Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы), страница 50

Если Т— период затухающих колебаний, то !/Д ! ю, ' Т 2 /!~юг Рг 2х Имея э виду, что а = 1/ЕС и 0 = В/2Ь, получим где !т' — энергия, запасенная в контуре, бй' — уменьшение этой энергии за период колебания Т. В самом деле, энергия гт пропорциональна квадрату амплитуды заряда конденсатора, т. е. )т ог е . Отсюда относительное уменьшение энергии за период ЬИ'/)г" = 2)3Т = 2~ Остается учесть согласно (11.21), что Х = яЯ. глава н Пример 2. Найти время. за которое амплитуда колебаний тока в контуре с добротностью 4) уменьшится в ч раз, если частота затухающих колебаний равна га.

Так как амплитуда тока 2 ю е, то время гр, за которое амплитуда уменьшится в и раз, определяется уравнением Ч = ехр (Щ. Отсюда С другой стороны, добротность Я также связана с (3: Я = х/Х = х/бТ = и/2б. Исключив 33 из последних двух уравнений, получим 232 Га )пт3. ю $ 11.3. Вынужденные электрические колебания Установившиеся колебания, Вернемся к уравнениям колеба- тельного контура (11.3) и (П.4) и рассмотрим случай, когда в контур включена внешняя переменная э. д. с.

р; зависящая от времени по гармоническому закону: (11.2б) 6 = б,„сова(. Этот закон занимает особое положение благодаря свойствам самого колебательного контура сохранять гармонический вид колебаний при действии внешней гармонической э. д. с. Ь вЂ” + 221 + — = 6 совгог, с(Х д г)г С (11.26) или д+2бо+сг,'33 = Я„/Ц)созвт. (11.27) Решение этого уравнения, как известно из математики, представ- ляет собой сумму общего решения однородного уравнения (без правой части) и частного решения неоднородного уравнения. В данном случае уравнение колебательного контура записыва- ется как Элоктричоокие колебания Нас будут интересовать только установившиеся колебания, т. е, частное решение этого уравнения (общее решение однородного уравнения экепоненциально затухает, и по прошествии некоторого времени оно практически исчезает, обращается в нуль).

Нетрудно убедиться, что это решение имеет вид о = о сов(оя' — ц~), (11.28) где о — амплитуда заряда на конденсаторе; д — разность фаз между колебаниями заряда и внешней э. д. с. 8 (11.25). Как мы увидим, д„и у определяются только свойетвами самого контура и вынуждающей э. д. с. 8, причем оказывается, что р > О, поэтому д всегда отстает по фазе от й'. Чтобы определить постоянные д„и д, надо подставить (11.28) в исходное уравнение (11.27) и преобразовать полученное выражение. Мы же поступим несколько иначе (в целях достижения большей проетоты): сначала найдем ток 1 и затем его выражение подставим в исходное уравнение (11.26). Попутно будет решен и вопрос с постоянными д„н у. Продифференцировав (11.28) по Г, найдем 1 = — сод вш(ои — и) = озд„сов(ои — ~с+ я/2).

Запижем это выражение так: 1 = 1„сов(ов — <р), (11.29) где 1 — амплитуда тока, ~р — сдвиг по фазе между током и внешней э. д. с. 8, (11.80) 1 = сод, ~р = ~р — и/2. Наша задача найти 1„и ~р. С втой целью мы поступим следующим образом. Представим исходное уравнение (11.26) в виде (11.31) (/с + (/я + (/с = 6'а возов 322 гаага ы где слева записана сумма напряжений на индуктивности 1„ сопротивлении В и емкости С. Таким образом, мы видим, что сумма зтих напряжений равна в каждый момент внешней з. д.

с. о. Учитывая соотношения (11.30), запишем: (/г = В1 = В1„соз(вг — ~р), (11.32) (/с = — = — соз(вг — Цс) = — сое~вг — сР— — ~, (11.33) о я 1 / л1 С С вС ~ 2~' б1 ( л1 (/ = 1 — = — 11„зш(вг — Ю) = в11„соз~вг — Е + — ). (11.34) Векторная диаграмма. Из последних трех формул видно, что (/„находится в фазе с током 1, 1/с отстает по фазе от 1 на л/2, а (/, олережает 1 на л/2. Все зто можно наглядно представить с помощью векторной диаграггмы, изобразив амплитуды напряжений (/г„= В1, (/с„= 1 /вс, (/ = в1.1„ и их векторную сумму, равную согласно (11.31) вектору величины о (рис.

11.4). Из прямоугольного треугольника етой диаграммы легко получить следующие выражения для 1„и в: (11.35) (11.36) Задача, таким образом, решена. Заметим в заключение, что полученная нами векторная диаграмма оказывается весьма полезной при решении многих конкретных вопросов. Она позволяет наглядно, легко и быстро анализировать различные ситуации.

Эаектвкееекке келебеккк Ось эьока Рке. 11.4 Рке. 11.5 Резонансные кривые. Так называют графики зависимостей от частоты м внешней э. д. с. б амплитуд следуклцих величин: тока 1„заряда д на конденсаторе и напряжений Уе, У, и Уь, определяемых формулами (11. 32) — (11.34). Резонансные кривые для силы тока 1„(се) показаны на рис. 11.б. Как видно из выражения (11.35), амплитуда силы тока имеет максимальное значение при аь, — 1/сеС = О. Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура: се = ме = 1/ЛС. (11.37) Максимум при резонансе оказывается тем выше и острее, чем меньше коэффициент затухания Р = В/22,. Резонансные кривые для заряда на конденсаторе д„(се) показаны на рис.

11.6 (резонансные кривые для напряжения (7 на конденсаторе имеют такой же вид). Максимум амплитуды заряда достигается при резонансной частоте = Д вЂ” 2Р', (11.38) которая по мере уменьшения Р все больше приближается к ме. Для получения выражения (11.38) надо представить д„согласно (11.30) как д = 1 ке, где 1„дается формулой (11.35). Тогда Д 6 /Х (11. 39) (:::.Т Глава 11 Максимум этой функции, или, что то же самое, минимум подкоренного выражения, найдем, приравняв производную по о) от подкоренного выражения к нулю. Отсюда и получим резонансную частоту (11.38). соо Рас.

11.7 Рлс. 11.6 Теперь посмотрим, как перераспределяются амплитуды напряжений Ув, (Т и С' в зависимости от частоты сэ внешней э. д. с. Эта картина изображена на рис. 11.7. Резонансные частоты для Ув. О и У определяются следующими формулами: совр соо (11.40) Чем меньше р, тем ближе резонансные частоты всех величин к значению со . Резонансные кривые и добротность Я. Форма резонансных кривых определенным образом связана с добротностью Я контура.

Особенно простой эта связь оказывается для случая слабого затухания, т, е. при р « соо. В этом случае (11.41) с'с~ Ф вЂ” Ю (рис. 11.7). Действительно, при ~) << со: величина сов„= со и согласно (11.33) и (11.33) Ус — — 1„/и С = 6 /а),СВ, или У /6' 325 Электемкеекме келебаммк =еЮ/СВ = ()/В)~~/С, а это, как показывает сравнение с формулой (11.22), и есть ь). Таким образом, добротность контура (при ~3 << ООО) показывает, во сколько раз максимальное значение амплитуды напряже- ния на конденсаторе (и на индуктивности) превышает ампли- туду внешней э. д. с, Добротность контура связана и с другой важной характеристикой резонансной кривой — ее шириной.

Оказывается, при Р « 'ОО Ю ОО О/бОО ~ (11.42) где ее — резонансная частота; ба — ширина резонансной кривой на «высотее, равной 0,7 от максимальной, т. е. в резонансе. Резонанс. Явление резонанса в нашем случае — это возбуждение сильных колебаний при частоте внешней э.

д. с. или напряжения, равной или близкой к собственной частоте колебательного контура. Резонанс используют для выделения из сложного напряжения нужной составляющей. На этом основана вся техника радиоприема. Для того чтобы радиоприемник принимал интересующую нас радиостанцию, его необходимо настроить, т. е.

изменением С и Ь колебательного контура добиться совпадения его собственной частоты с частотой электромагнитных волн, излучаемых радиостанцией. С явлением резонанса связана и окаскосвемл внешняя э. д. с. или напряжение могут быть малы, однако при этом напряжения на отдельных элементах контура (на емкости или индуктивности) могут достигать опасного для жизни значения. Об этом необходимо всегда помнить! 5 11.4. Переменный ток Полное сопротивление (импеданс). Установившиеся вынужденные электрические колебания можно рассматривать как протекание в цепи, обладающей емкостью, индуктивностью и активным сопротивлением В, переменного тока. Под действием внешнего напряжения (оно играет роль внешней з. д. с. 6) (11,43) (/ = (/ соз ООО Г з аи 32з ток в цепи изменяется по закону 1 = 1„сов(аг — ~р), (11,44) где Задача сводится к определению амплитуды силы тока и сдвига тока по фазе относительно 11. Полученное выражение для амплитуды силы тока 1„.")ю) можно формально толковать как закон Ома для амплитудных значений тока и напряжения.