Косилова А.Г., Мещеряков Р.К., Калинин М.А. - Точность обработки заготовки и припуски в машиностроении, страница 9

Рассмотрим действие на систему постоянной составляющей усилия резания Р,. Под влиянием силы Р, элементы системы СПИД смещаются из исходного (ненагруженного) состояния; возникающие при этом силы упругости стремятся вернуть систему в исходное состояние. Смещение элемента технологической системы в направлении выдерживаемого размера (эту величину называют отжатием и обозначают через р) и сила упругости находятся в определенном соответствии. В простейшем случае линейной упругой системы способность системы или элемента сопротивляться приложенной статической нагрузке характеризует жесткость упругой системы или ее элемента.

Жесткость опРеДелЯют как отношение составлЯющей УсилиЯ Рим направленной по нормали к обработанной поверхности, к смещению в том же направлении (в кгс/мм; кгс/мкм; кН!и; Н!мм), Рио (= —. У (Рэ) Подразумевают, что на систему одновременно с Р„э действуют и другие составляющие (Рк„Рпп) усилия резания Р,. Смещение зависит от Рп т. е. у (Рэ). Упругие свойства сложных элементов технологических систем, состоящйх из нескольких деталей, обычно невозможно определить одним коэффициентом жесткости, так как зависимость между силой и отжатием (ее называют упругой характеристикой) нелинейная.

Но так как при расчетах по точности обычно при. пинают, что система линейна, то нелинейную характеристику на рабочем диапазоне усилия резания заменяют лннейной и принимают ( = — ээ Лд(рэ) ' Жесткость, упругую характеристику элементов и системы в целом определяют расчетом (для простых деталей) или экспериментально ((для сложных узловц Так как жесткость узла зависит от направления и точкй приложения усиляя, то исследования проводят в условиях, наиболее полно моделирующих реальные Условия последующей обработки: к узлу прикладывают силу, по величине и направлению совпадающую с постоянной составляющей усилия резания, возникающей "Ри обработке, назначают определенный вылет резца, положение пиноли задней б~бки. Полученная характеристика позволяет достаточно объективно оценить качество изготовления данного узла.

Так, при высокой точности изготовления Узла ветви характеристики располагаются ближе одна к другой, чем при низиой ~очности иаготовления. Следует, однако, заметить, что нагружение производят Точность обрабоаки дева»ей маигин на неработающем станке, поэтому статическая жесткость не совпадает с действительной жесткостью станка в работе. Используя современную аппаратуру, можно определить смещение на работающем станке под нагрузкой прк определенном числе оборотов шпинделя. По аналогии со статической жесткостью 1 способность системы кли элемента сопротивляться приложенной постоянной составляющей усилия резания Раз прн данном числе оборотов шпинделя л характеризуют кназистатнческой жесткостью Рьч 1»гт (л) (р и) ' Отношение гармонической составляющей силы Раьсоздю( к вызываемому ею смещению р (Ры л) называют динамической жесткостью /лээ (йы, л) = Раз соз лсОГ , где ю — угловая скорость, частота гармонической составляющей у(Ры и) усилия резания при Д = 1, вызванная изменением уснлия нз-за смещения (зксцентриснтета) обрабатываемого профиля.

Угловая (круговая) частота ы представляет собой число колебаний за 2п (рад1с): ы = 2п!т = 2пж где ч — период колебаний (с) — промежуток времени между двумя последующими максимальными отклонениями; ч — частота колебаний (числэ колебаний в 1 с, Гц) — величина, обратная периоду колебаний ж 1 ч= —. » Смещение элемента системы иногда оценивают угловым перемещением в радиа- нах. В соответствии с этим меняют и размсрность жесткости. В технологических расчетах часто пользуются величиной податливости, определяемой для статических условий как отжатне, вызываемое силой, равной единице, т. е.

кан величиной обратной жесткости 1 у )р = —, Ра ' Аналогично устанавливают понятие квазнстатической йг»сг н динамической йглэа податливости. Основным недостатком описанного выше понятия жесткости являшся отсутствие в аналитических зависимостях составляющих усилия Р„, Р,. Поэтому предложено (1) под жесткостью системы СПИД понимать отношение эквивалентной силы Р, к смещению у в направлении действия этой силы (по нормали к обработанной поверхности): Рэ !с = — ° Ц В общем случае эквивалентная сила может быть выражена через составлявшие снлы резания с помощью соотношения Р = еьР~+ т)Рз+ урю где й, гни — коэффициенты, показывающие влияние каждой из состанляющнх силы резания на эквнвалентную силу.

Под эквивалентной силой поннмают силу, направленную прн токарной обработке вдоль резца, по нормали к обработанной поверхности. Момент эквивалентной силы равен сумме моментов всех действующих свл. Плечи снл опре- 49 Аналаэ и определеное погрешностей обработка делают относительно мгновенного полюса поворота суппорта с резцом. Положе„ве мгновенного полюса определяют исходя нз эксперименталыю полученных положений суппорта (1).

Положение мгновенного полюса поворота зависят от величины и направления силы резания. Таням образом, анализ технологической снстемы как линейной свстемы с одной степенью свободы не позволяет выявить параметры, достаточно полно характеризующие упругую систему.

Простейшей моделью суппортной группы токарного станка [16) является система с двумя степенями свободы (рис. 1). Считают, что наблюдается слабгя связь с остальными элементами снстемы СПИД. Главные оси жесткости (обебщен«ые координаты) обозначены через ф и ч. Величинам, относящямся к оси ф, присвоены индексы 1, к осн ч — индексы 2, Уравнения вынужденных колебаний, вызванных силой Р, ааписывают так: пттф -)- И1ф+ )кст,ф = Рсоа ()1 ~ тэч + Ьзч + )кст,ч = Р з1п Рг 1 где тг н тз — приведенные массы системы; Ьг и Ьз — коэффициенты сил сопротнвления (принято, что неупругие сопротивления пропорциональны скоростн — ф н ч); 1зст )игтз — главные жесткости системы.

Смещение у (выходная координата при анализе низко- и среднечастотныл процессов) связана с обобщенными координатами ф и ч следующей зависимостью. у = ч соз (а -1- й) — 1р з1п (а+ 9). Упругую систему станка будем анализировать согласно теории автоматического управления. Рассмотрим основные понятня этой теории н характеристики линейных систем, используемые при последующих выводах.

Пусть имеем систему, поведение которой описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами: е(» — 1 у г(у е( <~ х а„— + а„т +... +ах — +агу=бы + д~л 1(п — 1 ' ' 1 е(Г г ~ ~гпг л — 1х лх +Ь „+...+Ь вЂ” +Ьх, - лг — "' бг где х н у — соответственно входная.н выходная переменные. Для такой системы справедлив принцип суперпозиция, поэтому система лкнейна. Принимаем коэффициент14 уравнения постоянными, т. е. имеем стационарную линейную систему. Найдем реакцию этой системы на возмущение х (1), представляющее собой показательную функцию х(0 = еле. Семейство показательных функций е с комплексным параметром 5 охватывает гармонические колебания всех возможных частот как с постоянными, тан " с наменяющимнся во времени по экспоненцнальному закону амплитудами. 50 Тол»аешь обрабошки дешевей машин Дифференцируя, находим — =551 — =5 е (й=!,2..., и).

бх бах е Из изложенного следует, что б» „,1» — 1 бу ЛЕ ж ໠— + а», — +... + а, — + о,у = е ' ~~ Ьа5 бл -т ~Г» — 1 ''' ' ЙГ Частный интеграл этого уравнения ищем в виде у=селе, где С вЂ” некоторая постоянная. Тогда имеем л »е сете ~~ а,5а = етг ',~„ь,5Ь, ь=о а=о откуда у 5а е=о л аа5" Обозначим 5а Ф(5)= ае5 а=о тогда реакция системы на показательное возмущение равна у = Ф(5) езг. Множитель Ф (5), на который умножаетсн показательная функция езг, проходя через стационарную линейную систему, называют передаточной функцией системы. Если система состоит из нескольких элементов, то при последовательном соединении элементов передаточная функция системы равна произведению передаточных функций элементов, при параллельном — их сумме.

Для перехода от передаточной функции к частотной характеристике стационарной линейной системы необходимо принять 5 = Рш (1 — мНИМая еДИНИЦа, ы — круговая частота). Частотная характеристика является комплексной велиЧИНОЙ1 Ф(ио) = А (ю) еьв1"1 = Ке(ы) + Ып (ы), где А (ы) = ( Ф (гео)) — амплитудная частотная характеристика, равная отношению амплитуды выходной координаты к амплитуде входной; ф (ы) — фазовая частотная характеристика — сдвиг фаз выходных гармонических колебаний по отношению к входным гармоническим колебаниям; Ке(ы) — вещественная часть; бп1(ео) — мнимая часть. А(ю) = рейез(ы) + )ща (ы); 1р (ю) = агс1д Зш (ы) Анализ и определение погрешностей обработки 61 Для рассматриваемого элемента суппорта токарного станка (эквивалентной упругой системы по связи с резанием) передаточная функпля з!п 6 соз (а+ ()) соз 6 з1п (а+ 6) )кот (Т1 23'+ т, 23 + !) 1„, (Т1 132+ т, 13+ !) ч/ т Ь где Тг = ~г —. = — — инерционная постоянная времени, с; Т, =— !кст О!сб !кот постоянная времени демпфирования, с;ю,б — собственная круговая частота колебаний, 1!с; юсб = 2п)сб где )сб — собственная частота иолебаний, Гц.