Метод конечных элементов (1061787), страница 70
Текст из файла (страница 70)
КОВК(ЯТ,Р,ХК,ВИЛЛ,ВЪ"ЛЛ) Выполнение обратного хода ВО 11 Л=1,ИСО1.Х ОО 11 1=2,ИВАИВ 11 Р(1,Л) = Р(1,Л) — ЯТ(1,1)еР(1,Л) 00 2 Л = 1,ИС01.Х Р(1,Л) = Р(1,Л)*ЯТ(1,1) 1Р (ИК.ИЕ.1) ОО ТО 88 1Р (ВИЛЛ) 00,88,90 90 1.К =М/ХОР+ 1 Запись номера узла и вычисленной реакции %К1ТЕ(6,10) 1.К,Р(1,Л) 10 РОКМАТ(14,Е16.8) 01Я(М + 1,Л) = ВЧЛЛ Р(1,Л) = ВИЛЛ ОО ТО 2 88 01Я(М + 1,Л) = Р(1,Л) 2 СОХТ1ИБЕ Смещение известной матрицы перемещений ОО 4 1 = 2,ХВАИО 1. =ХВАХ0 — 1+ 1 00 4 Л = 1,ХСО1.И 4 Р(1. + 1,Л) =.
Р(1.,Л) 30 СОХТ1ИБЕ % К1Т Е(6,15) 15 РОКМАТ(16Н Х-О1ЯР1.АСЕМЕХТ, 16Н У-'ШЯР[.АСЕМЕХТ) 34 7КК1ТЕ(6,7) ((ШЯ(1,Л),1=1„ХР2) Л = 1,ХСО1.Х) 7 РОКМАТ(2Е16 8) КЕТБКХ ЕИВ Для понимания содержания этой книги и проведения необходимых вычислений требуется знание лишь некоторых основных определений матричной алгебры. Определение матрицы Линейное соотношение между совокупностью переменных х и Ь аих! + а!зхз + а!зхз + а)4х4 ~!! а„х, + азиз+ а2зхз + а„х, = Ьз, аз!х! + азиз+ аззхз+ аз4х4 = аз можно записать более кратко: Я (х) = (Ь), «А1.1а) где а!! а!з аз Я = а, а азз а!4 а„азз а„а„ Эти выражения поясняют понятия матрицы и матричного .умножения.
Матрицы определяются как массивы чисел указанного в «А1.2) типа, Массив в виде одного столбца чисел часто называется вектором или матрицей-столбцом. Умножение матрицы на матрицу-столбец записывается в виде «А1.1) или «А1.1а). И1а!'рич!4ая алгебра других векторов х Если для тех же самых постоянных, но и Ь справедливо другое соотношение: Р Р у г 1-! 1+ 12 2+ 1ЗХЗ+ 14 4 21 1 + 22Х2+ 23 3+ 24 4 аз!х! + аз2к2 + аззхз + аз4х4 Ь;, Ь,,', Ьз, то формулой (А1(~1 = ~В1 х, / Ь! Ь2 Ь' 3 Ь1 / х l з К4 объединяются соотношения (А1,1) и (А1.3): а11К1+ ~ а!!К1+ ' ' ' а2!х! + . а21К1+ . 31к1+ ..
~ аз! 1+ . ЬУ 1 Ь, 2 ° Ь' 3 (А14а) Отсюда видно, что матрицы равны только тогда, когда равны между собой все их элементы. Записанные соотношения справедливы и для умножения полных матриц. Очевидно, это умножение имеет смысл, если число столбцов матрицы 1А1 равно числу строк матрицы (Х1.
Одним нэ характерных свойств матричного умножения является его некоммутативность: (А]Я Ф (Х~(А1 что также следует из 1А~ (К1+ 1А1 (х') =1А1(х+ х'1= (Ь).+ (Ь'1= (Ь+ Ь'1, Матричное сложение и вычитание Складывая соотношения (А1.1) н (А1.3), получаем 11( 1+ 1)+ 12( 2+ 2) + 13( 3+ 3) + !4( 4+ 4) =Ь1+ Ь1, а„(х,+ !)+а22(к,+х,')+а23(х,+х,')+а„(х,+к4)= (А1.6) =Ь2+ Ь2, ам (х, + х',) + а„(х, + х,') + а, (х, + х,') + а„(х, + х,') = = Ьз+ Ьз, Приложен!!е Х если определить сложение матриц как сложение их элементов, Ясно, что складывать можно лишь матрицы одинаковой размер- ности, например а11 а12 а!3 ~!! 11!2 1!13 а11 + 1111 а12 + 11!2 а13 + ~!3 + $ а2! а22 а23 112! 11М 1123 а21 + 1~21 а22 + 1122 а23 + 1123 или ~Л1 + ~В~ = Щ.
Каждый элемент матрицы 1С1 равен сумме соответству!ощих элементов (Л1 и 1В1. Вычитание производится по таким же правилам.' (А1.7) Транспонирование матрицы 1 Эта операция представляет собой переупорядочение чисел массива в соответствии с соотношением ап а12 а 13 т а11 а21 а3! (А1.8) а2! а22 а23 = а„а22 а32 а3, а3, а33 а!3 а23 а33 Обращение матрицы Если матрица 1Л1 в соотношении (А1.1а) квадратная, т. е, состоит из коэффициентов системы уравнений типа (А1.1), в которой число уравнений равно числу неизвестных, то неизвестные (х) можно выразить через известные коэффициенты Щ').
Решение можно записать в виде (х) = 1Л~ ' ®, (А1.9) где матрица ~Л) — ' называется обращением квадратной матрицы Щ. Ясно, что матрица Щ-! тоже квадратная и ее порядок равен порядку матрицы (Л~. Соотношение (А1.9) можно было бы получить, умножая обе стороны (А1.1а) на 1Л1-!. Следовательно, 1Л1 '1Л1=Щ=1ЛЦЛ1 ', (А1.10) ') Это можно сделать только н том случае, если определитель матрицы 1А1 Отличен от нуля. — Прим, ред, и обозначается символом Т.
Примеры использования этой'операции будут указаны позднее. Пока же можно ограничиться только определением, Матричная алгебра где Я вЂ” единичная матрица, все элементы которой, не стоящие на диагонали, равны нулю, а диагональные элементы равны единице. Ясно, что если уравнения не имеют решения, то обратной матрицы не существует. Сумма произведений В задачах механики часто приходится иметь дело с такими величинами, как, например, силы, которые можно представить в виде матрицы-вектора ~Р (А1.11) Силы в свою очередь связаны с перемещениями, определенными другим вектором, скажем 6 (А1.12) Известно, что работа равна сумме произведений сил на переме- щения: Р;)т(б) (Цт (г") (А1 13) Такая запись часто используется в книге.
Транспонирование произведения Иногда приходится транспонировать произведение матриц. Читателю предоставляется возможность, основываясь на приведенных определениях, доказать, что у» рцт ур)г уцт (А1.14) %"=~,Р„Ь„. Очевидно, что здесь целесообразно использовать операцию транспонирования и в соответствии с первым правилом умножения матриц записать Приложение У . Симметричные матрицы В задачах расчета конструкций часто встречаются симметричные матрицы. Если элементы матрицы ~А1 обозначить через а!х„то для симметричной матрицы аХХ аХ1 Можно показать, что матрица, обратная симметричной, всегда симметрична. Разбиение матриц на клетки Легко убедиться, что матричное произведение ~А1[В), в котором матрицы имеют, например, вид п1! !212 !т!3 1 1214 1213 Я вЂ” Й2! 1222 023: 024 025 П31 П32 П 33: П34 !235 Ь2, Ь22 Ь31 Ь32 Ь41 Ь42 можно получить, разбивая матрицы, как указано пунктиром, на подматрицы„применяя сначала правила умножения матриц так, как будто каждая подматрица является скаляром, и производя дальнейшее умножение обычным образом.
Если записать ~А~= А" А" -~В~= В' то можно показать, что При разбиении матриц на клетки существенно, чтобы строение подматриц обеспечивало существование произведений вида АнВ1, т.е. число столбцов матрицы Ап должно быть равно числу строк матрицы В! и т. д. В этом случае л1обые действия над матрицами можно производить так, как будто каждая клетка является скаляром. Отметим, что любую матрицу можно умножить на скаляр (число). пгиложения з НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ ИНТЕГРИРО.ВАНИЯ ДЛЯ ТРЕУГОЛЬНИКА (ФИГ. 4.Ц Пусть треугольник в плоскости х — у определен тремя точками (х„у~), (х~, у~) и (х,„, у,„), а начало координат находится в центре тяжести, т.
е. Х~+Ху+Х Ду+ф~+Д ™, 0. Интегрируя по площади треугольника, получаем хдхду= уйхс~у =О, 1 х, уу 1 х~ у; = Л = площадь треугольника, Жи Уе х~дхоу = — ~х~+ х~+х~), 5 Л 5 у' дх иу = — (у',. + р' + у' ), худхцу= 1 (х~у~+хф~+х,„у,„). пРиложений 4 НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДЛЯ ТЕТРАЗДРА (ФИГ. 6.1) Пусть тетраздр определен в системе координат х, у, г, начало которой расположено в центре тяжести, четырьмя точками (~Ив Уй Вз) ~ (Хр» УЬ Х3) ~ (Хт1 Ут~ Хт) ~ (Хр, Ур, Хр), ПРИЧЕМ 4+ 1 т+ р У~+ У!+ Ут+ ~р ~+ 1+ т+ р — О.
Интегрируя по объему тетраздра, получаем Х~ У~ Я~ У~ Хт Ут ~р Хр Ур Яр = 11 = объем тетраздра. При указанной на фиг. 6.1 нумерации вершин тетраздра спра- ведливы следующие формулы: х дх ЫУ дЯ = У Их ЦУ Иг = а Йх ЙУ Ж = О, х' дх ду Ых = — ~х'. + х'+ х' + х' ) ~ у'йхйу Ия = ~ ~у'+ у, + д„', + у',), ~ 2' Нх Иу Ия = — „~я";.
+ я', + я' + а'), $~ Ху дх ПУ ЙЯ (Хуу~ + ХЯ~ + Хтут + Хрур)1 $~ Х2 Пх ф ЫГ = — (Х~ат + Х~Яу + Х~Гт + ХрЕр)» У УЯ ИХПУ6Ь вЂ” — (Ур8, + У~Яу + УтЯт+ УрЯр) прилОжение 5 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ При использовании элементов, произвольно ориентированных в пространстве, например при расчете оболочек и т. п., требуется знание и понимание основ векторной алгебры.
Кратко изложим некоторые основные понятия. Векторы (с геометрической точки зрения) можно определить их компонентами по направлениям осей х, у, г'). Таким образом, вектор Чо1, показанный на фиг. А5.1, можно представить в виде т! о! = 1х! + 3у! + 1Ж (А5.1) где 1, 1, 1с — единичные векторы в направлениях осей х, У, х. С другой стороны, этот же вектор можно записать как Х! (1~од = у! (А5.2) Я! (как вектор-матрицу), располагая его компоненты в виде столбца, Сложение и вычитание. При сложении и вычитании векторов производится сложение и вычитание их компонент: Уоя — 7п! —— 721 — — 1(х2 — х,) +1 (У2 — У1) + 1с (Х2 — в1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
