Bessonov2 (Бессонов Л.А. - Теоретические основы электротехники), страница 41

В этой схеме Е = 1 Гн; С = 1/3 Ф, ВАХ нелинейного резистора 1+ 7 = Ди + У„) изображена на рис. 16.13, б. Ток источника постоянного тока 7 = 7 А. ВАХ относительно переменных составляющих тока 1 и напряжения и на резисторе получена переносом начала координат в точку У = 7 А. Эта ВАХ состоит из трех участков. На участке 7 и = — 1 () 1~ ~~3), на участке П и = Зю' — 12 (а" >3), на участке МП и = 31 + 12 (1)3). Обозначим переменную составляющую заряда конденсатора д = х. Учтем, что сумма падений напряжений для переменных составляющих <И ~у ий + и~ + и~ — — ий + 1.— + — = О, Ж С ферритовых сердечников импульсами тока? 12. Лайте определение фазовой плоскости, интегральной кривой, фазовой траектории, предельного цикла, изоклины, особой точки. 13.

По какому признаку классифицируют особые точки? 14. Как по фазовой траектории у = 1(х) построить временную зависимость х(11? Глава семнадцатая ОСНОВЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ РЕЖИМОВ РАБОТЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ф 17.1. Устойчивость «в малом» и «в большом». Устойчивость по Ляпунову. Режим работы электрической цепи, содержащей нелинейные элементы, может быть устойчивым или неустойчивым. Как правило, режим работы большинства электрических цепей является устойчивым и в значительно меньшем числе случаев — неустойчивым.

Различают устойчивость «в малом» и устойчивость «в большом». Под устойчивым режимом работы «в малом» понимают такой, при котором достаточно малое отклонение режима работы от исходного (установившегося) — независимо от того, какими причинами оно вызвано, — с течением времени уменьшается и система возвращается в исходное состояние. При неустойчивом режиме работы «в малом» достаточно малое отклонение с течением времени увеличивается и система не возвращается в исходное состояние. >Ф Устойчивым режимом работы «в большом» называют такой режим рабаты, при котором система, получив достаточно большое начальное отклонение, возвращается в исходное состояние после прекращения действия возмущения. Если при достаточно большом отклонении от исходного состояния после прекращения действия возмущения система не возвращается в исходное состояние, то ее называют системой, неустойчивой «в большом».

Различие между устойчивостью «в малом» и устойчивостью «в большом» можно проиллюстрировать с помощью рис. 17.1, и. На этом рисунке изображены желоб с помещенным в нем шариком. Если шарик толкнуть так, что он переместится из положения 1 в Рис. 17Л положение 2, а затем предоставить его себе самому, то под действием силы тяжести шарик возвращается в исходное положение (положение равновесия). Если шарик толкнуть с большей силой, то он пройдет через положение 3 и выскочит из желоба. Таким образом, система (рис.

1?.1, а) устойчива «в малом» и неустойчива «в большом». В литературе можно встретить также термин «устойчивость по Ляпунову». Системой, устойчивой по Ляпунову, называют систему, для которой можно указать область допустимых отклонений 1область 6(е) на рис. 17.1, б] от состояния равновесия (точки О), для которой ни одно из движений, начинающихся внутри области 6, никогда не достигнет границ некоторой заданной области е. Размер и форма области 6 зависит от размера и формы области е. В нелинейных электрических цепях в общем случае возможны следующие режимы (типы движения): 1) состояние равновесия; 2) периодическое движение при отсутствии в системе источников периодической ЭДС (тока) — автоколебания; 3) периодическое движение с частотой источника периодической ЭДС (тока) — вынужденные колебания; 4) резонансные явления на высших, низших и дробных гармониках; 5) квазипериодические (как бы периодические) процессы по типу автомодуляции, а также ряд других, более сложных типов движений.

Каждый из этих режимов (типов движений) может быть исследован на устойчивость. В большинстве практических задач производят исследование устойчивости «в малом». Исследование устойчивости «в большомъ производят путем анализа хода интегральных кривых на фазовой плоскости или путем использования второго метода Ляпунова. Основы теории устойчивости были разработаны крупнейшим русским математиком А. М. Ляпуновым в 1892 г.

и изложены в его книге «Общая задача об устойчивости движения». ф 17.2. Общие основы исследования устойчивости «в малом». Общие основы исследования устойчивости «в малом» применимы ко всем или почти ко всем известным в настоящее время типам движения. В каждом конкретном случае возможны некоторые особенности при применении общих принципов. Для исследования устойчивости исследуемой величине х(величинам) дают малое приращение Лх, развертывают уравнение, описывающее процесс, в ряд по степеням малого приращения Лх и ввиду малости Лх отбрасывают все члены ряда, содержащие Лх в степенях выше первой.

В полученном уравнении (уравнениях) выделяют слагаемые, содержащие Ьх и производные от Лх по времени, и образуют из них дифференциальное уравнение (уравнения) относительно Лх. Уравнение относительно Лх алгебраизируют, получают характеристическое уравнение и определяют его корни. Если хотя бы один корень характеристического уравнения поло- жителен или положительна действительная часть комплексно-сопряженных корней, то это свидетельствует о том, что возникшее приращение Лх будет не убывать, а возрастать во времени, т. е. исследуемое движение является неустойчивым.

Если же все действительные корни характеристического уравнения отрицательны, а все комплексно-сопряженные корни имеют отрицательную действительную часть, то исследуемое движение является устойчивым. Характеристическое уравнение, составленное относительно приращения Лх: для системы второго по~!ядка а,р +а,р+а,=О; для системы третьего порядка а,р'+а,р'+а р+а,=0. ~! ~3 ~5 аоа~ а~ ... о О!!! !!3 ... О ............ !!„ Следовательно, условия отрицательности действительных час тей корней характеристического уравнения выражают следующим образом: ~! ~з ао а~ = а!Р2 !!о!!з)0; !~ =а)0;~~= !!! !!З !!5 -~О и т. д. !~з = ~~0 ~2 ~~4 о !!! !!3 О пределитель Гурвица Л„составляют так: 1) по главной диагонали определителя в порядке возрастания индексов вписывают коэффициенты от а, до а„; 2) в ту часть каждого столбца, которая расположена выше главной диагонали, записывают коэффициенты в порядке возрастания индексов; 3) в ту часть каждого столбца, которая расположена ниже глав- Для суждения о характере корней характеристического уравнения разработано несколько математических критериев.

Воспользуемся критерием Гурвица (Рауса — Гурвица). Критерий (теорема) Гурвица состоит в следующем. для того чтобы действительные части корней характеристического уравнения были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы все диагональные миноры (Л„А~, ...,Л„!) определителя Гурвица (А„) были больше нуля. Определитель Гурвица ной диагонали, вписывают коэффициенты в порядке уменьшения индексов (до а„включительно). Следствием теоремы Гурвица является лемма: все коэффициенты характеристического уравнения (а, а„а~,...,а„) устойчивой системы положительны.

Из изложенного вытекает, что для системы с характеристическим уравнением второго порядка положительные вещественные корни (или комплексно-сопряженные с положительной действительной частью) имеют место в том случае, если какой-либо из коэффициентов уравнения (ао, а„а,) окажется отрицательным. Для системы с характеристическим уравнением третьего порядка положительные вещественные корни (комплексно-сопряженные с положительной действительной частью) будут в том случае, если: а) какой-либо из коэффициентов (ао, а,, а~, а,) окажется отрицательным; 6) а~ад — аоаз~ О.

Аналогичные заключения могут быть сделаны и для систем с характеристическими уравнениями более высоких порядков. Коэффициенты ао, а„а, ... могут оказаться отрицательными в следующих основных случаях: а) когда в состав исследуемой на устойчивость системы входят нелинейные резисторы, обладающие падающим участком характеристики, а точка равновесия оказывается на падающем участке характеристики; 6) в схемах с чрезмерно большим воздействием выходной величины на входную (в схемах с чрезмерно большой положительной обратной связью).

В этом случае поступление энергии из выходной цепи во входную превышает потребление энергии во входной цепи и приращение Лх возрастает; в) в схемах с управляемыми нелинейными индуктивными катушками (нелинейными конденсаторами) при наличии неявно (в некоторых случаях и явно) действующих обратных связей. В таких схемах обратные связи при определенных условиях приводят к появлению на характеристиках нелинейных индуктивных катушек (нелинейных конденсаторов) падающих участков. Режим работы системы может оказаться неустойчивым, если изображающая точка окажется на падающем участке характеристики управляемой нелинейной индуктивной катушки (нелинейного конденсатора). ф 17.3.

Исследование устойчивости состояния равновесия в системах с постоянной вынуждающей силой. Когда рабочая точка по постоянному току окажется на падающем участке ВАХ, то состояние равновесия в системе при определенных условиях может оказаться неустойчивым. В этом случае применяется известный способ: при исследовании устойчивости нелинейный резистор заменяют расчетной схемой — схемой замещения Она должна учитывать свойства 558 НР как при медленных (при ь-+О), так и при быстрых(при ь — оо) малых приращениях тока и напряжения на НР. Свойства НР при ь-+-О определяются самой ВАХ НР, снятой при постоянном токе, на падающем участке которой дифференциальное сопротивление И,„,~( О. Если к НР подвести некоторое постоянное напряжение или через него пропустить некоторый постоянный ток такого значения, чтобы рабочая точка находилась на падающем участке ВАХ, и затем воздействовать на НР синусоидальным напряжением или током малой амплитуды, то сопротивление 2((ь), оказываемое НР синусоидальной составляющей малой амплитуды, будет представлять собой комплексное число.

Опыт показывает, что при достаточно большой а действительная часть этого сопротивления оказывается положительной, т. е. Ке Е(уь) О. Объясняется это тем, что физические процессы в самом НР являются процессами инерционными, причем инерционность (сдвиг фаз) сильнее проявляется с ростом частоты. В одних НР инерционность вызвана тепловыми процессами, в других — процессами накопления энергии в электрическом и (или) магнитном полях, в третьих — процессами ионизации и деионизации (которые также протекают не мгновенно), в четвертых — инерционностью процессов диффузии носителей тока и емкостью, обусловленной объемными зарядами. Но чаще всего инерционность есть следствие нескольких взаимно связанных друг с другом процессов. Таким образом, схема замещения НР, когда точка равновесия находится на падающем участке характеристики, по отношению к малым приращениям должна быть такой, чтобы при ь-~-О Келсо) = Р„„Ф~О, а при ь — ~-оо йеЕ(~н) ~О.