Метод конечных элементов (Зенкевич О. - Метод конечных элементов в технике), страница 3

д. 2 Очевидно, что отличные от нуля силы будут давать только элементы, содержащие точку 1, однако суммирование проводится по всем элементам. Подставляя (1.3), получаем выражения для сил в узловой точке 1 И здесь вклад в сумму дают только элементы, соединяющиеся в узле 1. Объединяя все такие уравнения, имеем (1.12) где подматрицы (1.13) получены суммированием по всем элементам. Это простое правило составления ансамбля очень удобно, поскольку сразу после определения коэффициента для отдельного элемента он может быть немедленно заслан в соответствующую ячейку памяти вычислительной машины. Составление ансамбля является основной операцией метода конечных элементов, и поэтому она должна быть хорошо усвоена читателем.

Если используются разные типы элементов, то при составлении ансамбля следует помнить, что можно складывать матрицы только одинаковой размерности. Следовательно, отдельные подматрицы, которые включаются в систему, должны содержать одинаковое число компонент сил и перемещений, Так, например, если к какому-либо элементу конструкции в узловой точке, передающей моменты, присоединен шарнирно другой элемент, то Метод жесткостей расчета конструкаай матрицу жесткости последнего необходимо дополнить, вводя соответствующие (нулевые) значения на места углов поворота или моментов.

Систему уравнений (1.12) можно решить, как только будут подставлены перемещения опор. В примере (фиг. 1.1), где обе компоненты перемещений узлов 1 и б равны нулю, это будет означать подстановку что эквивалентно уменьшению числа уравнений равновесия (в рассматриваемом случае их двенадцать) и вычеркиванию первой и последней строки и столбца. Таким образом, общее число неизвестных компонент перемещения уменьшается до восьми.

Тем не менее всегда удобно составлять уравнения в соответствии с соотношением (1.12), учитывая все узловые точки. Очевидно, что эту систему невозможно решить без задания некоторого числа перемещений, исключающих смещение конструкции как жесткого целого, так как по заданным силам нельзя однозначно определить перемещения. Этот физически очевидный факт математически выражается тем, что матрица Щ является сингулярной, т. е.

не имеет обратной, Задание соответствующих перемещений по окончании формирования ансамбля обеспечивает возможность получения единственного решения путем вычеркивания соответствующих строк и столбцов различных матриц. Несмотря на то что подстановка известных перемещений, позволяющая уменьшить общее число решаемых уравнений, является относительно простой операцией при ручных вычислениях и может быть запрограммирована для вычислительных машин, часто оказывается удобным непосредственно решать первоначальную систему уравнений с тем, чтобы избежать реорганизации машинной памяти.

Это осуществляется очень просто с помощью искусственного приема, предложенного Пейном и Айронсом 171. При использовании такого приема вместо исключения уравнения равновесия, в котором некоторое перемещение считается заданным (а соответствующая компонента внешней силы остается неизвестной), и последующей подстановки этого перемещения в остальные уравнения диагональный элемент матрицы ~К~ в рассматриваемой точке умножается на очень большое число. Одновременно член, стоящий в правой части уравнения, заменяется тем же самым числом, умноженным на заданное значение перемещения.

В результате уравнение заменяется другим, но величина перемещения в рассматриваемом случае равна определенному значению. При этом общее число уравнений . в Глава 1 20 1.4. Преобразование координат Часто бывает удобно определять характеристики отдельного элемента в системе координат, отличной от той, в которой задаются внешние силы и перемещения конструкции в целом. Чтобы облегчить вычисления, для каждого элемента можно использовать свою систему .координат. Компоненты сил и перемещений, входящие в соотношение (1.3), нетрудно записать в любой системе координат. Очевидно, что это необходимо сделать до составления ансамбля.

Систему локальных координат, в которой определены характеристики элемента, будем помечать штрихом, чтобы отличить ее от системы координат, принятой для описания конструкции в целом. Компоненты перемещений преобразуются с помощью матрицы направляющих косинусов [Ц; Й') =М(Ч'. (1.14) Так как в любой системе координат соответствующие компоненты сил должны совершать одинаковую работу' ), то ((р а)т ®а ((рР)и)т (бг)а и, используя формулу (1.14), получаем уу)тр)а ~ун) т~ц(б)а или ® 1ЦТ(р ) (1.15) Преобразования, определяемые соотношениями (1.14) и (1.15), называются контрградиентными. Чтобы преобразовать жесткости, определенные в локальной системе координат„ к глобальным координатам, отметим, что (~') =И'ГИ') (1.16) и в силу (1.14) и (1.15) Ж =И'ИТИЕ) * т. е.

(1.17) ') ( )* означает транолонироаание матрицы 1 ). системе остается неизменным. Подробно этот вопрос обсуждается в гл. 20. После определения неизвестных перемещений легко вычислить напряжения и внутренние силы, применяя соотношение (1.4) поочередно к каждому элементу. Метод жесткостей расчета конструкций Читатель может убедиться в полезности вышеуказанных преобразований, применив их для рассмотренного шарнирно опертого стержня. В более сложных задачах для некоторых типов внешних связей, описываемых соотношениями нида (1.14), числа степеней свободы Я и 1о') могут быть различными. Однако и в этих случаях соотношения (1.15) и (1.16) остаются справедливыми. 1.5.

Электрические и гидравлические сети У Аналогичные принципы получения характеристик элемента и ансамбля могут быть использованы во многих различных областях, не связанных с расчетом конструкций. Для примера рас- Фиг, 1,3. Цепь электрических сопротивлений, смотрим цепь электрических сопротивлений, изображенную на фиг.

1.3, Если типичный элемент — сопротивление ц — рассмотреть изолированно от системы, то с помощью закона Ома можно записать соотношение между входящими токами и напряжениями на его концах: 1 ~, =~(~,- — 1~1), 1 17 ~е (1'1 1~~)~ или в матричном виде Глава 1 что в принятой нами стандартной форме выглядит как й'= и1'М' (1 18) Ясно, что в такой форме это соотношение соответствует (1.3). Действительно, если бы к элементу извне подводился ток, то можно было бы найти величины «усилий» в элементе.

Для составления ансамбля следует сделать предположение о непрерывности потенциала в узловых точках и учесть баланс токов. Если теперь Р; обозначает внешний входящий ток в точке 1, то придем к уравнению, аналогичному (1.11): Р =Х~©'. (1.19) Второе суммирование проводится здесь по всем элементам. Для всей совокупности узлов имеем М =1К) (1Ъ Йц —— ~ Й~~. (1.20) где где показатель у изменяется в пределах между 0,5 и 0,7. Но и в этом случае основные соотношения можно записать в форме (1,18) с той лишь разницей, что матрицы Й«представляют собой уже не массивы констант, а известные функции от Щ. Эти уравнения можно объединить для всего ансамбля, но они уже будут нелинейными.

В общем случае их можно решить одним из итерационных методов. Наконец, упомянем о более общей форме электрической цепи переменного тока. Зависимости между током и напряжением для таких цепей обычно записываются в комплексной форме, причем сопротивление заменяется комплексным сопротивлением, Таким образом, опять будут получены соотношения в стандартной форме (1.18) — (1.20); причем каждая величина будет иметь действительную и мнимую части. Здесь скобки опущены, так как такие величины, как напряжение и ток, а следовательно, и коэффициенты матрицы «жесткости~ являются скалярными величинами. Если вместо сопротивлений рассмотреть ламинарное течение жидкости в трубах, то опять можно получить то же уравнение, но Р будет представлять собой гидравлический напор, а 1— расход жидкости.

Для встречающихся на практике систем трубопроводов линейные законы, вообще говоря, несправедливы. Как правило, соотношение между напором и расходом имеет вид 1~ = с(Т ° уу)т, (1.21) Метод жесткостей расчета кокструкций При решении такого рода задач можно использовать обычные методы, рассматривая каждое соотношение отдельно для действительных и мнимых частей. Кроме того, современные цифровые вычислительные машины позволяют использовать стандартные приемы программирования операций с комплексными числами.

В одной из последующих глав, посвященной вопросам колебаний, мы коснемся некоторых задач этого класса. 1.6. Общая схема исследования Для того чтобы читатель мог лучше разобраться в изложенном материале, рассмотрим следующий пример. На фиг. 1.4,а 2 Ленгпа Фиг. 1.4. Пример. изображено пять взаимосвязанных элементов.

Это могут быть элементы конструкции, электрической цепи или элементы любого другого линейного типа. Рещение задачи состоит иэ нескольких этапов. Глава ! Первый этап заключается в определении свойств элемента на основании исходных данных о его геометрии, материале и нагрузке. Для каждого элемента матрица жесткости и соответствующие узловые силы находятся в виде (1.3). Каждый элемент имеет свой собственный номер и узловые точки. Например, элемент 1 связан с другими в узлах 1, 3, 4, элемент 2 — в узлах 1, 4, 2, элемент 3 — в узлах 2, 5, элемент 4— в узлах 3, 4, 6, ?, элемент 5 — в узлах 4,?, 8, 5. Определяя характеристики элемента в глобальных координатах, мы можем ввести каждую компоненту жесткости или силы на соответствующее место в глобальной матрице, как это показано на фиг.

1,4,6. Каждый зачерненпый квадрат соответствует одному коэффициенту или подматрице типа ~Й;;] (если рассматри-. вается более одной компоненты силы), Здесь же показан вклад каждого элемента, и читатель может проверить правильность расположения коэффициентов.

Заметим, что использование различных типов элементов не создает дополнительных трудностей. (Для простоты все силы, включая узловые, отнесены к соответствующим элементам.) Второй этап — это составление полной 'системы уравнений типа (1,12). Она получается непосредственно путем использо'вания соотношений (1.13) и простого суммирования всех составляющих по элементам в глобальной матрице. Результат показан на фиг. 1.4,в, где места расположения ненулевых коэффициентов. зачернены. В силу симметрии матрицы достаточно определить только элементы, расположенные на главной диагонали и над ней. Все ненулевые коэффициенты расположены внутри ленты, ширина которой может быть определена априори для каждого вида узловых соединений.

Таким образом, в оперативной памяти требуется хранить только те элементы, которые находятся в верхней части ленты. Они показаны на фиг. 1.4, в. Третий этап состоит во включении в полную матрицу системы заданных граничных условий. Способ включения рассмотрен в разд. 1.3. Заключительный этап — решение полученной системы уравнений. Для решения могут быть использованы различные методы, некоторые из которых обсуждаются в гл. 20. Хотя вопрос решения уравнений и является чрезвычайно важным, он выходит, вообще говоря, за рамки этой книги. Далее вычисляются напряжения, токи и другие выходные величины.