Касаткин А.С., Немцов М.В. Курс электротехники (2005), страница 4

Сумма слагаемых уравнений всех узлов тождественно равна нулю. В качестве примера рассмотрим расчет цепи, схема замещения которой показана на рис. 1.13 и которая содержит У= 2 узла и В = 3 вет- 17 Ряс. 1.13 ви, т. е. К =  — У+ 1 = 3 — 2 + 1 = 2 независимых контура (! и 2, нли 1иЗ,или 2и 3). Произвольно выбираем ноложитеньныс направления токов ветвей 1,, 1з, 1,. По первому закону Кирхгофа можно составить одно (У вЂ” ! = = 2 — 1 =1) независимое уравнение, например цля узла а (1.9а) — 1,— 1,+ 1, =0 и по второму закону Кирхгофа — два (К = 2) независимых уравнения, например дня контура 1 и 2 (1.9б) г,1с + гз1з = Е~ + Ез '. т'з1з + гз1з = Ез + Ез.

(1.9 в) Рещение системы трех уравнений (! .9) с тремя неизвестными токами, например методом поцставок, определяет токи ветвей 1,, 1,, 1з. Систему алгебраических уравнений сложной цепи, составленных на основе законов Ома н Кнрхгофа, целесообразно решать численными методами на ЭВМ. Например, дня схемы замещения без источника гока уцобно воспользоваться матричной формой А! = ВЕ, (1.10) где А и  — квадратныс матрицы коэффициентов при токах и ЭДС порядка В х В, где  — число ветвей, ! и Š— матрицы-столбцы неизвестных токов и зацанных ЭДС.

Элементы матрицы А н В являзотся коэффициентами в уравнениях (1.1О) соответственно при токах и ЭДС. Отсу гстнис тех илн иных токов и ЭДС в каких-либо уравнениях задается значениями *'нуль" соответствующих элементов матриц. Рещение системы (1.10): 1= А 'ВЕ =СЕ, (! .11а) где 18 а11 а1г ... а,в аг! агг ... а А Вг В2 "' ВВ 11 '2 - 22!В 2В '1В1 '1В г -. лВ В А1! бг 1 2~! г 2~2 2 (! .11 6) !В гв - ~В — обратнал матрица; А и Ь,.„-- определитель матрицы А и алгебраические дополнения ее элементов а.; !'» ' К11 К12 К13 — К В Кг! Кгг Кгз - Кгв С=А !В= с!.11в) КВ ! КВ2 КВ2 - КП — матрица так называемых собственных К..

и взаимных К проводи- 11 !а мостей. Токи ветвей; 21 = К 1!Р! Ф К! 2Е2 + ... + К1ВЕВ', 12 = К21~'-! Кггбг + - + Кгвл', (1.12) В В1 ' КВ2 '" КВВ 'В' !9 Форма записи системы уравнений (1,12) предполагает, что направления ЭДС и положительные направления токов в ветвях совпадают. Так, система уравнений (1.9) в матричной форме = ВЕ г, 0 =А!= Гз 13 0 ГЗ Гэ или 12 Ез 1з -З,Г, Гэ Гэ — (Гэ + гз) Г,ГЗ Гз (Гэтз + Г!ГЗ + Г2ГЗ) (г! + Гз ) — Г, Гз Е, Ез 0 1 1 Гз Гзгз ГЗ + гз Г!Гз — Гз -Гз Г! Е Гз Г! -Г!ГЗ Г2 — Гз ГЗ = !!С1 !!Е!! (!.!3) Е, Г!+ Гз Г, 2 Г,+Г, Г2 определяет токи ветвей; 1! = К! 2Е! + а!ЗЕЗ + а!ЗЕЗ', 12 яэ !Е! $22ГЗ + яз ЭЕз 13 Кз !Е! К32Е2 Кз ЗЕз (!.14) го 1 1 — 1 г, 0 гз 0 Зз Гз 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 ! ! 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 ! 0 ! 1 Е, Еэ Ез Гею а 1 1 — (Г2 Гз)гг; аз 2 =.

(Т1 + Гэ)гг; а за = (Г! Тг)УТ з = 42 Уг!У г г = У1гг + Гггз ч У2Гз. Хгг = Ягг = — ГэггГ 2 2 аг 3 Ь 12 Ггг~ 1,9, МЕТОД ЗКВИВАПЕНТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СХЕМ В ряде случаев расчет сложной электрической цепи упрогцается, если в ее схеме замещения заменить группу реэистивных элементов другой эквивалентной группой, в которой резистивные элементы соединены иначе. Взаимная эквивалентность заключается в том, что после замены режим работы остальной части цепи не изменится. А. Смешанное соединение резистивных элементов. При наличии в цепи одного источника внешнюю по опюшению к нему часть схемы можно в большинстве случаев рассматривать как смешанное (последовательно-параллельиое) соединение резистивных элементов. Лля расчета такой цепи уцобно преобразовать ее схему замещения в эквивалентную схему с последовательным соединением резистивных элементов.

Например, в цепи на рнс. 1.14, а между узлами а и Ь включены три резистивных элемента с сопротивлениями г,, гз и гч, т. е. пРоводимостнми ег — 1ггг, хз = 1!Уз, Я4 — 1IУ4, эквивалентнаЯ проводимость хэ ПГ2 1 !ггз '1 11Г4 (1.15) После замены параллельного соединения реэистивных элементов эквивалентным резистивным элементом с сопротивлением г = 1ф э э получается эквивалентная схема с последовательным соединеннелг лвух резистивных элементов г, и г (рнс.

1.14, б) . э 21 Математическое обеспечение совремепньгх ВВМ имеет стандартные подпрограммы ренюния системы алгебраических уравнений в матричной форме. Г!ри расчете схем замещения с источниками тока возможны упрощения. Лействительно, токи В2 ветвей с источниками тока известны. Поэтому число независимых контуров (без источников тока!), для которых необходимо составить уравнения по второму закону Кирхгофа,равно А'=  — В - У+ 1.

При помощи законов Ома и Кирхгофа можно рассчитать режим работы любой электрической цепи. Однако порядок системы уравнений может быть большим. Лля упрощения вычислений применяют различные расчетные методы: контурных токов, узловых потенциалов, межузлового напряжения, эквивалентного источника и т. д, Все эти методы основаны иа законах Ома и Кирхгофа. Тг т гг вь а) Рис. 1 14 Ток в неразветвленной части 1, = СГ/(г, + г,), и токи в параллельных ветвях (! .16) 2~ = ГГ Ь!гз; Тз о Ь!гз: гь о Ь1гь где и =гу,.

аь э ЛВ ВС СА 'ВС СА АВ ВС СА АВ 1 — е АВ Сопротивление межцу узлами А и  — величина, обратная проводи. мости между этими узламн, т. е, 1глВгВС 'СЛ глВ))ГгЛВ 'ВС гСЛ). 22 Б, Соединение резистивных элементов по схеме звезды и треугольника, В общем случае схему замешения цепи по схеме л-лучевой звезды иэ резистивиых элементов можно заменить эквивалентной схемой в виде л.стороннего многоугольника.

Обратное преобразование возможно в ограниченном числе случаев. В частности, преобразования в обоих направлениях возможны для случая треугольника и трех. лучевой звезды. Такое преобразование применяется при расчетах сложных цепей постоянного тока и цепей трехфазного тока (см. гл. 3) . Эквивалентность схем в виде треугольника и звезды (рнс. 1.15) получается приравниванием значений сопротивлений или проводимостей между одноименными узлами этих схем, отсоеднненных от остальной части цепи. Найдем сопротивление между узлаьы А и В. Проводимость между узлами А и В для схемы треугольника на рис.

1.15,а В) а) гяс. 1.15 Для схемы звезда на рис.1.15,б сопротивление между теми же уз. лами А и В равно сумме сопротивлений двух ветвей: г + г . Согласно условию эквивалентности должно выполняться равенство АВ ВС СА АВ А В АВ ВС СА (1.17) Х г,1 ВС СА АВ ВС 'В' 'С= г~ (1.18) + г = СА АВ ВС СА А ~;г (1.19) Чтобы определить сопротивление г звезды, сложим (!.17) и (!.19) и вычтем иэ этой суммы (1.18); разделив последнее на 2, найдем А АВ СА) Ь' (1.20) Сопротивления других ветвей звезды получим путем циклической перестановки индексов: (1.21) В ВС АВ' Ь' гС = гСА гВС/Е «Д (1.22) 23 здесь Ег5 — сумма сопротивлений всех ветвей для треугольника.

Структуры треугольника и звезды по отношению к узлам симметричны. Поэтому уравнения равенства сопротивлений между узлами В и С и между узлами С и А можно получить из (1.17) простой циклической перестановкой индексов: В случае равенства сопротивлений етвей треугольника (гАВ = г = г . = г~) сопротивления ветвей эквивалентной звезды тоже одинаковы: г = г~!3, !1.23) а) ) Возможно обратное преобразование звезды иэ резистивных элементов в эквивалентный треугольник.

Для этого перемножим попарно выражения (1,20) — (1.22) и сложим полученные произведения: А В В С С А АВ ВС СА~!АВ ВС СА)' Последнее уравнение разделим на (122) и определим сопротивление ветви треугольника: à  — ГА ГВ Г ГВ)ГС. (1.24) Путем циклической перестановки индексов в (1.24) найдем выражения дпя сопротивлений двух других ветвей: "ВС = 'В + 'С глгС1гА' гС вЂ” гС г г,г )гв. (1.25) (1.26) Примером упрощения расчетов может служить преобразование мостовой схемы соединения рсзнстивных элементов !рис. !.16, а), После замены одного из треугольников эквивалентной звездой всю цепь (рис. !.16, б) можно рассматривать как смешанное соединение резистивных элементов.

1.10, метОд узлОВых пОтенциАлОВ Метод узловых потенциалов позволяет уменьшить число совместно рецвемых уравнений до У вЂ” 1, где У вЂ” число узлов схемы замещения цепи. Метод основан на применении первого закона Кирхгофа и заключается в следующем: 1) один узел схемы цепи принимаем базисным с нулевым потенциа.

лом. Такое допущение не изменяет значения токов в Ветвях, так как ток в каждой ветви зависит только от разностей потенциалов узлов, а не от действительных значений потенциалов; 2) для остальных У вЂ” 1 узлов составляем уравнения по первому закову Кирхгофа, выражая токи ветвей через потенциалы узлов; 3) решением составленной системы уравнений определяем потен- 24 15 (г+ 1з+ 3!=о; узел 2 где 1! = (Ф! !сз)/г! = Фг/гг; 1г = (Фг Фз)/гг = чгг/гг; ~з (чг! Фг + Е)/гз т.

е после подстановки 1 гг! !сг 3 ! гз гз сз (1.27а) 1 / 1 1 — чг! — чгг — 3 г гз гг гз гз или в матричной форме 1 1 Г! гг 1 О гз гз 1 1 гз О ! уг гэ (1.27б) 25 циалы У вЂ” ! узлов относительно базисного, а затем токи ветвей по обобщенному закону Ома (1.8). Рассмотрим применение метода на примере расчета цепи по рис.