Bessonov2 (Бессонов Л.А. - Теоретические основы электротехники), страница 42

На рис. 17.2, а изображена одна из возможных схем замещения для НР с Я-образной ВАХ (рис. 17.2, б), удовлетворяющая перечисленным условиям. В этой схеме ń— некоторая малая индуктивность, которую часто называют «паразитной», Я„„» ~ Й,„~ ~ ~ О— некоторое добавочное активное сопротивление. На рис.

17.2, в изображена одна из возможных схем замещения для НР с Х-образной ВАХ (рис. 17.2, г), где ф— некоторая малая емкость, называемая часто «паразитной», и Р„.„'- Π— некоторое добавочное активное сопротивление. Параметры ~„и й,„„, а также С„и Р„,' зависят от физических процессов в НР и изменяются при переходе из одной точки на падающем участке ВАХ в другую. ф 17.4. Исследование устойчивости автоколебаний и вынужденных колебаний по первой гармонике. Исходными при исследовании устойчивости автоколебаний и вынужденных колебаний обычно являются уравнения, получаемые по методу медленно меняющихся амплитуд (см. ~ 16.6).

Однако в тех случаях, когда напряжение на каком-либо элементе (ток в исследуемой цепи) резко отличается по форме от синусоиды, например имеет пикообразную форму, исследование устойчивости целесообразно проводить по средним за полпериода значениям величин. Если через а и Ь обозначить медленно меняющиеся амплитуды синусной и косинусной составляющих исследуемого колебания, то из исходных уравнений системы можно получить два уравнения для медленно меняющихся амплитуд: с1а/Ж = А(а, Ь); (1?.1) (17 2) с1Ь/Ю = В(а, Ь) В(а„Ь„) = О (17.4) Пусть в результате возмущения амплитуды колебания получили малые приращения Ла и ЛЬ и стали равными: а = а, + Ла и Ьо+ ~Ь. Подставим эти значения а и Ь в (17.1) и (17.2), разложим А(ао+ Ла, Ьо+ ЛЬ) и В(ао+ Ла, Ь + ЛЬ) в ряд Тейлора по малым приращениям Ла и ЛЬ, в силу малости приращений ограничимся слагаемыми ряда с первыми степенями Ла и ЛЬ.

В результате получим: А(а + Ьа, Ьо+ ЛЬ) = А(ао, Ь ) + ЛаА, + ЛЬВ,, (17.5) В(а, + Ла, Ь, + АЬ) = В(ао Ьо) + ~аАя+ ИЮ~. (17.6) Для сокращения записи обозначено: : (17.7) дА(а, Ь)1 1" дА(а, Ь) да ~ ' ' ~ дЬ 560 Здесь А и В являются функциями амплитуд а и Ь, функциями параметров схемы, угловой частоты колебаний со и амплитуды вынуждающей силы. Обозначим значения а и Ь в установившемся режиме (когда амплитуды не изменяются во времени) через а„и Ь,. Для определения ао и Ьо в (17.1) и (17.2) следует положить с(а/Ю = О и с(Ь/Ж = О и решить систему уравнений: А(ао Ьо) = О' (17,3) (17.8) дВ(а, Ь) дВ(а, Ь) д(ао+ Ла) ~~ ~((ЬО+ ЛЬ) ЫЬ Ж Ж Ж дс В результате получим два уравнения: Ыа/сИ = А,Ла+ В,ЛЬ; (17.9) (17.10) с1М/М = А,Ла + В,ЛЬ.

Ллгебраизируем их: РЛа =А,Ла+ В,ЛЬ; (17.9а) РЬЬ = А~Лп + В,ЛЬ. " . "':; (17.10б) Составим характеристическое уравнение р2+ тр+ ~=0, (17.11) где т= — (А, +А,); о=А,В,— ВА,. (17.13) В соответствии с критерием Гурвица для затухания приращений Ла и ЛЬ необходимо, чтобы т = О, д~О. ' (17.14) В автоколебательных системах периодические вынуждающие силы, как правило, отсутствуют, поэтому можно принять Ь = О, т. е. взять колебание в виде а(1)з(пса1 (см.

пример 164). В этом случае вместо двух уравнений (17.9) и (17.10) будет одно уравнение с1Ла/с1с = А,Ла, (17.15) где А,— (17.16) Для устойчивости автоколебаний в этом случае необходимо выполнение условия А,~ О. Индекс у свидетельствует о том, что в частные производные должны быть подставлены значения а и Ь установившегося режимаа, т. е. ао и Ь,. Коэффициенты А,, В,, А,, В, являются функциями а, и Ь,, но не являются функциями приращений Аа и ЛЬ. Подставим правые части (1?.5) и (17.6) в (17.1) и (17.2), учтя при этом (17.3) и (17.4), а также то, что к г с Рис.

17.3 Пример на исследование устойчивости автоколебаний по формуле (17.15) см. в ф! 7.6'. й 17.5. Исследование устойчивости состояния равновесия в генераторе релвксационвых колебаний. Релаксационные колебания представляют собой автоколебания, при определенных условиях возникающие в нелинейных электрических цепях с одним накопителем энергии, например в цепи с одним конденсатором (без индуктивного элемента) нли одним индуктивным элементом (без конденсатора). На рис. 17.3, а изображена принципиальная схема генератора релаксационных колебаний.

Она состоит из источника постоянной ЭДС Е, линейного резистора сопротивлением Я, конденсатора емкостью С и параллельно соединенного с ним нелинейного резистора, имеющего ВАХ Ь-образной формы. В качестве НР с такой ВАХ могут быть взяты неоновая лампа или тиратрон. На рис.!7.3, б дана схема генератора с неоновой лампой. Кривая 1 (рис. 17.3, и) представляет собой ВАХ неоновой лампы, прямая 2 — ВАХ Ст. Если бы не было релаксационных колебаний, то режим работы определился бы точкой т пересечения кривой 1 и прямой 2. Для этой точки сумма падений напряжений на НР и Я в соответствии со вторым законом Кирхгофа равна ЭДС Е." Ф+ янй — — Е.

Точку т будем называть точкой равновесия. Она определяет режим работы схемы при прохождении по Я и неоновой лампе постоянного тока. Убедимся в том, что режим работы, определяемой точкой т, является неустойчивым: достаточно ничтожно малого отклонения от состояния равновесия, чтобы изображающая точка «ушла» из точки т и не возвратилась в нее. В схеме возникнут релаксационные колебания. Для того чтобы убедиться в неустойчивости состояния равновесия, составим линейную схему замещения релаксационного генератора. Так как НР имеет 8-образную ВАХ, то в схеме для исследования устойчивости оно имитировано (в соответствии с $17.3) дифференциальным сопротивлением Рд„ф и последовательно с ним включенной малой паразитной индуктивностью Еа, зашунтированной резистором сопротивлением Я лоб 1 Исследование устоичивости вынужденных колебаний на высших гармониках и субгармониках, процессов в цепях с переменными во времени параметрами, а также исследование устойчивости процессов автомодуляции даны, например, в[201.

562 ил 111 и В Рис. 17.4 Рис. 17.5 Дифференциальное сопротивление 1г „в точке т пропорционально тангенсу угла а(рис. 17.3, в) и является отрнцательнои величиной. Источник ЭДС в схеме замещения (рис. 17.3, г) не включен, так как исследуется поведение схемы в режиме приращений по отношению к режиму, определяемому точкой гп. Входное сопротивление схемы в операторной форме относительно точек а и Ь ~д Р1- й ~"(Р) ~ "Ф+ г Р1.

+ ~С~ Характеристическое уравнение цепи р'~„С~(К, + К„„ф)+ Р(1„®+К„, + 1~,„Ф) + СЯЯ„,вг„„ф)+Я, ()с + г,„, ) = О. Так как рабочая точка находится на падающем участке ВАХ НР, то 1г:: ~ й диф и поэтому свободный член положителен. Из условия КеЯ(1а)~0 при о — «оо следует, чтой ~~Я „ф(, поэтому коэффициент при р тоже положителен. Состояние равновесия будет неустойчивым, если коэффициент при р окажется отрицательным, т.

е. при 1-Ф+ 1~д~+ Йд„,)+ СЕ~д.Фд.,~о. Рассмотрим последовательность смены состояний при релаксационных колебаниях. 2 Пусть в схеме (рис. 17.3, б) при нулевых начальных условиях замыкается ключ К. Конденсатор С начнет заряжаться, и напряжение на нем будет расти (рнс. 1?А, а). Так как конденсатор и неоновая лампа НЛ включены параллельно, то в любом режиме работы напряжения на них одинаковы. Как только напряжение на конденсаторе возрастает до значения, равного напряжению зажигания из неоновой лампы, последняя зажжется н ток в ней возрастет от нуля до 14 (рнс. 17.4; б). Конденсатор быстро разрядится через НЛ, внутреннее сопротивление которой мало посравнению с сопротивлением Я. При этом изображающая точка на ВАХ НЛ переместится из точки 4 в точку 1. В точке 1 напряжение на НЛ равно напряжению ее гашения и„, поэтому неоновая лампа гаснет и ток в ней становится равным нулю(точка 2).

Далее конденсатор вновь заряжается до напряжения из, НЛ снова зажигается и процесс повторяется. Траектория движения изображающей точки на рис.! 7.4, б образует замкнутую петлю 12341. Следует подчеркнуть, что если условия возбуждения колебаний в схеме выполнены, то амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе не зависит от нагрузки К и ЭДС Е, а определяется только напряжениями зажигания из и гашения и, НЛ. Период колебаний равен сумме времени зарядки н разрядки конденсатора и зависит от ЭДС Е, емкости С, сопротивления и внутреннего сопротивления НЛ. Обратная связь в схеме находит свое выражение в том, что конденсатор управляет режимом работы НЛ. В заключение заметим, что если в схеме на рис.

17.3, б ЭДС Е и сопротивление К взять такими, что ВАХ резистора сопротивлением й пересечет ВАХ НР с 8-образной характеристикой в трех точках (7, 2, 8, на рис. 1?.3, д), то точки 1 и 3 будут соответствовать устойчивым состояниям, а точка 2 начиная с некоторого значения С вЂ” неустойчивому.