покажем, что г;=0 для всех 1. Поскольку и; и о,— решения однородного уравнения (26), функция (3!) также является его решением, т. е. удовлетворяез. уравнению а гг,— сггг+Ь,г;„= О. (32) Кроме того, согласно (30) выполнены условия г,=г„, =О. По предположению коэффициенты а„Ь; отличны от нуля для всех 1. Следовательно, для уравнения (32) можно рассмотреть задачи Коши сг гг„= — г;— ь г~-1 1 = 1о + 1 1о + 2 аг ь,.

г;,=гб„=О, ь| ггм 1 1о !о 1!о пг (33) с г 1= — г— г — ! а (34) гб =;,„=О. Из рекуррентных соотношений (33), (34) получаем, что г,=О для всех 1=0, +-1, +.2, ... Последнее означает, что а,и,+а,о;=0 для всех /, причем а,+а,оФО. Следовательно, функции и„о, линейно зависимы, что противоречит предположению леммы 2. 99 и;,а,+о;„а.=О, где а,+а',~0. Рассматривая (29) при каждом фиксированном 1 как однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно а„а, и учитывая, что а, + а, ФО, получим, что опрео 2 делитель гв, этой системы равен пулю.

Для решений однородного уравнения (26) справедливо утверждение, обратное лемме 1. Л е м м а 2, Если иь о,— линейно независимые решения однородного уравнения (26) и а,ФО, Ь,эиО длч всех /, то определитель в;[и, о) не обраи1ается в нуль ни в одной точке 1ой. Д о к а з а т е л ь с т в о проведем от противного. Предположим, что найдется точка 1„~7, для которой гв;,[и, о) =О. Рассмотрим систему уравнений Следствие 1. Определитель (28), составленный для двух решений уравнения (26), или тождественно по 1 равен нулю, или отличен от нуля для всех !. Любая система из двух линейно независимых решений уравне- ния (26) называется фундаментальной системой. Теорем а 1.

Уравнение (26) с а,=,~-.О, Ь,ФО, 1еиу, всегди имеет фундаментальную систему. Д о к а з а т ел ь с та о. Фундаментальную систему образуют, например, решения и; и о; следующих задач Коши: а,и,,— с,и,+у,и.,.=О, 1=0, +-1, г 2,..., и„=О, и,=1; а,о;,— с;о,+Ь,о;„= О, 1=0, ~1, Ш2,..., о,=1, о,=О, Действительно, и согласно следствию 1 шДи, о)ФО для всех 1'. Но тогда согласно .чемме 1 функции иь о, линейно независимы. Т е о р с м а 2. Если иь о, — фундаментальная система решений у равнения (26), то его общее решение имеет вид у,=а,и;+аьоь (35) где а, и а, — произвольные постоянные. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть у, — любое решение уравнения (26) и иь о,— два заданных линейно независимых решения.

Надо показать, что найдутся постоянные а, и ам для которых справедливо (35). Пусть у, н у, — значения решения у; в точках!=0 и !'= =1 соответственно. Выберем постоянные а, и я, из условий и,а,+о,а,=у„и, х,+о,а,=у,. (36) Определитель этой системы ш,[и, о1ФО, так как и и о — линейно независимые решения. Следовательно, при заданных у„у, система (36) имеет единственное решение [а„а,). В силу единственности решения задачи Коши функция (35), построенная с помощью найденных постоянных а, н а„совпадает с заданным решением уь С л е д с т в и е. Любые три решения однородного уравнения (26) линейно зависимы. Пусть иь оь у; — любые решения уравнения (26).

Если и; н о, линейно зависимы, то утверждение доказано. Если же и, и о, линейно независимы, то они образуют фундаментальную систему и согласно теореме 2 решение у; представляется в виде линейной комбинации и; и о,. В качестве упражнения предлагается проверить, что частные решения (11) уравнения (7) с постоянными коэффициентами будут линейно независимы при в,=г-в, н линейно зависимы — при д,=д,. В последнем случае линейно независимыми будут решения 30 (13). Заметим, что вследствие предположения аФО характеристическое уравнение (9) не имеет нулевых корней. 4.

Неоднородное разиостное уравнение второго порядка. Обратимся снова к неоднородному уравнению а,у,,— с,.у,+Ь,уню = — )г (37) Уравнение (38) а;у,,— с,у,+Ь;у,,=О называется однородным уривнением, соответствующим уравнению (37). Теор ем а 3. Общее решение неоднородного уравнения (37) есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Доказательство. Пусть У,— какое либо частное решение неоднородного уравнения (3?) и иь о; — линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения (38). Тогда общее решение однородного уравнения (38) имеет внд а,и,+а,оп где а, и а,— произвольные постоянные. Непосредственной подстановкой проверяется, что функция у, =у;+а,щ+а,щ (39) является решением неоднородного уравнения (37). Остается доказать, что функция (39) является общим решением, т. е. что при соответствующем выборе параметров а„а, любое решение уравнения (37) можно записать в виде (39). Пусть г; — любое решение уравнения (37). Оно однозначно определяется заданием начальных условий г, и ап Поэтому для совпадения уь определенного согласно (39), с заданным решением г, достаточно потребовать у,=г„, уг=иы т. е. агиа+ахп0 — гв ) 0 а,и,+а,о, = г,— у,.

Рассматривая эти условия как систему уравнений относительно а„а., получаем, что она имеет единственное решение, поскольку определитель ( ' '~=ш (и,о) отличен от нуля в силу линейной независимости решений иь ог Теорема 3 доказана. Частное решение неоднородного уравнения (37) можно построить, если известны линейно независимые решения иь и, соответствующего однородного уравнения (38).