Метод конечных элементов (Зенкевич О. - Метод конечных элементов в технике), страница 2

Введение Инженерные конструкции можно рассматривать как некоторую совокупность конструктивных элементов, соединенных в конечном числе узловых точек. Если известны соотношения между силами и перемещениями для каждого отдельного элемента, то, используя хорошо. известные приемы строительной механики ~1 — 51, можно описать свойства и исследовать поведение конструкции в целом, В сплошной среде число точек связи бесконечно, и именно это составляет основную трудность получения численных решений в теории упругости.

Понятие конечных элементов, введенное впервые Тернером и др. ~61, представляет собой попытку преодолеть эту трудность путем разбиения сплошного тела на отдельные элементы, взаимодействующие между собой только в узловых точках, в которых вводятся фиктивные силы, эквивалентные поверхностным напряжениям, распределенным по границам элементов.

Если такая идеализация допустима, то задача сводится к обычной задаче строительной механики, которая может быть решена численно. На первый взгляд, этот интуитивно понятный и доступный инженерный метод выглядит не совсем убедительно — в частности, остается открытым вопрос о соотношениях между силами и перемещениями отдельных элементов. Способы получения этих соотношений будут подробно рассмотрены в гл 2 после изложения основ метода. На данном же этапе целесообразно кратко описать общий метод расчета конструкций, который будет широко использоваться в книге после рассмотрения свойств конечных элементов.

В дальнейшем будет показано, что метод конечных элементов применим и ко многим задачам иного типа, но и тогда основные свойства элемента выражаются в форме, принятой в строительной механике. Общие методы составления ансамбля и решения задач аналогичны приемам строительной механики. В действительности ~структурная~ форма уравнений присуща пе только строительной механике. Уравнения в такой Глава 1 форме используются при расчетах электрических цепей или потоков жидкости в трубопроводах. Подобные задачи часто называются задачами исследования сетей '). 1.2. Элемент конструкции На фиг. 1.1 изображена двумерная конструкция, состоящая из отдельных частей, соединенных между собой в точках, пронумерованных от 1 до и.

Соединения в узлах предполагаются шарнирными, Сначала допустим, что в результате расчета или на основе экспериментальных данных достоверно известны характери- Типичный зделенгн Фнг. 1,1. Типичная конструкция, составленная нз отдельных элементов. стики каждого элемента.

Силы, возникающие в узлах 1 — 3 элемента а, однозначно определяются перемещениями этих узлов, действующей на элемент распределенной нагрузкой р и его начальной деформацией. Начальная деформация может быть обусловлена температурным воздействием, усадкой или несовершенством сборки. Силы и соответствующие им перемещения определяются компонентами У, 1' и и, о в какой-либо системе координат. ') Вместо понятия сети в литературе все чаще используется более общее понятие графа. — Прим.

ред. Метод жесткостей расчета конструкций Записывая силы, действующие во всех (в трех для рассматриваемого случая) узлах элемента а, в виде матрицы'), получим У, У2 Уз '(1.1) а для соответствующих перемещений узлов о, ®'= 6,. оз (1.2) Если предположить, что элемент упругий, то основные соотношения всегда могут быть записаны в виде Ю" = 1Ч' (й'+ ЯР+ ®,', (1.3) где (Р), —,. силы, уравновешивающие действующие на элемент расйределенные на-рузки, (Р)' — силы в узлах, обусловленные начальными деформациямй, которые могут возникать, например, при изменении температуры без перемещения узлов.

Первый член в этой формуле представляет собой силы, вызванные перемещениями узлов. Предварительный расчет или эксперимент позволяет однозначно определить напряжения в любой заданной точке через узловые перемещения. Записывая эти напряжения в виде матрицы (а)', получаем соотношение в форме (сг) = [Я'(о) + (о) + (о)~, где последние два члена — напряжения, обусловленные распределенными нагрузками, и начальные напряжения при отсутствии узловых перемещений. (1.4) ') Для понимания материала, изложенного в книге, требуется знание основ матричной алгебры.

Это необходимо для краткости и удобства изложения. Для читателей, не знакомых с матричной алгеброй, необходимые сведения приведены в небольшом по объему приложении 1„ Глава 1 Матрица 141" называется матрицей жесткости элемента, а (Я вЂ” матрицей напряжения элемента. Соотношения (13) и (1.4) проиллюстрированы на примере элемента стремя узлами, в каждом из которых действуют только две компоненты силы. Ясно, что все рассуждения и определения справедливы и в более общем случае. Элемент Ь в рассматриваемом случае связан с соседними только в двух точках, хотя другие элементы могут иметь таких точек и больше. С другой стороны, если соединения элементов считать жесткими, то требуется рассматривать по три компоненты обобщенной силы и обобщенного перемещения, причем за третьи компоненты следует принять соответственно момент вращения и угол поворота.

Для жесткого соединения в трехмерной конструкции число компонент в узле равняется шести. Таким образом, в общем случае (1.5) где Р~ и б; имеют одинаковое число компонент или степеней свободы. Ясно, что матрицы жесткости элемента всегда будут квадратными вида Йп тц ~ь, (1.6) где Ан и т. д.— также квадратные подматрицы размерности 1Х 1, а 1 — число компонент силы в рассматриваемых узлах. В качестве примера рассмотрим двумерную задачу о шарнирно опертой балке постоянного сечения А с модулем упругости Е (фиг.

1.2). Балка нагружена равномерно распределенной поперечной нагрузкой р и подвержена однородной температурной деформации Ео — — аТ. Если концы балки имеют координаты х;, у; и х„, у„, то ее длина может быть вычислена как Е- = ~((х„— х~)'+ (у, — у )'Ь а ее угол наклона к горизонтальной оси а = агс1д Метод жесткостей расчета конструкций В каждой узловой точке необходимо рассмотреть только по две компоненты силы и перемещения. Очевидно, что узловые силы, обусловленные поперечной нагрузкой, записываются в виде матрицы У~ — З1П а :-©,=:.' = —.";:: —" соз а Элементы этой матрицы равны соответствующим компонентам реакций опор балки, т.

е.' рА/2. Для компенсации температур- Фиг. 1.2. Шарнирно опертая балка, ного расширения зе нужно приложить осевую силу ЕиТА, компоненты которой — соз а — з1п а 1,ЕаТЯ. соз а "~д Е, з1п а Наконец, перемещения узловых точек элемента (й = 16 вызовут его удлинение (и„— и;) соз а+ (и — о;) яп а. Величина удлинения, умноженная на ЕА/Е, даст осевую силу, компоненты которой можно найти, подставив величину этой силы вместо — ЕаТА в предыдущее выражение.

Стандартная форма записи имеет вид У; ю:=© = ь з(пасоза ! — соз2а — япасоза яп'а ! — яп а соз а — яп~а соз2а з1п а соз а — соз2а — яп а соз а1 соз' а яп а соз а — з1п а соза — з1п'а ~ з1п а соз а з1п'а Х „= И'(й ° Итак, для рассматриваемого простейшего случая определены все слагаемые основного уравнения (1.3). Нетрудно записать в форме (1.4) и напряжения в любом поперечном сечении элемента. Если, например, ограничиться рассмотрением среднего сечения балки С, то напряжении, возникающие в результате осевого растяжения и изгиба элемента, можно записать в виде в а, е ~ — соза — з1па сова япа~ 1 (б) + О2 в ~ Š— соза — япа соза япаЛ + — — — ЕаТ, где И вЂ” половина высоты сечения, а У вЂ” момент инерции.

Легко заметить, что в это выражение входят все слагаемые формулы (1.4). Для более сложных элементов требуются более тонкие приемы расчета, но все равно результаты имеют такую же форму. Инженер легко заметит, что зависимость между наклоном и прогибом, используемая при расчетах жестких рам, являе1ся частным случаем рассмотренных общих соотношений. Следует отметить, что полная матрица жесткости для деформируемого элемента получилась симметричной (то же можно 17 Метод жесткостей расчета конструкций сказать и о подматрицах). Это никоим образом не случайно, а вытекает из закона сохранения энергии и его следствия — теоремы взаимности Максвелла — Бетти.

Во всех рассуждениях предполагалось, что свойства элемента описываются простыми линейными соотношениями. В принципе можно было бы получить аналогичные соотношения и для нелинейных материалов, однако обсуждение задач такого рода выходит за рамки этой монографии. 1.3. Составление ансамбля н расчет конструкции Рассмотрим снова гипотетическую конструкцию, изображенную на фиг. 1.1, Чтобы получить решение, нужно удовлетворить а) условиям совместности и б) уравнениям равновесия. Любая система Я узловых перемещений б (1.7) 6„ записанная для конструкции, в которую входят все элементы„ автоматически удовлетворяет первому условию.

Поскольку условия равновесия внутри каждого элемента считаются выполненными, необходимо удовлетворить условиям равновесия в узловых точках. Полученные уравнения будут содержать в качестве неизвестных перемещения. Как только они будут найдены, задачу расчета конструкции можно'считать решенной. Внутренние усилия (напряжения) в элементе могут быть легко определены с помощью зависимостей, априори установленных для каждого элемента в виде (1.4). Предположим, что, помимо распределенной нагрузки, приложенной к каждому отдельному элементу, конструкция нагружена внешними силами (1.8) приложенными в узловых точках.

Каждая из сил Й; должна иметь столько же компонент, сколько и рассматриваемтые реакции элемента. В обсуждаемом примере Глава 1 так как соединения предполагались шарнирными. Однако в общем случае будет рассматриваться произвольное число компонент. Если теперь нужно удовлетворить условиям равновесия в произвольной узловой точке ~, то каждая из компонент Й~ должна быть приравнена сумме компонент сил от всех элементов, соединяющихся в этом узле. Таким образом, рассматривая все компоненты силы, получаем (1 10) где г"; — сила, приложенная к узлу со стороны элемента 1, ! Р; — сила, приложенная к узлу со стороны элемента 2, и т.