Метод конечных элементов (Зенкевич О. - Метод конечных элементов в технике), страница 71

(А5.3) Этот же результат можно получить, используя правила матричной алгебры, т. е. Х2 Х! ( 1~02) ГО! ) ( 1~21) У2 У ! 22 Х! Длина вектора. Из геометрических соображений длина вектора т!'21 определяется выражением ~21 ЪЙ~2 х1) + (У2 У1) + (а2 в ! ) или в обозначениях матричной алгебры ~!2 = 16'!2)' РаЬ (А5.6) (А5.4) (А5.5) ') Здесь и далее предполагается прямоугольная декартова система коор-.

динат, — Прим. рад. Некоторые сведения из векторной. алгебры Направляющие косинусы. Направляющие косинусы вектора определяются через длины его проекций: Х2 — Х~ соза„=Х,„= ' и т. д., 12 где а, — угол между вектором и осью х. Скалярные произведения. Скалярное произведение двух векторов определяется как произведение длины одного из векторов на длину проекции на линию его действия другого вектора.

Та- Фнг. А5.1. Векторное сложение. ким образом, если у — угол между двумя векторами А и 'В, длина которых 1„и 1ь, то (А5.8) А ° В =1,1всозу =В ° А. Если А =1а„+ 1а„+ Ма„ В = 1Ь„+ 1Ь„+ И~„ 1 ° 1=1-1=1с 1=1, 1 ° 1=1 ° М=Й ° 1=0 и т. д., получаем (Л5.10) то, учитывая, что в соответствии с приведенным определением В матричных обозначениях (А) = а„ (А5.11) 1 ° 1ь з~ 6 и Фиг. А5.2. Умножение векторов (векторное произведение). длин этих векторов.на синус угла между ними.

Его направление определяется по правилу правой руки. Так, на фиг. А5.2 показан вектор А ХВ =С. (А5.13) Ясно, что АХВ= — ВХА. (А5.14) Отметим, что величина (или длина) вектора С равна площади показанного на фиг. А5.2 параллелограмма. Используя представления (А5.9) и замечая, что 1Х1=1Х1=КХ 1=О, 1Х 3 =1~ 1Х 1<=1 1с Х1-3, (А5.15) получаем М а„а„а, Ь„Ь„Ь. АХ В =с1е1 =(а„Ь,— а,Ь„)1+(а,Ь, — а„Ь,)1+(а„܄— а Ь,) й. (А5.16) Векторное произведение. Векторное произведение опреде= ляется как вектор, направленный по нормали к плоскости, задаваемой двумя векторами, и равный по величине.

произведению Некоторые сведения из векторной адгебры В матричной алгебре нет простого аналога векторному произведению, однако можно использовать для вектора С следующее определение '): а„Ь, — а,Ь„ (С) =А Х В= а,Ь„' — а„Ь, а,Ьв — а„Ь,. Векторное произведение особенно полезно при построении нормали к поверхности (см. гл. 11). Злементариые площадь и объем; Если $ и т~ — некоторые криволинейные координаты, то векторы д» д» д~ д11 И$=,, д$, Ит1 = й~ (А5.18) ~1 З =~1е1 д$ дт~ ду ду (А5.19) бЦ 6Ь~.

Аналогично в криволинейных координатах $, т1, ~ трехмерного пространства элементарный объем определяется смешанным произведением дх дх дх д$ дЧ д~ др д д д4 дт) д~ дз <Ъ да д$ ди д~ сЦ Й~ сЦ. (А5.20) Это соотношение следует из геометрических соображений. Произведение, стоящее в скобках, по определению представляет собой вектор, длина которого раина площади параллелограмма, построенного на векторах й1 и ~ф. Скалярное умножение этого вектора на вектор ~ф дает элементарный объем. ~) Подробнее см. в книге: Б. Е.

Пабедри, Лекции по тензорному анализу, Изд-во МГУ, 1974, — Прим. ред. определяемые соотношениями между декартовыми и криволинейными координатами„направлены по касательным к линиям $ = сопМ и т~ = сонары. Поскольку длина векторного произведения гфК Й~ равна площади элементарного параллелограмма, используя (А5.17), можно записать ПРИЛОЖЕНИЕ 6 ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Продемонстрируем здесь относительно простой переход от вариационного соотношения к эквивалентному дифференциальному уравнению, Однако обратный процесс гораздо сложнее и его не всегда удается осуществить, поскольку зачастую не удается установить вариационный принцип. Рассмотрим задачу минимизации функционала х = 1 1(х, У, ., Ф. Ф., Ф„.

Ф)НГ + 1 (чФ+ ~) ШЯ. (Аб!) Здесь ~ — произвольная функция, ф„= дф~дх и т. д., С вЂ” часть границы, на которой не заданы значения функции ф. На остальной части границы ф = ~ъв. Рассматривая произвольную вариацию неизвестной функции ф и ее производных, получаем "=~Ь;-'~+ — „",'~.+ею„'~.+ м~-и~.)-+ +~~дИ+а4ьйнЯ.

~А6.2) Поскольку ьф„ь( — „) — „(ь~) и т. д., соотношение (А6.2) можно переписать в виде ь = ~ фи++Дм+".)а + ~и~и+.ма~я=о. с (А6.3) Величина бт приравнена нулю, так как в точке минимума (стационарной точке) вариация обращается в нуль. Подставляя дГ = дхдудг и интегрируя второе слагаемое и- первом интеграле по частям 1см. формулу (3.25)1, получаем ~ ~ —,'„~ьи и'= ~ ~ц~„и — ~ —,"„(Я-)в~ж~, У 3 У СОДЕРЖАНИЕ 5 7 Предисловие к русскому изданию Предисловие автора Глава 4. Плоское напряженное и плоское деформированное состояния . 60 Глава 5. Осесимметричное напряженное состояние . Глава 6. Исследование трехмерного напряженного состояния 87 104 Глава Глава Глава Глава Глава 11. Оболочки как совокупность плоских элементов' .

. . . . . 230 . 259 Глава 12. Осесимметричные оболочки Глава 13. Полуаналитический метод конечных элементов. Применение ортогональных функций . . . . . . . . . . . . . . . 274 Глава 14. Расчет толстостенных оболочек как частный случай исследования трехмерного тела . . . .

. . . . . . . , . . . . 294 Глава 15. Задачи о стационарных полях (теплопроводность, электрический потенциал, течение жидкости и др.)........, 316 Глава 16. Постановка нестационарных и динамических задач Глава 17, Динамические задачи. Полуаналитическое исследование. Колебания и собственные значения . . . . . . . . . . , . . 371 Глава 18, Физически нелинейные задачи. Пластичность, ползучесть, задачи .нелинейной теории поля и т. д..

. . . . . . . . . . . . 393 Глава 19. Геометрически нелинейные задачи; большие перемещения и неустойчивость конструкций . . . . ... . . . . , , . . 438 Глава Глава Глава 1, Предварительные сведения: метод жесткостей расчета конструкций и исследование сетей . . . . . . . , . . . . . 11 2.

Конечные элементы упругой среды. Метод перемещений . . . 26 3. Обобщение понятия конечных элементов . . . . , , . . 44 7. Функции формы элемента. Некоторые семейства этих функций 117 8. Криволинейные изопараметрические элементы и численное интегрирование . . . . . .

. . . . , . . . . . . . . 143 9. Некоторые примеры применения изопараметрических элементов при исследовании двумерного и трехмерного напряженных состояний . . . . . . . ; . . . . . . . . . . . . . 169 10. Изгиб пластин . . . , . . . . . . . . . , , . . . . 186 Глана 20. Вычислительные методы и программы (Ченг и Кинг)....

462 Приложение 1. Матричная алгебра..........,..., 526 Приложение 2, Основные соотношения главы 2....,...... 531 Приложение 3. Некоторые формулы интегрирования для треугольника (фиг. 4.1)....... °........... 532 Приложение 4. Некоторые формулы интегрирования для тетраэдра (фиг. 6.1) ......,,........... 533 Приложение 5. Некоторые сведения иэ векторной алгебры.... „. 534 Приложение 6, Теорема Эйлера вариационного исчисления,.... 538 Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 12982О, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер, 2, Издательство «Мир», О. ЗЕНКЕВИЧ МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ТЕХНИКЕ Редактор Л.

Якименко Художник А. Смеляков Художественный редактор В. Бйсенгалиев Технический редактор 3. Резник Сдано в набор б/Ш 1975 г. Подписано к печати 811Х 1975 г. Бумага Из 2 60Х9(Ч„17 бум. л. 34 печ, л. Уч.-изд. л. 31,76. Изд. № Щ7928. Цена 2 р. 7О к. Зак. 613 ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР" Москва, 1-й Рижский пер., 2 Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2 . имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Миниетров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198082, Ленинград„Л-52, Измайловский проспект, 29 .