Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы, страница 9

Во-первых, необходимо убедиться, что система линейных алгебраических уравнений (16) имеет единственное решение, н указать алгоритм, позволяющий получить это решение, И, во-вторых, надо показать, что при стремлении шага сетки Л к нулю решение разностной задачи будет сходиться к решению исходной дифференциальной задачи. Вопросы разрешимости н сходимости разностной задачи (! 6) будут исследованы в п. 6.

Построим по аналогии с (13) точное решение разностной задачи (16). Представим у; в виде суммы у.=о,+шн !=О, 1,..., У, где о„-„,.=О, 1=1, 2, ..., У вЂ” 1, о,=р„о„=р„ жхк = — Ь 1=1, 2, ..., У вЂ” 1, ш ='ын =О. хк! !' ' ' '''> е а— Запишем (17) подробнее: о,,— 2о,+о;,,=О, 1=1, 2, ..., У вЂ” 1, о,=рн он=и„ (17) (18) и заметим, что соответствующее характеристическое уравнение о' — 2д+! =О имеет кратный корень д=!. Поэтому согласно (25) из $ 3, реше- ние разностной краевой задачи (17) имеет вид Учитывая, что х,— а У Ь вЂ” а можно записать о; в виде, аналогичном (12), т. е. Ь вЂ” х. Ф х — а $ о = — Рт+ Рз Ь вЂ” а Ь вЂ” а (19) Таким образом, применение разностного метода позволяет за- менить исходную дифференциальную задачу (8), (9) системой из (У вЂ” 1) линейных алгебраических уравнений (14), (15) относи- тельно неизвестных и„и„..., и,. Система уравнений (14), (15) называется разностной схемой или разносгной краевой задачей, соответствующей исходной дифференциальной задаче 1'8) — (9).

В дальнейшем, чтобы не было путаницы в обозначениях, будем через и(х) обозначать решение дифференциальной задачи и через у;=у(х,) — решение разностной задачи. Итак, мы получили разностпую схему = — 1п 1=1,2,.„, У вЂ” 1, Ь1 Найдем явное выражение для ш,. Для этого перепишем уравнение (18) в виде и .

— и1-.= — !ф, 1'=1 2, ..., 1'х' — 1, К.!!1 «,! ! г ' ° и просуммируем по 1' от 1 до А. Тогда получим и'к и!1 и!к,~ ! ! или л !аз„— и!ь = йш„-, — й 'Я Ц;, А = 1, 2, ..., Ж вЂ” 1. г=1 Суммируя последнее уравнение по я от 1 до 1 — 1 и учитывая, что гв,=О, получим и1;=-Йи!„-, — Э; Й ~ Й~б Отсюда н из условия и!«=О находим Л-1 Х ы;, = — 'Я 11 ~ й)'!ь Ь вЂ” а Х=! 1=1 следовательно, и-1 х- — а ! 6 — а Й '~ ~Й1! — "~~ 3 ~ 14!ь ! =- 2, 3, ..., М вЂ” 1, !' 1 А=1 ! — -1 х ю1= — "' ' 'Я л 'Я л)ь А=1 1=1 (20) (уи)к,! =у!ох,1+ ук,!о! 1.

(21) Суммируя (21) по !' от 1 до Л! — 1, получим Л-1 Л1-1 Унии Утих =,~!'лУ!п«,1+ ~~ йУкло!и с= или л1- и ~Ч~~ г!у,их ! = — '~~~ йу- л! + унии — у,оо за Формула (20) является разностным аналогом формулы (13). 3. Некоторые разностные тождества. Для сеточных функций выполняются разностные аналоги некоторых формул дифференциального и интегрального исчисления.

Для простоты изложения будем рассматривать равномерную сетку (2). Разностными аналогами формулы дифференцирования произведения (ио)'=и'о+ +ив' являются тождества (Уи)к!=У! х !+'1-1Ух !' Учитывая, что у,о, = о, (у, — у,) + о,у, = Ьо,у„-, + о,у„ получим М-1 М Я пу пал = — ~~~„, Ьоьу„- ь + Умом — Уьоо ь=1 Обозначая М-1 (!о, г) = ~~~~ пи!ьги ь=1 (22) (ьь, г) = 'Я Йьоьги перепишем последнее тождество в виде (У, о„) (о, У„1+ Упоп У о (23) Тождество (23) является разностным аналогом формулы интегрирования по частям ь ь ~ у (х) о' (х) ь(х = — ~ о(х) у' (х) г(х+ у(Ь) о(Ь) — у(а) о(а) а О и называется формулой суммирования по частям. 4. Разностная задача иа собственные значения. Задача на собственные значения и" (х)+Ли(х) =О, а(х Ь, и(а) =и(Ь) =О (24) Ау ) !му для симметричной матрицы ΠΠΠΠΠΠΠΠΠ— ! 2 Π— ! ΠΠ— ! О 2 — ! А= О О О .

° — ! 2 — 1 О О О ... Π— ! 2 О О имеет решение Хь=( — ' '~, иь(к)=яп па 12 па (х — а) а=1,2, ... ь— ь — а Рассмотрим на равномерной сетке (2) разностный аналог задачи (24), '"'+)аьу!=О, 1=1,2, ..., М вЂ” 1, (25) ьь у,=уп=О, ЛУ=Ь вЂ” а, у,=у(х,), х,=а+!Ь. Система уравнений (25) представляет собой задачу на собственные значения и рассмотрим отвечающее (26) характеристическое уравнение ц' — (2 — 1х) у+1 = О.

(27) Общее решение уравнения (26) имеет вид у! = с,д( + с,д~, (28) где с,, с,— произвольные постоянные п д„7,— корни уравнения (27). Из граничных условий р,=ул=О получаем с1 .т- са =О, е1д~ + ехд~ =О, Эта однородная система уравнений имеет нетривиальное решение при условии дя дч Учитывая, что е,д,„= 1, приходим к условию ~~ай 1 (29) Отсюда, представляя д, в тригонометрической форме д,=ре", получим р=! и с~ — †' , й =- 1, 2, ..., Ж вЂ” !.

ле Ж (30) С другой стороны, из уравнения (2?) имеем следовательно, соз р=1 — 0,5р и из (30) получим р = 2 (1 — соз ~р) = 4 а!и'- — = 4 гйп".— ,ч . лй 2 2Л' Таким образом, собственные числа задачи (25) имеют вид (31) аа где ЬЮ=5 — а. Собственные функции у, вычисляются согласно (28), где с,= = — е,.

Так как п,д,=!, то д; = е (г(~ — ф = с (д~' — д, 0 = с (епч — е-цч) 40 порядка Л' — 1. Поэтому существует ровно Ч вЂ” 1 вещественных собственных значений Я", й=1, 2, ..., М вЂ” 1, матрицы Л. Построим в явном виде собственные значения и собственные функции задачи (25). Перепишем разностное уравнение (25) в виде у,,— (2 — р) у;+у,, = О, р = ЧХ'"', (26) где <р определено согласно (30). Полагая с,= — 0,5<, получим у<е>=з(п — <, й,1=1,2, ..., Ф вЂ” 1. (32) Ь< Собственные функции (32) определены с точностью до произвольного постоянного (не зависящего от 1) множителя. . д<з<з<з Интересно сопоставить решения дифференциальной (24) и разностной (25) задач на сабствен- < а<з<зо ~ ные значения. Значения 7-.

-т< собственных функций (32) лоа«)- --- Л'='Х разностной задачи совпадают в точках сетки со л< зз гт Дт И значениями собственных рнс з собственные зиачення диффереиниальфункций днфференциаль- ной задачи (снлошная черта) и разиостной ной задачи. Спектр днф- схемы ференциальной задачи не ограничен, т. е. Лз оо прн й-ьоо, в то время как спектр разностной задачи ограничен сверху при каждом фиксированном шаге 1< числом 46-'. Для каждого фиксированного номера А~й„где я, не зависит от И, собственные значения Ла ~ разностной задачи сходятся при 6-ь0 к соответствующему собственному значению Л„дифференциальной задачи, т.

е. 4 з ](ш — з(пз = Л<,. а~е Иа 2 (Ь вЂ” а) Ь вЂ” а При этом собственные значения разностной задачи (25) всегда меньше соответствующих собственных значений дифференциальной задачи (24). Погрен<ность Л,— Ле минимальна для малых по- <з< меров И и сильно возрастает с ростом А. На рис, 3 изображены графики Л, (сплошная черта) и Ле в зависимости от номера й для и) значений а=0, 5=1, <Ч=25 и У=50. 5.

Свойства собственных значений и собственных функций. Перечислим свойства собственных значений и собственных функций разностной задачи (25). Прежде всего из (31) видно, что Л<м Л<м Ла«о ~Р ) <з< 4 Из Последнее неравенство неулучшаемо, так как Лм,= —,соз <з! 4 з нИ Из 2 (Ь вЂ” а) нй и созе ' — ~- 1 при й — ь0. Оценку снизу для наименьшего 2 (Ь вЂ” а) 41 можно уточнить, Обозначая о,= собственного значения =пй/(2(Ь вЂ” а)), получим )(Ы 1 г н где Х,= ( — ) — наименьшее собственное значение днфферен- ~,Ь вЂ” а циальной задачи.

Не ограничивая общности, можно предположить, что Л~(Ь вЂ” а)/3. Тогда а(п/6, и поскольку функция з!пи/а монотонно убывает при а~(О, и/6), получим 1 ~~ )' Я)' з т. е. ).', ' = 9/(Ь вЂ” а)'. (ЗЗ) Таким образом, наименьшее собственное значение задачи (25) отделено от нуля константой 6,=9/(Ь вЂ” а)', не зависящей от Ь. Покажем теперь, что собственные функции (32) задачи (25), отвечающие различным собственным значениям, ортогональны в смысле скалярного произведения У вЂ” 1 (и, а) = 'Я и;с;/ь (34) /=1 Запишем уравнение (25) для функций у'и и уш в виде (35) (36) Умножим уравнение (35) скалярно на уш, уравнение (36)— на у'" и вычтем из первого полученного равенства второе.

Тогда будем иметь („~м „ш) ~(ш „,) ())и )е>) („„, „„,) (37) Из разностного аналога формулы интегрирования по частям (23), учитывая условия ум =уф =О, получим о и и точно так же Следовательно, левая часть равенства (37) обращается в нуль, и поскольку Л)и~Х<"1 при АФ/, получаем (у'"', у'") =О, если ЬМ: Ь4иожество функций у (уО у д ' ум уу) у1 у(х!) заданных на сетке (2) и удовлетворяющих нулевым граничным условиям у,=у„=О, образует (Л' — 1)-мерное линейное пространство Н относительно покоординатного сложения и умножения на число. Собственные функции у'"', й=1, 2, ..., Л/ — 1, задачи (25) ортогональны и, следовательно, линейно независимы в Н.

Тем самым множество собственных функций задачи (25) образует ортогональный базис в Н. Нетрудно показать, что >г-г '(уи>'1г ~ч~~~ а(у8>)г О 5(Ь а) >=> для всех /г=1, 2, ..., М вЂ” 1. Следовательно, множество собственных функций ф"', )г=1, 2,..., с координатами ф>= 1с з)п — ', 1=1,2, ..., Л( — 1, л/ 2 . пг! ь —.

л' образует в Н ортонормированный базис. Любой элемент у~Н можно единственным образом представить в виде разложения г>-г У= ~ сг)г' ' г=1 6. Разрешимость и сходимость разностной задачи. Обратимся к исследованию разностной задачи (16). Прежде всего теперь можно утверждать, что система линейных алгебраических уравнений (16) имеет единственное решение. Действительно, в предыдущем пункте показано, что матрица системы (!6) не имеет нулевых собственных значений. Поэтому отвечающая (16) однородная система уравнений у; 1 — 2у;+у»1=0, 1=1, 2,, У вЂ” 1, уг=уг=О имеет только тривиальное решение и, следовательно, неоднородная система (16) имеет единственное решение. Исследуем сходимость при Л -О решения разностной задачи (16) к решению исходной дифференциальной задачи (8) — (9).

Обозначим через х,=у; — и(х,), х,~ь>„ погрешность е точке хь т. е. разность между решениями задач (25) н (8) — (9). Подставляя в (16) вместо у, сумму а+и(х>), 1= =1, 2, ..., И вЂ” 1, получим, что погрешность удовлетворяет разностному уравнению г>,, — 2г, + г,, — 1=1,2, ..., У вЂ” 1, ге=ел=О,(38) где (39) ггл+ ~ь Сеточная функция ф> называется погрешностью аппроксимации или кееязкой разностной схемы (16) на решении задачи (8) — (9).