Артоболевский И.И. - Теория механизмов и машин, страница 121

2', Двоичные переменные можно подвергать логическим операциям отрицания, сложения и умножения. Все прочие логические операции могут быть сведены к комбинации перечисленных. Логическое отрицание выра- Таблица 11 жается надстрочной чертой или символом —, т. е. каждои двоичной переменной х ставится в соответствие обратная (или дополнительная к ней) переменная х (читается: «не х») такая, что О, если х = 1, 1, если х= О. Например, если х соответствует высказывание «машина исправна», Логическая сумма 1= х,+ ха то х соответствует высказывание «машина неисправна». Если на самом деле машина неисправна, то х = О, т. е.

высказывание «машина исправна» ложно, и х = 1, т. е. высказывание «машина неисправна» истинно. Заметим, что х = х (высказывание «машина не неисправна»вЂ” то же самое, что высказывание «машина исправна»). Логическая сумма (дизъюнкция, двоичное сложение) выражается скмволом + (или 1/). Если х, и х, — две двоичные переменные, то их сумма 1' х, + х, определится следующим образом (см. таблицу 11). Йз таблицы 11 видно, что если х, = О и х, = О, то ) = х, + х, = О + О = О; если х, = О и х, = 1, то ) = х, + х, = О + 1 = 1; если х, = 1 и х, = О, то ) = х, + х, = 1 + О = 1; если х, = 1 и х, = 1, то 1' = х, + х, = 1 + 1 = 1, где все (кроме последнего) выражения согласуюгся с правилами той алгебры, которую принято называть элементарной.

Из выписанных соотношений следует, что х + О = х, х + 1 1, х+х=1, х+х=х. Полученные соотношения могут быть распространены на любое число двоичных переменных н, соответственно, на любое число простых высказываний. 593 Гл. »9. СИНТЕЗ ЛОГИЧЕСКИХ СХЕМ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ Логическая сумма любого числа переменных равна г, если хотя бы одна из переменных имеет значение !. Логическая сумма любого числа переменных равна О, если все переменные одновременно имеют значение О. Логической сумме соответствуют сложное высказывание, состоящее из простых высказываний, соединенных неисключающим ') союзом «или» (т.

е. соединительно-разделительным союзом «или>, обозначаемым «и/или» и имеющим смысл «или то, или другое, или оба вместе») и схема, составленная из параллельно функционирующих реле. Например„имеется схема, где электродвигатель может быть пущен в ход посредством замыкания любого (или обоих) из двух параллельно установленных контактов Х, и Х,.

Простое высказываниех,:электродвигатель пускается в ход, если замкнут контакт Х,. Простое высказывание х,: электродвигатель пускается в ход, если замкнут контакт Х,. Сложное высказывание = х, + х.,: электродвигатель пускается в ход, если замкнут контакт Хы и/или электродвигатель пускается в ход, если замкнут контакт Х . Логическое произведение 1= к«хз Сложное высказывание ) = х, + х, + ...

ложно тогда и только тогда, когда все простые Высказывания х„х„... ложны, и истинно тогда, когда хотя бы одно из простых высказываний х,, х„... истинно. 3'. Логическое произведение (конъюнкция, двоичное или булево улгножение) выражается символом )с (или /~, или точкой, или знак умножения вообще не пишется). Если х, и х, — две двоичные переменные, то их произведение / = х, х, определится следующим образом (см. таблицу 12): Из таблицы 12 видно, что если х, = О и х, = О, то ( = х„х, = О О = О; если х, = О и х, = 1, то ) = х, х, = О 1 = О; если х, = 1 и х, = О, то ! = х, х, = 1 О = О; если х, = 1 и х, = 1, то ! = х, х, = 1 ! = 1, где все выражения согласуются с элементарной алгеброй. Из выписанных соотношений следует, что х О=О, х1=х, хх=О, хх=х, ') В русском и многих других языках союз «или» обладает, как известно, двусмысленностью, а, например, в латинском взыке разлмчаютси союзы «н/илн» н «нли иначе».

Я 1ЯЯ. ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ СИНТЕЗ РБЛБйНЫХ СХЕМ 599 Полученные соотношения могут быть распространены на любое число двоичных переменных н, соответственно, на любое число простых высказываний. Логическое произведение любого числа переменных равно 1, если все переменные одновременно имеют значение 1. Логическое произведение любого числа переменных равно О, если хотя бы одна из переменных имеет значение О. Логическому произведению соответствуют сложное высказывание, состоящее из простых высказываний, соединенных соединительным союзом «и>, и схема, составленная нз последовательно функционирующих реле.

Например, имеется схема, где электродвигатель может быть пущен в ход посредством замыкания двух последовательно установленных контактов Х, и Х,. Простое высказывание х,: электродвигатель пускается в ход, если замкнут контакт Х,. Простое высказывание х,: электродвигатель пускается в ход, если замкнут контакт Х,. Сложное высказывание ~ = х, х,: электродвигатель пускается в ход, если замкнут контакт Х, и замкнут контакт Х,. Сложное высказывание 1 = х, х, ... ложно тогда, когда хотя бы одно из простых высказываний х„х.„... ложно, и истинно тогда и только тогда, когда все простые высказывания х„х,, ... истинны. 4'. С помощью элементарных логических функций отрицания, сложения и умножения можно записать любые, сколь угодно сложные логические условия и, соответственно, сформировать любые сколь угодно сложные логические функции Логическое сложение и логическое умножение удовлетворяют следующим законам: а) закону коммутативности (переместительному закону): х, + х, = х, + х„ ХЯ ХЯ = ХЯ ХЯ,' б) закону ассоциативности (сочетательному закону): (хя + хя) + хя = хя + (хя + хя) = (х«+ хя) + хяя (х,.х,).х, = х, (х,.х,) = х, (х, х,); в) закону дистрибутивности (распределительному закону): (Х«+ ХЯ) ХЯ Х> ХЯ + ХЯ Х>у ХЯ ХЯ + ХЯ (Х«+ ХЯ) (ХЯ + ХЯ) (для последнего имеем: (х, + х,) (х, + х,) = х,х, + х,х, + +хх,+х,=хх,+хх,+х,(х,+1)=хх,+хх, + х, ° = х,х« + х, (х, + 1) = х,х, + х,; зоо г .

»». синтез логических схем систем гпелвлвния г) закону идемпотентности (закону повторения): х+х+х+ ...+х=х, ххх ....х=х; д) закону Де Моргана (закону преобразования отрицаний или инверсии): (х, + х») = х, х„ х» х« = х» + х». Представление логических функций в виде формул не однозначно; поэтому, применяя указанные выше правила и законы, можно преобразовать одни логические формулы в другие, равносильные им формулы, т.

е. заменять исходные формулы равносильными. Равносильными называются две формулы, представляющие одну и ту же логическую функцию. Они соединяются знаком тождества. При этом стремятся к наиболее простым формулам, иначе говоря, стремятся к «минимизации» формул. 5'.

Логические системы управления относятся к классу релейных устройств (или конечных автоматов, или последовательностных машин), которые в общем случае характеризуются следующими свойствами: а) Устройство имеет входные каналы, в которые извне в дискретные моменты времени подаются двоичные сигналы х„х,... ..., х„„называемые входными сигналами.

Комбинация значений хм х,, ..., х называется значением входа. б) Устройство имеет выходные каналы, двоичные сигналы )„1»,... ..., 1„в которых, называемые выходными сигналами, служат для воздействия на объект управления. Комбинация значений )„ ..., 1„ называется значением выхода. в) Устройство в каждый момент времени может находиться в одном из внутренних состояний у„ у.„ ..., уь, определяемом входными сигналами в этот момент и состоянием в предыдущий момент. г) Входные сигналы преобразовываются в выходные в зависимости от внутреннего состояния системы в предыдущий момент времени. Каждый из сигналов х„х.„..., х и 1„1„..., )'„, принимающий значения О или 1, описывается двоичной переменной. Преобразование входа в выход, осуществляемое релейным устройством, описывается логическими функциями. Для анализа и синтеза этих устройств применяется алгебра логики, а точнее — булева алгебра, разработанная английским ученым Джорджем Булем в середине Х1Х века, необходимые основы которой мы здесь и изложим.

6'. Зависимость выхода от входа выражают словесно, или в виде таблицы, или иным способом и называют условием работы релейного устройства. $126. ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ СИНТЕЗ РЕЛЕИНЫХ СХЕМ ЗЯ Релейное устройство называют однотактныл1 (или без памяти), если в каждый данный момент времени значение выхода однозначно определяется значением входа. В этом случае устройство состоит только из логических элементов. Релейное устройство называют многотактным (или с и мятью), если какому-либо одному значению входа в различные моменты времени соответствуют разные значения выхода (ибо эти последние зависят не только от входа, но и от состояния устройства в предыдущий момент времени). В этом случае устройство состоит из логических элементов и элементов памяти.

Сочетание значений входа и внутреннего состояния в один и тот же момент времени определяет полное состояние устройства. Тактом релейного устройства называют интервал времени между двумя соседними изменениями его полного состояния. Графическое изображение последовательности изменений полного состояния релейного устройства называют таблицей включений или тактограммой и часто совмещают с циклограммой. Входные каналы перенумеровывают, используя в качестве номеров числа, полученные как степени числа 2, т. е. числа 26, 2', 2', ..., 2 -'.

Эти числа принято называть «весами», приписанными соответствующему входу. Число г различных сочетаний значений входных сигналов составляет г = 2". Десятичный эквивалент значения входа для каждого такта получают суммированием произведений «значенне входного сигнала» (О или 1) на его «вес» для всех т входных сигналов (табл. 13). В таблице 13 наличие жирной горизонтальной линии соответствует наличию сигнала (единичному значению двоичной переменной), отсутствие линии — отсутствию сигнала (нулевому значению). Если одному и тому же значению входа соответствуют разные значения выхода, т.