1 (Техническая газодинамика Дейч М.Е), страница 3

Для установившегося движения величина и направление вектора скорости пе меняются во времени; в этом случае линии тока сохраняют неизменное положение в пространстве и форму. г В $ 1-2 весьма кратко излагаются некоторые основные понятия аэро~ идромехаипки, встреяяюшиеся в специальных главах книги.

На линии тока 5 1рис. 1-2) выделим элементарный отрезок г>5 и спроектируем его па координатные оси 1отрезки дх, гуу, гуз) Найдем углы мен<ду элементом ггз и вектором скорости с,с осями координат: и гул, соз 1хз) =- — =- —; С йэ' Следовательно, дифференциальное уравнение линий тока имеет вид: (1-5) Выделим в движущейся жидкости некоторый бесконечно малый замкнутый контур, через каждую точку которого проходит линия тока 1рис, 1-3). Совокупность всех линий тока образует некоторую замкнутую поверхность — т р у б к у тока. Жидкость, движущаяся внутри трубки тока, называется элементарной струйкой. Рис. 1.2. К выводу дифференциального урзвиенпя линий тока.

АА, = — «1у«У. ду АА, ди «1а =1н«й = — '= — Й ««у ду !4 Возвращаясь к понятию линии тока, отметим, что в установившемся движении, она совпадает с траекторией частицы. Т р а е к т о р и я представляет собой линию, изображающую путь, пройденный в пространстве частицей за некоторый отрезок времени. Линия же тока является мгновенной линией, вдоль которой в данный момент движется совокупность частиц. Очевидно, что только при установившемся движении эти понятия могут совпадать, так как в этом случае траектории всех частиц, проходящих через какую- либо определенную точку пространства, будут одинаковыми Рис «-3.

К определению трубки тока и алемен- тариой струйки. и, следовательно, в каждый момент времени все частицы, которые лежат на траектории, будут образовывать и линию тока. В общем случае движение жидкой частицы является сложным. Наряду с поступательным движением вдоль некоторой траектории частица может вращаться относительно собственных осей и в процессе этого движения деформироваться.

Благодаря неодинаковым скоростям на различных гранях частица испытывает линейную деформацию и деформацию ска«пивания или сдвига. Если в первоначальный момент движения частица имела форму параллелепипеда, то с течением времени вследствие деформации форма ее изменяется. В случае сжимаемой жидкости меняется также и объем частицы. Обращаясь к рис. 1-4, проанализируем вращение и деформацию одной из граней параллелепипеда, показанного на рис.

1-2. Если в точке 0 1рис. 1-4) проекция скорости ди на ось х будет и, то в точке А она будет и'+ — «1у. Под ду Рис. Ь4. деформация грани частицы жидкости н процессе движения. ди действием разности скоростей в этих точках, равной †«1у, ду ребро 0А повернется на некоторый угол «й„ переместившись относительно точки 0 за элемент времени Й в положение 0А,. Величина отрезка АА, определяется по фор- муле За рассматриваемый элемент времени точка 0' сместится по оси у на величину Р0, = — ««х«1«. При этом ребра 0А и 00«повернутся на малые углы «1ек и «й„которые определяются по очевидным уравнениям: Рассматриваемые перемещения ребер 0А и 00! вызваны как вращением плоского жидкого элемента (грани параллелепипеда), так и его деформацией.

Заметим, что если бы грань только деформировалась, без вращения, то ребра 0А и 00' поворачивались бы на одинаковый угол навстречу друг другу или в противополсжных направлениях. Наоборот, если бы грань совершила только вращательное движение (как абсолютно твердое тело), то ребра 0А и 00' поворачивались бы на одинаковый угол в одном направлении. Движение элемента в сбщем случае можно рассматривать как сумму деформационного и вращательного движений и таким путем определить углы г(и, и г(и!. Принимая, что в результате вращения (против часовой стрелки) ребра 0А и 00' повернулись на угол г(Т, а в результате деформации †дополнитель на угол !гр, найдем: (Й, = ф — Ы'~', сЬг = — д3+ !(Т. Из зтнх двух уравнений получим; 2и!Т = !1и, — (Й,.

Угловая скорость вращения грани будет равна: 2 ~~1 Подставив значения производных — н —, находим и !и угловую скорость вращения грани в таком виде: где !и — составляющая вектора угловой скорости вращения, параллельная оси з (индекс г указывает направлеш*,е оси, относительно которой происходит вращение). Заметим, что г! является угловой скоростью вращения биссектрисы угла в точке 0. Аналогичные рассуждения приводят нас к заключению, что угловые скорости вращения двух дру- тих граней, расположенных в плоскостях хог и уг!г, выражаются через соответствующие значения частных произди дм ди дм водных —, — —, —, —, причем вращение каждой грани падл' дл ' дг' ди' раллелепипеда определено двумя угловыми скоростями.

Таким образом, уравнения для всех трех составля1ощих вектора угловой скорости вращения будут иметь вид: =1('-'.-'-:) ~ 1 Гди ди1 г1дг дх ' ! ди ди З 1дх да7' (1-6) Уравнения (1-6) выражают компоненты вектора угловой скорости вращения жидкой частицы е, величина которого определяется как геометрическая сумма и,, !ии и я !и=юг' !и +!и +а (1-7) л формулы (1-6) определяют в дифференциальной форме связь между составля!ощими угловой скорости вращения н составляющими скорости поступательного движения. Вращательное движение частицы вокруг осей, проходящих через частицу, называют вихревым движением.

Опыт показывает, что во всех случаях движения реалыюй (вязкой) жидкости все поле потока нлн часть его являются вихревыми. В тех областях течения, где вихревое движение частиц отсутствует, угловая скорость вращения равна нулю (и! =О). В этих областях частицы жидкости могут двигаться по траекториям любой формы, деформируясь при этом, но не вращаясь относительно своих осей. Если в частном случае при м =О траектории частиц являются замкнутыми кривыми, то такое движение будет частным случаем ц и р к у л я ц н о н н о г о движения. Следует подчеркнуть, что при таком движении частицы совершают вращение вокруг некоторой осн, расположенной вне траектории, но не вращаются относительно собственных осей. Понятия вихревого и цнркуляционного движений жидкости играют большую роль в гидромеханике.

В этой связи остановимся на одной весьма важной характеристике потока — циркуляции скорости. Рассмотрим еще один ч Г =():сгг((, (1-8) !9 пример циркуляционного течения. При обтекании несимметричного профиля крыла (рис. 1-5) плоскопараллельным потоком линии тока в области потока у крыла искринлены, так как крыло возмущает ((идл(дгяииеммв поток.

Характер возмущен ' ~ лгаееяие (Г ния, вносимого крылом в лдмла поток, можно выяснить, определяя скорости в разл личных точках поля у кры— ла. Сравнивая локальные значения скоростей со скоростью набегающего потока, нетрудно установить, Рис. 1-б. Схеча обтекания крыло- что течение у крыла можно вого профиля. представить как сумму по- ступательного невозмущенного потока и течения по замкнутым траекториям, Интенсивность потока у крыла можно характеризовать величиной циркуляции скорости, которая определяется по уравнению где с — проекция вектора скорости на направление элемента контура 1.

В общем случае произвольно выбранный контур 1 может не совпадать с линией тока циркуляционного течения. Формулу (1-8) можно записать в таком виде: Г=$с сох(с, 1) г(1. (1-9) Таким образом, циркуляционным движением можно назвать такое движение, при котором циркуляция скорости отлична от нуля. Если Г= О, то движение называется бесциркулиционным'.

При вычислении циркуляции скорости по формуле (1-9) необходимо условиться о направлении обхода контура интегрирования. Положительным направлением обхода, как пра- ' Обращаясь к формуле (1-9), мы видим, что выражение для циркуляции скорости иапомииает известное уравнение работы вектора силы. Эта внешняя аналогия позволяет понять мехаиичсский смысл циркуляции (произведеиие скорости иа путь) и дает основание условио называть величину Р работой вектора скорости. пило, считают такое направление, при котором заключенная внутри контура область потока остается справа (рис.

1-5). Понятие циркуляции весьма широко используется при исследовании вихревых движений газа. В теории вихревого движения доказывается ряд фундаментальных теорем, связывающих циркуляцию скорости с основными характеристиками вихря, Остановимся прежде всего на основных понятиях вихревого движения: вихревой линии, вихревой трубки и вихревого шнура.