1 (Техническая газодинамика Дейч М.Е), страница 5

!-1!. Положение тачки в цессе движения деформирует- нрнноугольной н ннлннлрнческоя ся с сохранением объема. снстенах коорлннат. Для сжимаемой жидкости деформация частицы происходит с изменением объема. В атом случае уравнение неразрывности связывает изменения объема и плотности частицы. Уравнение (1-12) записано в прямоугольной системе координат. Во многих случаях, в особенности при изучении процессов, протекающих в турбомашинах, удобно пользоваться цилиндрической системой координат. Положение некоторой точки А в цилиндрических координатах определяется радиусом-вектором г, полярным углом 0 и аппликатой г (рис.

1-11). Давая указанным координатам бесконечно малые приращения с(г, с(() и с(г, выделим в массе жидкости частицу АВСОА'В)С'0' (рис. 1-12). Движение точки в рассматриваемых координатах задано, если известны составляющие скорости: й с = — †радиальн составляющая; й де с =г — — тангенциальная составляющая (нормальная к раа Л диусу-вектору); 27 гв = — — осевая составляющая скорости. д( Составим уравнение неразрывности в цилиндрических координатах.

Подсчитаем скорость относительной об ьемной деформации. движущейся жидкой частицы, показанной на рис. 1-12. Изменение объема этой частицы за элемент времени с(( в направлении радиуса-вектора можно выра"ить так: ~( с + — Й') (с+ г(г) в(6 — с гс(6~ г(зг(! или, оставляя члены одного порядка, (-,' 4 дс,~ — '+д — ') гФг(зс(6г(!. Суммарное изменение объема за рассматриваемый отрезок времени составляет: с(Иг =-- ( — '+ — '+ — — '+ — ) гс( лс( с(6Л.

Тогда скорость отпосвпельной объемной деформации будет: дд! с, дс, ! дев дм -- — =- — + — + — — +— д(г Ш г дг г дз дг ' Подставив это выраженяе в уравнение неразрывности (1-10а) и выразив полную пропзводиуво плопюсти в цилиндрических координатах, после преобразований окончательно получим: — + — + — — '+ — ==О. (1-14) др д (рм) ! д (ргс,) ! д (ров) д! дн г дг г дз Рис. (-!2. К выводу уравнений Эйлера в цилиндрической снетеие координат. Изменение объема в направлении, нормальном к радиусу-вектору, будет: ( св + дв с(6) — се с(лс(гс(( = — - — 6 Й Ыгг(бсН. [;. )- дев ~ ) ! дев По оси з объем меняется на величину , ев+ -- с(г ! — гв Ы) г(гс!( = — гг(дс(гй(й. '=-- )- ' 28 1-4.

УРАВНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ Ниже рассматривается движение газа без внутреннего теплосбмена при отсутствии теплопроводности и трения. Такое движение является, конечно, идеализированной моделью действительного движения, в котором проявляются силы трения„ возникают градиенты температуры и совершается внутренний теплообмен между соседними частицами. Принимаемая упрощенная схема потока сжимаемой жидкости, однако, играет весьма важную роль в газовой динамике, так как она служит известным эталоном при анализе действителыьых процессов течения.

Многие практически важные реальные случаи течения газа весьма близки по своим свойствам к рассматриваемому идеализированному течению, закономерности которого в этих случаях могут быть использованы для расчетов. Получаемые при указанных упрощениях зависимости широко используются для анализа физических свойств потока, энергетически изолированного от окружающей среды. Установим основные закономерности, которым подчиняется такая схематизированная модель течения. Выделим в потоке жидкости элементарный параллелепипед.

Вну! рп замкнутой ! оверхности параллелепипеда заключена масса жидкости. Применим к рассматриваемому элементу теорему количества движения. 29 Изменение количества движения массы газа, сосредоточенной внутри поверхности, происходит в общем случае вследствие того, что каждая частица, перемещаясь, занимает с течением времени новое положение и приобретает новую скорость, а также потому, что в каждой точке пространства скорость изменяется во времени. При установившемся движении количество движения меняется только в связи с изменением положения частиц. В соответствии с известной теоремой механики изменение количества движения массы, заключенной в выделенном элементе, равно илщульсу внешних сил.

Составим уравнения импульсов в проекциях на координатные оси (рис. 1-10). На грань АВСО в направлении оси х действует сила давления рйуйг, импульс которой будет: рйуйгсЫ. Импульс сил давления, действующих на грань А'В'С'1У, равен; — (р+ ~йх~! йуйгй!. дх Заметим, что, кроме сил давления, на элемент могут действовать массовые силы (гравитационные, магнитные и электростатические). Из них чаще всего необходимо учитывать гравитационную силу — силу тяжести. Для газов вследствие относительно малой их плотности сила тяжести по сравнению с силами давления оказывается малой и ею обычно можно пренебречь. Однако в некоторых задачах влияние массовых сил должно быть учтено.

Обозначим через Х, У и Х проекции единичной массовой силы (отнесенной к массе жидкости) на оси координат х, у и 2. Тогда проекции полной массовой силы на ксюрдинатные оси будут: Хрйхйуйг, Урйхйуйг и Ярйхйуйу. Введем импульс массовых сил в проекции на ось х, равный Хрйхйуйгйс. Тогда суммарный импульс равен изменению количества движения: Хрйхйуйгй! — — Р йхйуйгй! = рйхйуйгйц др где рйхйуйг — масса элемента. 1 чсдовательно, (1-15а) Аналогичные уравнения получим в проекции на оси И 2: д! д (1-156) сЪ ! др --=Š—— Й р дх (1-15в) Имея в виду, что приращения скорости равны: йи = — йх+ — йу+ — йг+ — й1; ди ди ди ди дх ду дх дс йи = — йх+ — йу+ — й 2+ — й1; до до до с)о дх ду дх д! для проекций ускорения на координатные оси получим из (1-15): с!и ди ди ди ди ! др. — = — +и — +а — +цс — =Х вЂ”-- й! д! дх ду дх Р дх' до до до до до ! др.

дс ду дх ду дх Р ду — =--+и — +о — +ш — =1' — — — ' дм дсо дм дис дис ! с!Р си д! дх ду дх Р дх — = — +и — +о — +со — =Х вЂ” —— Производные —, — и — выражают проекции полного сРи до дис Й' с!! й! ускорения движущейся частицы. Уравнения (1-16) показывают, что ускорение жидкого элемента вызывается соответствующими изменениями сил давления, действующих на этот элемент, и массовыми силами. Уравнения (1-16) были также получены Эйлером. Составим теперь уравнения импульсов в цилиндрических координатах.

С этой целью найдем составляющие ускорения в новой системе координат. Полное ускорение вдоль радиуса-вектора выражается как сумма относитель- 3! с(с, ного ускорения †' и центростремительного ускорения— дг св ††. Следовательно, радиальное ускорение равно: дс, св Й Полное ускорение в направлении, нормальном к радиусу-вектору, складывается из тангенцнального ускорения дй Ыг пз ㄠ†„ н кориолисова ускорения 2 — †, т. е. дв Ю'В с(г суй ! ~<'М "'в г — +2 — — = — — = — + дм ' с(! ьгс г дв дг ' г Тогда уравнения импульсов (1-15) можно записать в такой форме: 2 1д иг, ~ дгг :—,==х — ', а. где )с, 6 и Х вЂ” проекции единичной массовой силы на оси координат г, й и г.

с(с, Подставив в (1-17) значения полных производных сИ дсв дв — и — через частные, окончательно находим: дв дв св дв дв ! др — +с — +- — + гп — =Х вЂ”вЂ” дс 'дг г дв дх р дг' ! 1 5. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ГИДРОМЕХАНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ. УРАВНЕНИЯ И. С. ГРОМЕКО Уравнения движения в форме Эйлера являются общими уравнениями механики. Особенности движения жидкой среды могут быть отражены введением специфических 32 элементов движения — компонентов вихря, кинетической и потенциальной энергии — в уравнения Эйлера. Компоненты угловой скорости вращения в, в и могут быть непосредственно введены в уравнения движения (1-16) и (1-17а). Если к левой части первого из уравда дв пений (1-16) добавить а затем отнять и — и се†, то после ! дх дх' несложных преобразований получаем: 1 др =Х вЂ” —— р дх Имея в виду, что и учитывая формулы (1-6), представим первое из уравнений движения (1-16) в такой форме: дв +д — „Я вЂ” 2 (ов, — гвгвс) = Х вЂ” дх ' (1-18а) Аналогично можно преобразовать и два других'уравнения движения.

В результате получим: у+д ( ~ ) — 2(ивс — овх)=Х вЂ” — д . (1-18в) Аналогично можно преобразовать уравнения (1-17а) н нилиндри. ческой системе координат. Компоненты угловой скорости вращения н этой системе координат выражаются уравнениями: ш с (1-21) ы +ы„+ы =»» +»» » 2 2 2 2 дх ду дг и о ду~",+и+Р) =2 (1-24) »в о» ю к а а» » г~ 34 3» Пользуясь известными формудами перехода от прямоугольных к цилиндрическим коордвнатам, нетрудно выразить компоненты угловых скоростей ы„, ы„н ы через ы,, ы а ыв Угловая скоросгь вращения ы может быть выражена через составляющие ы, ы и ы по г уравнениям (1.19), так как Смысл величин ын ыа и ы поясняется на рис.

1-!3. Составляющая ы, определяет такое вращение частиц, осью которого является радиус-вектор (радиальный вихрь); компонента ы характеризует вращение частиц относительно оси, имеющей форму окружности (кольцевой вихрь); ы представляет собой угловую скорость враще»тая вокруг оси з. дгв Введем в левую часть первого уравнения (1-17а) члены: + ги —, д. дю + сз д 1 тогда дсг д гс ( 1 др, — '+ — ~ — ) — 2(саыа»сла) = Л ' (! 20) дт д» ( 2 ) а р дг аналогично преобразуются второе и третье уравнения (1 17а).

Преимущества уравнений количества движения (1-18)— (1-20) очевидны. В отличие от уравнений Эйлера они содержат в явной форме величины, характеризующие особенности движения жидкости — легко деформируемой среды. Эти уравнения включают компоненты угловой скорости вращения частиц, т. е. члены, характеризующие вихревое движение жидкости, кинетическую энергию и потенциальную энергию давления, а также потенциальную энергию массовых сил. Введение этих величин существенно упрощает анализ многих сложных видов и»и л движения жидкости и, в и частности, облегчает исслс- дование некоторых свойств » потока в проточной части турбомашин. В некоторых частных случаях уравнения (1-18) рис, 1-!з.к о опеле ю кочпонен или (1-20) легко интегРитов вихря в цилиндрической систе- РУются Лля этой цели ме координат уравнениям движения мож- но придать еще более простую и наглядную форму, вводя некотору!о функцию давления Кроме того, влияние массовых сил учитывается путем введения потенциальной функции и, частные производные от которой по координатам выражают проекции ускорения массовых сил на оси координат: Тогда уравнения (1-18) принимают вид: '-" -1- — ' 1 — '.Р с Ч- Р)»»,.

— .г„»; дт дх 12 '— ."Р— '! — "~- ~-Р)= » — ".» ~ и»» оу дв , 2 ды+ д !'с + +о дт дх '1 2 I Уравнения (1-23) были получены профессором Казанского университета И. С. Громеко в 1881 г. /ди до дн» Для установившегося движения ( — = — = — = ) после умножения обеих частей уравнения (1-23) соответственно на с(х, ду и Нг и суммирования нетрудно получить: Определитель (1-24) равен нулю и следующих частных случаях: а) при отсутствии вихрей в жидкости, т.

е. когда ю =ю„=ю =0; а б) при условии дх с(в с!х и и й» в) при условии пк дп с~д к у г'г условия „б" и „в" являются дифференциальными уравнениями линий тока и соответственно вихревых линий (см. уравнение (1-5)); следовательно, согласно условиям „б' н „в' определитель (1-24) равен нулю для линий тока и вихревых линий; г) при огг =куг; пгг =игг; г у' к г' игг =ого, у к' или (1-25) гг гг гг у г Во всех перечисленных случаях из (1-24) получаем: 2( — +(7+Р) =О, или после интегрирования с' + (7+ Р— сопят.