Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы

ББК 22.!9 С!7 УДК 5! 9.6(075.8) Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов.— Мл Наука. Гл. ред. физ-мат. лиг., !989.— 432 с.— 18ВГ4 6-62-013996.3. Излагаются основные принципы построения и исследования численных методов решения на ЭВМ различных классов математическнк задач. Наряду с традиционными разделами, такими как интерполирование, численное интегрирование, методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференцвальных уравнений, большое место в книге занимают разнастиые методы для уравнений в частных производных и итерационные методы решения сеточных уравнений. Для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная математнкаа и «Физикал, а также для широкого круга специалистов, применяющих ЭВМ для научных расчетов.

Табл. 2. Ил. 16. Библиогр. 46 назв. Рецензент доктор физико-математических наук А. А. Абрамов 1602120000 — 046 С 62-89 063(02)-89 © Нздательстао еНаукза. Глазики редакция Физико-математической литературки Ззар )5ВХ 5-02-0!3995-3 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ЧАСТЬ ! ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ $ !. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент 1. Схеме вычислительного эксперимента (1!).

2. Вычислительный алгоритм (12). 3. Требования к вычислительным методам (14) $ 2. Погрешности округления !. Представление вещественных чнсеч в ЭВМ (1б). 2, Округление чисел в ЭВМ (17). 3. Нзконление погрешностей округления (191. 4 Рвзнастные уравнения первого порядка (20>. 5 Оценки погрешностей округления (22> 9 3. Раэностные уравнения второго порядка 1. Задвчз Коши и краевые задачи длв раэиостных уравнений (25) 2. Однородное рззпосшше уравнение второго иоридка с постояинымн коэффициентами (26> 3. Однородное ревностное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами (26).

4. Неоднородное разностное уравнение второго порядка (31). $ 4. Разиостная аппроксимация дийийеренцнальных уравнений Сетки н сетон ые функции (34). 2 Рз ногтиаи краевая эалача (35). 3. Некоторые раэностиые тождеств» (33). 4. Разностнан задача иэ собственные значения (39). 5. Свойства собственных значений и собственных функций (41). 6. Разрешимость и скодимость раэиостной задачи (13). 7. Метод прогонки (45).

16 34 ЧАСТЬ П ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АЛГЕБРЫ И АНАЛИЗА $1. Метод Гаусса численного решении систем линейных алгебраических уравнений 1. Основная идея методе (49). 2 Рвсчетнме бюрмулы (51). 3. Полсчет числа действий (53). 9 2. Условия применимости метода Гаусса 1. Связь методе Гаусса с разложением матрицы на мноигителн (54).

2. Теорема об Е(>-рзэложенгги (55). 3. Элементарные треугольные матрицы (56). % 3. Метод Гаусса с выбором главного элемента 1. Основная идея метода (60). 2. Матрицы перестановок (61). 3 Пример (62). 4. Общий вывод (65). 5. Доказательство теоремы 1 (66). 6. Вычисление опреде.чителя (67). В 4. Обращение матр)щы 3 6. Метод квадратного корня 1. факторизация эрмитовой матрицы (69). 2. Пример (70). 3 Общие расчетные формулы (71).

4. Ппдсчет числа действий (72). $6. Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений 1. Устойчивость системы линейных алгебраическая уравнений (74). 2. Число обусловленности (76). 3. Полная оценка относительной погрешности (77>. 4 Влияние погрешностей округления прн решении систем линейных алгебрзн. ческих уравнений методом Гаусса (79!.

68 69 (е 3 Г л а в а 1. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений.........,....... 48 Глав в 2. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений 5 !. Примеры и канонический вид итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений 1. Итерзцнанные методы Якоби и Зейдел |82). 2.

Матричная запись методов Якоби и зейделя (83). 3. Каноническая форма одношаговых итерационных местов (зм й 2. Исследование сходимости итерационных методов 2 3. Необходимое н доствточное условие сходпмостп стационарных итерационных методов 1.

Введение (90). 2. Норма матрицы (91). 3. Теореме а сходимости нтерззноннаго метода [92). 4. Пп долженко дакзззтезьстве 193). й 4. Оценки скорости сходимости стационарных итерационных методов 1. Скорость сходимастн итерационного чстода 195). 2. Оценки скорости скаднмасти в случае симметричных матриц т! н В (96). 3. Правила действий с мзт.

ричными нерзвенствами (98). 4. Докэзатечьства теоремы ! (100) . 5. Оценки погрешности в случае несимметричной мзтрицы В [102!. $5. Многочлены Чебышева 1. Многачлен Чебышева на отрезке ( — 1, 1) (103). 2. Случай пронзвольнога отрезке (105). 3. Другая нормировка многочленав Чебышева (106). 4. Примеры применения миагочленав Чебышева [107).

$ 6. Итерационные методы с чебы!невским набором параметров 1. явный итерационный метод (109). 2, численная устопчнвасть втеранианнаго метала с чебышевским набором парачетрпв О[21. 3 Неявный чебышевский итерзциашшй метод [1!3). 4. Случай, когда то~ные грзннцы спектра неизвестны (!!4). 5 7. Итерационные методы вариационного тина 1.

Метод минимзльных невязок (116). 2, Метод минимальнмх поправок (118). 3. Метал скорейшего спуске (119). 4. Метод сопряженных градиентов (!20). 5 Минимшзцн» погрешности (1211. 6, Выбор итерационных параметров в методе сопряженных градиентов ()Ж). 7 Оценка погрешности в методе сопряжеинык градиентоа (126). 82 82 95 103 109 115 Г л а в 3 3, Интерполирование н приближение функций $ 1, Интерполирование алгебраическими многочленами 1. Изтерпаляцианизя формула Лагранжа (127). 2 Интерпозяцианная формтзз Ньютона (!29). 6 2.

Погрешность интерполирования 1, Остаточный член интерпаляциоиной формулы (132). 2. Оптимальный выбор узлов ннторполнравання (134). 3. О схотимастн интерполяционнаго про (есса (134!. 5 3. Интерполирование с кратными узлами 1. Интерпалнционный многочлеи Эрмитз [136). 2, Пример (1381. 5 4. Интерполирование сплайнами 1. Построение кубического снлайна [[41) ". Схаднмость процесса интерголпра.

венин «убпчсскими сплайнеми (143). $ 5. Другие постановки задач интерполирования и приближения функций 1. Примеры (148). 2. Общая постановка задачи интерпалировзния (151). 3. Наилучшее приближение функции, виденной тзблично (152) .4. Сглаживание сеточных функций (154). $ 6. Наилучшие приближения в гильбертовом пространстве 1. Постановка задачи (156). 2. Сведение к алшбрзической задаче а минимуме квздратн пюго фуннцианзлз (157).

3, Следстзвя (159). Г л ив а 4. Численное интегрирование и дифференцирование 5 1. Примеры формул численного интегрнропання 1. Введение (Ш[). 2 Формуле прямоугольников [1621. 3. Формула трапеций (1641. 4. Формула Симпсона (165). 6 Апостернорнзя оценка погрешности метадом Рунге. Антомзтическнй выбор шага интегриравзння (168). 6. Зкстрапаляпня Ричзрлсонз (169). $ 2. Квадратурные формулы интерполяцпоиного типа !. Вывод формул (172). 2. Оцеоез погрешности [!741.

3. Симметричные форму. лы (!75). 4. Формулы Ньюзапа — Катссз. Численная устойчивость квадратурвых формул (178). $3, Метод Гаусса вычисления определенных интегралов !. Постановка зедвчи (!80). 2. Основная теаречз (181). 3. Существование и едиистзенн ~ать кездратурных формул нчивысшей алгебраической степени тач. ности (183). 4.

Свойства квадратурных формул Га)оса (!84) . 5. Частный стучай формул Гаусса (185). 127 127 132 136 140 148 156 161 161 172 180 $4. Численное дифференцирование........... 186 1. Некорректность операции числениога дифференцирования (186). 2 Применение интерполирования (188Ь Глав а 6, Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 6 1.

Исходная задзча и примеры численных методов ее решения 1. Постановка исходной задачи (214). 2. Примеры численных методов (214). й 2. Методы Рунге — Кутта 1. Общая формулировка методов. Семейства метадон второго порядка (218). 2 Докаэатечьство схаднмости (221). 3. Методы третьего порядка точности (224). 4 Методы четвертого порядка точности (226) $3 Миогошаговые разностные методы 1. Формулировка методов ИЗО). 2 Погрешность аппроксимации мнагошагавых методов (231) 3. Устойчивость и сходнмость разиастных методов (233).

4. Примеры многошшовых ревностных методов 1235). 6 4. Сходпмость и оценка погрешности многошагового разностного метода 1. Уравнена» для погрешности (236). 2. Однородное разнастное уравнение с на стаяниымн коэффициентами. Частные решенн» Шза).

3. Однородное разностнае уравнение с лостоянныни «аэффиниентзми. Устайчнпость по начвльнмм двн. ным (240). 4. Опенка решения неоднородного уравнения (213). 6. Оценни па. грешности раэностнага метод» (244). $5 Численное ннтегрн!швание жестких систем обыкнопенных дифференциальных уравнений 1 Условно чстайчивые н абсолютно устойчивые раэнастньн методы (247) 2. Понятие жесткой системы диффереициальиык уравненвй (219).

3. Нелнненные системы лнффереиппальных уравнений (251) 4 Специальные определения устойчивости (252). 5. Чисто неявные разностные иетолы (255) 214 214 218 230 236 247 с! АСТЬ П! РАЗИОСТИЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Г л а в а 1, Вводные понятия 6 1. Примеры разностных аппроксимаций $2. Построение разностных схем интегро-интерполяционным методом 1.