Метод конечных элементов (Зенкевич О. - Метод конечных элементов в технике), страница 68

Другие собственные значения и соответствующие им собственные векторы определяются методом «ловли льва в пустыне» в сочетании с итерационным методом. При использовании этого метода матрица Н видоизменяется таким образом, чтобы свести максимальное собственное значение системы к нулю. В результате наибольшим собственным значением становится последующее значение Х, После этого процесс итераций повторяется. Предположим, что на некотором этапе получены собственное значение Х, и собственный вектор Х„. Используемую для нахождения 1., и Х,. матрицу можно с помощью метода «ловли льва» видоизменить так, чтобы При исследовании колебаний и устойчивости, а также при расчете методом конечных элементов волноводов и т.

д. можно получить систему матричных уравнений вида НХ = ХХ, где Н вЂ” квадратная матрица известных коэффициентов, Х вЂ” век- тоР 1хь х~, ..., х„1т, а Х вЂ” скалЯРнаЯ величина, соответствУюшаЯ собственным частотам, критической нагрузке, частотам среза и т. и. Уравнения вида НХ = ХХ называются уравнениями собственных значений, и в общем случае они имеют столько решений, т. е. собственных значений и соответствующих собственных векторов, сколько степеней свободы х;. Примером могут служить задачи о свободных колебаниях, в которых Н=К М. В~! и!с.!!!те,!!,!!6!~ .~!етод!,! !~~ п~~~!~я~~.!!!!! ! избавиться от г-го корня, т.

е. сделать Х, равным нулю, не изменяя других собственных значений и собственных векторов. Очевидно, что после зтого у видоизмененной матрицы наибольшим собственным значением будет Х,.+ь Пусть Х, Х~М Хг МХ, Можно записать Р— ~!71 — ~272- ° ° ° — ~.гИ Х,. = = НХ, — Х,г,х, — К,7,Х, — ... — ~„К,Х„= Х,Х, (Х,'МХ,) К,Х,(ХтМХ,) ХтМХ Х~МХ~ ~,Х„~ХтМХ ) Х,'МХ„ (20.14) Используя свойство ортоганальности собственных функций, можно показать, что при т ~ь з справедливо равенство Х МХ,=О. (20.15) И ~" 1~ ! ~!'2~ 2 ° ' ° ~'!'~к1 Хя ОХз ~!~~' !Хд ~!'272Хз ~!"~!'Хз =Х,Х, ~ Х ГХтМХ ) ~, Х (ХтМХ ) — ' = Х,Х,.

(20.17) А,Х„(ХтМХ,) ;М Г Следовательно, Х. остается корнем видоизменной матрицы. Свойство ортогональности, использованное в (20.14) и (20.17), доказывается следующим образом. Записываем равен- ства К МХ,=АХ„ ~Ж Мг (20.18) (20.19) Равенство (20.14) можно переписать в виде 1Н вЂ” Х!7! — Х,К2 — ° - — 1~74 Хг = КгХ, — Х,Хг = ОХть (20 16) так как Х,МХ! — скалярная величина и на нее можно сократить. Из- соотношения (20.16) следует, что Х„все еще остается собственным вектором видоизмененной матрицы, но соответствующее собственное значение Х, равно нулю.

Теперь остается доказать, что другие корни системы не изменяются в процессе ~ловли льва». Полагая, что Х. и Х, — собственное значение и собственный вектор (з.> г), можно запи- сать Глава 20 Если теперь вычесть (20.21) из' (20.20), то в результате получим (2 г — ~,г) Х,'МХг = О. (20.22) Так как в общем случае Х, ~ь З.„то должно выполняться равенство Х,'МХ, =О. (20.23) Пример программы Обозначения переменных в подпрограмме Е1()ЕИ Ебб Характеристическая матрица (К-'М или М 'К) % Матрица масс (или жесткости) ТЕБТ Требуемая точность определения собственного вектора Максимально допустимое число итераций .

Количество определяемых собственных чисел Квадратный корень из обратной величины собственного значения, используемый вместе с матрицей К-' М для определения низших собственных частот Проерамма 20-9 ЯЗВКО13Т1ХЕ Е10ЕХ (Е00,%,ИУ) ИМЕИЗ10Х Еаа(4,4),Х(4),ХАих(4),ХП (4).ЕАЦХ(4,4),%(4,4) ЕЙΠ— характеристическая матрица % — матрица масс С С С КеАВ (5,10) тезт,(ч1т,ие10 10 РЮКМАТ(Р10.5,2110) С ТЕЗТ вЂ” требуемая точность С К?Т вЂ” максимальное число итераций С ИЕИ вЂ” количество определяемых собственных чисел С 00 1 и =1,МЕ10 00 66 1=1,ХЧ ХБХ(1) = 1.

66 Х(1) =1. 14 СА1Л. МРКВ(ЕЮЮ,Х,ХАБХ,ИЧ,ХЧ,1) Е10 = ХА(ЛЦ1) 00 571 =1,МT Умножая (20.18) на Х,М, а (20.19) на Х,М~ и выполняя затем операцию транспонирования в последнем уравнении (помня при этом, что матрицы К и М симметричны), получаем Х~М'К 'МХ, = Х,Х~МХ„ (20.20) Х~~М К ~МХ,=Х,Х,МХ,. (20.21) Блок-схема программы Е16ЕИ Счшпыбание оснобньт данных Начало цикла по апре елтиым сойтбенныы значениям Выполнрние илераиий Иробериа услобия оосп ижения аа8анной точности Пробериа пребышвния аа3анноео числа иле аиии Запись собсабенного оначения и соЫпбеннозо бетпора /агнец цикла по со5стбенным оначенияы Вычислительные методы и программы Программа 20-11 81)ВКО1!Т11ЧЕ ТРАЛ (В,В,ВВ,МД.Щ 01МЕМ310Х 0(4,4),В(4,4),0В(4,4) С ВВ(1.,Х) = (транспонированная 0(М,1;))~В(МЩ ВО 110 1 = щ ВО 110 1=1,1.

ВВ;1,,1) =О во ио К=1,м 110 0В(?,Х) = 0В(1.1) + 0(К,1)~в(К,.)) КЕТУРИ Е!ЧЭ 20.10. Заключительные замечания В этой главе рассмотрен весь процесс реализации метода конечных элементов и приведены образцы программ. Изложенный материал не содержит каких-либо утонченных приемов, которые могли бы оказаться нейонятными для начинающих. Напротив, авторы привели достаточно простые, но весьма эффективные рабочие программы, отметив в то же время возможности использования других методов и учета особенностей исследуемой системы.

Программа решения задач о собственных значениях, приведенная в этой главе, очень проста и не использует свойство симметрии матриц жесткости и масс (или геометрической жесткости). Читателям, интересующимся применением более совершенных методов и возможностями экономии памяти машины, счедует обратиться к работе Андерсона !81, посвященной задачам о колебаниях и устойчивости. ЛИТЕРАТУРА 1. С1опдЬ К, %., ТЬе Р1п11е Е1егпеп1 1п Р1апе 81гевв Апа1уз!в, Ргое. 2пб АЯСЕ Соп1. оп Е1ес1гоп1с Согпрп1а11оп, Р11ЫшгКЬ, Ра., Яер1. 1960.

2. 1гопв В. М., Есопоппса! Согпрп1ег ТесЬп!г!вез 1ог Мпгпег1са!1у 1п1еига1ег1 Р(п11е Е!егпеп1в, 1п1. Х. Уит. Л1е1й. Епд., 1, 201 — 203 (1969). 3. Магвп Н. С., 1п1годпс11оп 1о Ма1г1х Мейог(в о1 81гпс1пга! Апа1уз1з, Мсбгаи-Н111, 1966. 4. С1опдЬ К. %., Юо)потоп С. Р., А Г!и!1е Е1егпеп1 Арргохппа1!оп 1ог йе Апа1увнв о1 ТЫп Я~е11з, 1п1.,1. Бо1Ыв Ягпс1. 4, 43 — 60 (1968).

б. К!пи 1. Р., Ап Ап1огпа11с йесогс!!п~ ЗсЬегпе 1ог 8!гпп!1апеопв Ес!па1!опз Бег!чей 1гогп ИеМогй Зуз1егпв (будет опубликовано). 6. 1гопз В, М., А Ргоп1а! Яо1п11оп Ргоягагп 1ог Р1п11е Е1егпеп1 Апа1ув1в, 7п1.. У. Кит. Ме1!с Епи., 2, б — 32 (1970). 7. У!епЫетлсв О. С., К!пи 1, Р., Ивспвв1оп оп ~Тле Апа!ув!в о1 а Гонг-Брап ВгЫде Бв1пд ап Е!ес1г1са1 Апа1одпе Сотрп1ег», Ргос. 1пЖ С!о. Епи., 37, 819 — 820 (1967) . 8. Апс1егвоп й. О., А Р!п11е Е1егпеп1 Е!аепта1пе Бо!и!!оп Буз1сгп, РЬ. О, ТЬез!з, 1)п1ч.

о1 Ъа1ев, Ъчапзеа, И68. 510 ПРИЛОЖЕНИЕ 20А Приведенные программы являится подпрограммами формирования и решения уравнений итерационным методом Гаусса— Зейделя. Программа 20-12 Я~ВВО()Т1ХЕ РОВМК С С Подпрограмма предназначена для формирования компактной С матрицы К и соответствующей матрицы-указателя С СОММОЩСОИТК~Т1Т Е(12),ИР,ИЕ,ХВ,ИВР,ИСИ.ИЬР ИМАТ ХБХР,Ь1,ИТ4 СОММОИ СОЧВ(100,2),ХОР(200,4),1МАТ(200),ОКТ(25,2),ИВС(25), ИР1Х(25) 1,Й1(200),ЯЦ200,20), ЮР(200,20) 2,ЕЗТ1РМ(12,12) С С Задание максимального числа членов С ХМАХ =20 ИОРР = 20 С С Задание нулевых массивов С 00 300 И=1,ИВАР 0О 280 М=1,ИМАХ 280 Я(И,М) =0 ВО 290 М =2,ИОРР 290 ЮР(И,М) =0 300 13Р(И,1) = И С С Обход по всем элементам С ОО 400 И=1,ХЕ САЬЬ ЯТ1РТ2(И) С С Возврат к ЕБТ1РМ, как к матрице жесткости С Засылка ЕЗТ1РМ в массив Я и члена-указателя в 18Р С С С Обход сначала по строкам С 1=0 ОО 350 И= 1,ИСИ, ИКОЖВ = (ИОР(И,Л) — 1)э ХОР 00 350 1=1,ХОР Вычислительные методы и програтт ИКОЪ'В = ИКОЬ'В + ! 1=1+ 1 С Затем обход по столбцам С П=О РО 330 КК = 1,ИСИ ИСО1.В = (ИОР(И,КК) — !)*ИРР РО 330 К= 1,ИРР ИСО1.Б = ИС01.В + 1 П=П+1 С С Поиск в 1БР номера столбца С РО 310 М= 1,ИОРР 1Р(1ЯР(ИКОЖВ,М) — ИС01.В) 305,320,305 305 1Р(1ЯР(ИК0%В,М)) 3!5„3!5,3!О 310 СОИТ1И[ЗЕ С С Поиск свободного места для хранения ИС01,В С 315 18Р(ИКОВ,М) = ИС01.В С С Запись ЕЗТ1РМ С 320 81(ИКОЪ'В,М) = ЕЯТ1РМ(1,П) + 81(ИКСОВ,М) С С Конец цикла по столбцам 330 СОИТ1И()Е С Конец цикла по строкам 350 СОИТ1ИБЕ С Конец цикла по элементам 400 СОИТ1ИБЕ С С Учет граничных условий С РО 500И 1,ИВ ИХ = 10 (ИРР— 1) 1 = ИВС(И) ИКОЪ'В = (1 — 1) ~ИРР С С Проверка каждой степени свободы Р0490 М =1,ИРР ИРОДОВ = ИБО%В + 1 1СОИ = ИР1Х(И)/ИХ 1Р(1СОИ) 450,450,420 Глава 20 С С Запоминание большого номера на диагонали С 420 81(ХКОЖВ,1) = 51(ХКО%В,!) 10~~20 ИР1Х<И) = ИР1Х(И) — ХХ 1СОИ 450 ХХ = ИХ~10 490 СОХТ1ХБЕ 500 СОХТ1ХУЕ КЕТАХ ЕХВ Программа 20-13 ЯЗВКОБТ1ХЕ 801 УЕ С С Задание коэффициента релаксации и точности Т01.ЕР .1Š— 3 КЕ1.АХ = 1.3 С С С С При отрицательном' числе уравнений пропуск задания начальных данных 1Р(ИЕЯХ.Т.О)60 ТО 310 РО 300 И=1,ХЩ 00 250 М =1,ИТ 1Р(1ТЕМ(И,М).ХЕ.О) 00 ТО 250 С С Массив 1ТЕМ(Х,1) содержит счетчик расстояния от диагонали С С 1ТЕМ(И,1) = М вЂ” 1 00 ТО 260 250 СОХТ1Х1)Е 250 С~ ~ХТ1Х~ ~Е 300 СОХТ1И1.1Е 310 ХЕЯ = 1АВБ(ИЕЯ) С С Задание максимального количества циклов С ИСУС = ХЕ~У2 1Р(ИСУСЛ.Т25)ИСУС =25 С Подпрограмма предназначена для решения уравнений итерацион- С ным методом СОММОК/СОХТК~Т1Т1.Е(12),ХР,ИЕ,ХВ,ХОР,ИСХ,И1.В,ИМАТ, ИЕЯ,1.1,ХТ4 СОММОИ СОКО(100,2),ИОР(200,4),1МАТ(200),ОКТ(25,2),ИВС(25), ХР1Х(25) 1,Й(200),А(200,20),1ТЕМ(200,20),013(200) ХТ= 20 С С с ПО 320 Х = 1,КЩ ЩА(Ж,1).ИЕ.О.)А(М,1) = 1./А(Ы,1) З20 ИБ(Щ =0.

Начало цикла по циклам 1:тО 500 ЫС 1,ИСУС Б(1М =0. Я1МП =0. Начало цикла по уравнениям с . С С С С С Выход из цикла при достилгенин сходимости С И11 = ХС 1Р(Б(1МХ,Т.ЯЛИО~ТО1.ЕК) ОО ТО 550 500 СОИТ1Ы(1Е С С Пересылка окончательных результатон и массив Я С 550 00 600 Х 1,ХЕЦ 600 й(И) = ИБ(Х) С С Печать последнего значения суммы и т.