Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы), страница 49

Выясним, каким образом в колебательном контуре возникают и поддерживаются электрические колебания. Пусть вначале верхняя обкладка конденсатора заряжена положительно, а нижняя отрицательно (рис. 11,1, а). При атом вся энергия колебательного контура сосредоточена в конденсаторе. Замкнем ключ К. Конденсатор начнет разряжаться, н через катушку Х потечет ток. Электрическая энергия конденсатора начнет превращаться в магнитную энергию катушки.

Этот процесс закончится, когда конденсатор полностью разрядится, а ток в цепи достигнет максимума (рис. 11.1, 6). С этого момента ток, не меняя направления, начнет убывать. Однако он прекратится не сразу — его будет поддерживать э. д. с. самоиндукции. Ток будет перезаряжать конденсатор, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток. Наконец, ток прекратится, а заряд на конденсаторе достигнет максимума. С этого момента конденсатор начнет разряжаться опять, ток потечет в обратном направлении и т. д. — процесс будет повторяться. а) Рвс. 11.2 В контуре при отсутствии сопротивления проводников будут совершаться строго периодические колебания. В ходе процесса периодически изменяются заряд на обкладках конденсатора, напряжение на нем и ток через катушку.

Колебания сопровождаются взаимными превращениями энергии электрического и магнитного полей. Если же сопротивление проводников Я Ф О, то помимо описанного процесса будет происходить преобразование электромагнитной энергии в джоулеву теплоту. Зтв Электрические келезекке Сопротивление проводников цепи В принято называть активными сопротивлением. Уравнение колебательного контура, Найдем уравнение колебаний в контуре, содержащем последовательно соединенные конденсатор С, катушку индуктивности 1., активное сопротивление В и внешнюю переменную э. д.

с. а (рис. 11,2). Прежде всего выберем положительное направление обхода контура, например по часовой стрелке. Обозначим через о заряд той обкладки конденсатора, направление от которой к другой обкладке совпадает с выбранным положительным направлением обхода контура. Тогда ток в контуре определяется как (11.1) Следовательно, если 1 > О, то и йо > О, и наоборот (знак 1 совпадает со знаком Йу). Согласно закону Ома для участка цепи 1В1,2 ВХ =~~, — ф, +б, +б, (11.2) где О', — э. д.

с. самоиндукции. В нашем случае 6. =-1.411бг, р,— р, =д1С (знак с должен совпадать со знаком разности <ре — <ро ибо С > О). Поэтому уравнение (11.2) можно переписать в виде (11.3) или с учетом (11.1) как (11.4) Это и есть уравнение колебатвлъноэо контура — линейное дифференциальное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найдя с помощью этого уравнения д(Г), мы можем легко вычислить напряжение на конденсаторе как П = ~р,— ~р, = д/С и силу тока 1 — по формуле (11.1).

Глава 11 Уравнению колебательного контура можно придать иной вид: (11.6) где введены обозначения 2!) = В/Ь, ю~~ =!/ХС. (11.6) Величину о!: называют собственной частотой контура, 8— коэффициентом затухания. Смысл этих названий мы выясним ниже, Если б = О, то колебания принято называть свободными. При 11 = О они будут незатухающими, при Л е Π— затухающими.

Рассмотрим последовательно все эти случаи. 5 11.2. Свободные электрические колебания Свободные незатухающие колебания. Если в контуре нет внешней э. д. с. б' и активное сопротивление Л = О, то колебания в таком контуре являются свободными незатухающими. Их уравнение — частный случай уравнения (11.6), когда Е = О иВ=О, (11.7) Решением этого уравнения является функция с = с сов(~о ! + а), (11.8) где д — амплитудное значение заряда на обкладке конденсатора, ю„ — собственная частота контура, а — начальная Фазе. Значение о!с определяется только свойствами самого контура, значения же с и а — начальными условиями.

В качестве таковых можно взять, например, значения заряда д и тока 1= с вмомент1=0. Согласно (11.6) о>„= 1/ДС, поэтому период свободных незатухающих колебаний 'Г = 2пЛС (11.9) (формула Томсона), Электрвческне колебания Згб Найдя ток Х (дифференцированием (11.8) по времени) и имея в виду, что напряжение на конденсаторе находится в фазе с зарядом д, нетрудно убедиться, что при свободных незатухающих колебаниях ток 1 опережает по фазе напряжение на конденсаторе на я/2. Будем исходить из того, что приращение энергии Иг колебаний кон- тура происходит за счет работы против электрических сил. Опреде- лим эту работу сначала эа малый промежуток времени Ы, в течение которого расстояние между пластинами увеличилось на Пл: где (г) — среднее за бг значение модуля силы электрического взаи- модействия между пластинами. Так как Е = д/2а Я и, согласно фор- муле С = г Я/л, г1л = ерВ б(1/С).

то дА = (д'/2) г1(1/С) . (2) В данном случае (процесс медленный) возьмем промежуток времени Ьг таким. чтобы т « Ьг « ц где т — период колебаний, г — время всего процесса. При этом условии колебания за время бг можно счиэ э тать практически гармоническими и (д) = о /2 = И'С, поскольку Иг = д'/2С. С учетом этого перепишем (2) и приравняем полученное выражение к ЙИ': бИг — И'Сг) — ~ = бИ", или— 2 ~С~ И' 2С Проинтегрироввв последнее уравнение, найдем 1п(ИгчС) = сопзС. Оста- ется учесть, что ю ' !/т'С, и мы получим Иг/ш = сонат. (4) Это важное соотношение и справедливо оно только при медленяом процессе. При решении некоторых вопросов можно использовать и энергетический подход.

В этом отношении определенный интерес представляет медлеяяое изменение какого. нибудь параметра контура в процессе колебаний. Выясним, как будет меняться энергия Иг колебаний в контуре, если менять, например, емкость конденсатора, медленно раздвигая его пластины. З1Е Глава 11 Пример. В колебательном контуре происходят свободные незатухающие колебания с энергией И". Пластины конденсатора медленно раздвинули так, что частота колебаний увеличилась в т1 раз.

Какую работу совершили при этом против электрических силу Искомую работу можно представить как приращение колебательной энергии контура: А = Уг'" — И". Воспользовавшись формулой (4) из предыдутдего текста, получим: А = т1г(сг'/тэ — 1) = т1г(т1 — 1). Свободные затухающие колебания. Каждый реальный контур обладает активным сопротивлением, и энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется на нагревание. Свободные колебания будут затухающими. Уравнение данного колебательного контура мы получим, положив в (11.5) 6 = О.

Тогда д+ 2()с+ сгг гг 0 (11.10) Можно показать (но мы не будем этого делать, поскольку нас интересует другая сторона вопроса), что при ~3 < сг решение этого однородного дифференциального уравнения имеет вид с = гт е ~ соэ(ыт + а), (11. 11) где а д„и а — произвольные постоянные, определяемые из начальных условий. График функции (11.11) показан на рис.

11.3. Видно, что эта функция не периодическая, она определяет затухающие колебания. Величину Т = 2н~то называют тем не менее периодом затпр- хаюи)их колебинийт 2н Тр (11.13) где Тс — период свободных незатухающих колебаний. Электриееекие келебеиия Множитель д„е в (11.11) называют амплитпудой загпулаюи)их колебаний. Зависимость ее от времени показана штриховой линией на рис.

11.3. Рис. 11.3 Напряжение на конденсаторе и ток в контуре. Зная д(1), мож- но найти напряжение на конденсаторе и ток в контуре. На- пряжение на конденсаторе = — = — "е ~'сов(ел+а). С С (11.14) Ток в контуре 1 = — = д„е и ~ — Рсоа(ах+а)- юв1п(си+ а)). од в Ю Преобразуем выражение в квадратных скобках к косинусу. Для етого Умножим и РазДелим зто выРажение на 1~ю' + ()' = ое, а затем введем утол 5 по формулам Р/шо сов 5, (О/Ио 81п5 После етого выражение для 1 примет вид 1 =ад„е ~'сов(вг+а+Ь).

(11,15) (11,16) Графики зависимостей Ус(1) и 1(1) имеют вид, аналогичный показанному на рис. 11.3 для д(1). Из (11.15) следует, что угол б лежит во второй четверти (я/2 < 5 ( я). Зто означает, что при наличии активного сопротивления В ток в контуре опервжпепе по Фазе напряжение (11.14) на конденсаторе более чем на я/2. Заметим, что при В = О опережение б = я/2. Глава 11 318 Пример.

Колебательный контур содержит конденсатор емкости С н катушку с активным сопротивлением В и индуктнвнсстью й. Найти отношение энергии магнитного поля к энергии электрического поля в контуре з момент максимума тока. Согласно уравнению колебательного контура (11.3) А — + В/+ — = О. д Ф С В момент максимума тока сп/с)1 = О и ВХ = -д/С. Поэтому искомое отношение Величины, характеризующие затухание. 1. Коэффициент затухания Р и время релаксации т — время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Из формулы (11,11) нетрудно видеть, что т =Ц).

2. Лоэарифмический декремент затухания 1. Он определяется как натуральный логарифм отношения двух значений амплитуд, взятых через период колебания Тэ 1=(п =8Т, а(1) а(1+ Т) (11. 18) где а — амплитуда соответствующей величины (с, У, Ц. Или иначе: (11.19) Х = 1/Ф,, где Ф, — число колебаний за время т, т. е. за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Это легко получить нз формул (11.17) и (11.18). Если затухание мало (Р « юд), то а аэ = 1/ /ХС и согласно (11.18) Х = Р 2я/ио = яВ,/С/Ь . (11.20) 3. Добротность 9 колебательного контура.

По определению я)уе ' (11. 21) где Х вЂ” логарифмический декремент затухания. Чем меньше Электрические колебания затухание, тем больше Я. При слабом затухании ((3 <( сгс) со- гласно (11.20) добротность ! !ь Ю= —— Л !'С' (11.22) И еще одна полезная формула для Я в случае слабого затухания 9 =2я )4' (11.2а) 6!т ' В заключение отметим, что при 9 > сгс вместо колебаний будет происходить апериодический разряд конденсатора. Активное сопротивление контура, при котором наступает апериоднческий процесс, называют кришическимг В., = 2,~Х7С. (11.

24) Рассмотрим два примера. Пример 1. Колебательыый контур имеет емкость С, индуктивность й и активное сопротивление В. Найти, через сколько колебаний амплитуда тока в этом контуре уменьшится в е раз. -Зг Амплитуда тока (1 с' е ) уменьшится е е раа за время т - 1/Р. За это время совершится !т', колебаний.