Теплопередача и гидродинамическое сопротивление Кутателадзе С.С., страница 4

Кроме того, используются какие-то другие существенные общие призна. ки, например ламинарный или турбулентный режим течения. В развитых физико-математических моделях класс явлений определяется системой уравнений, полностью описывающих его наиболее общие закономерности. Например, класс ламинарных течений с постоянной вязкостью и плотностью жидкости описываетсн уравнениями (1,3.4). В неразвитых физико-математических моделях уравнения полностью или частично заменяются перечнем величин, существенных для описания данного явления. Например, при рассмотрении дробления напли невязкой жидкости в несущем потоке газа можно выделить следующие величины: начальный диаметр, плотности газа, и жидкости, коэффициент поверхностного натяжения, характерную относительную скорость капли.

Внутри класса можно выделить множество явлений, у которых поля одноименных величин отличаются на определеннйй множнчипэ преобразования. Их принято называть группой подобных явлений. 2 — 6637 17 Например, ламинарные течения в протяженных цилиндрических кана. лах, лля которых скорости жидкости в геометрически сходственных тачках соотносятся так же, как и характерные нх значения ()сЯ,=!беш, и,/а,= =(и,)/(и,). Здесь )гь — радиус канала; и~ и из — скорости сопоставляемых течений на одном и том же относительном радиусе). Иначе говоря, физичесюн подобны процессы, у которых безразмерные поля характеризующих их одноименных величин тождественны. Выделение групп подобных процессов является также отражением общего и ясного соображения о том, что описание законов природы и решение конкретных физических задач не зависит от выбора системы мер.

От системы мер может зависеть только число размерных и безразмерных фундаментальных констант и переводные коэффициенты (например, ври использовании в технической системе мер разных единиц для механической работы и количества теплоты необхозгимо ввести так называемый тепловой эквивалент работы 1 ккал=427 кгс м) [1.1 — 1.3, 1.5, 1.6). 1.9. АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ Если составлен перечень иэ е размерных величин, совокупность которых однозначно (в рамках принятой физической модели) характеризует рассматриваемое явление, то максимальное число безразмерных величин, которые можно нз них составить, определяется формулой Бзкингема (1.9.1) р=т — л, где и — число первичных (независимых) размерностей, из которых составлены размерности величин пь Безразмерные характеристики данного процесса (явления) называются числами, или критериями, подобия.

В зависимости от способа их образования различают симплексы и иомвлексы. Симплексы представляют собой отношение текущего значения данной величины к ее значению в некоторой масштабной пространственно-временной точке (области) нли к другому характерному масштабу той же природы. Пример 1. Текущую координату х, направленную по оси трубы, можно представить в безразмерной форме х=х)Р, где 0 — внутренний диаметр трубы. Пример 2. Разность температур в заданной точке охлаждаемого тела Т и охлаждающей среды на большом удалении от тела Та может быть представлена безразмерной величиной АТ=(Т вЂ” Тз))(71 — Тз), где Т, — температура в заданной точке в момент времени 1з.

0 и ЬТэ=Т1 — Тз в данных примерах являются масштабами рассматриваемого параметра. Комплексы образуются путем комбинирования нескольких разноименных величин, характеризующих процесс, Пример 1. Гидродинамический режим изотермического потока ньютоновской жидкости характеризуется совокупностью четырех величин — масштабом скорости течения У, и/с, масштабом линейных размеров (., и, плотностью жидкости р, кг/м', и вязкостью жидкости р, Па с. Число рассматриваемых величин и=4, и они имеют четыре размерностя (м, с, кг, Па).

18 Однако размерность напряженности — паскаль относится только к одной из величин, а именно к вязкости. Поэтому в такой форме получить безразмерное соотношение с другими тремя величинами, размерности которых составлены из первичных в системе СИ размерностей (кг, м, с), нельзя, и в даи. ном случае необходимо написать размерность Р через эти первичные размерности, т, е. раскрыть значение Па=кг/(с'м). Таким образом, четырем рассматриваемым физическим величинам сопоставляются три размерности, содержащиеся явно во всех четырех единицах. Из формулы (1.9.1) следует, что з данном случае можно составить только одно число подобия (1.9.2) Не=И./и, где ч=р/р — производное физическое свойство, называемое кинематической вязкостью, мЧс.

Пример 2. Коэффициент теплоотдачи а, Вт/(м'К), жидкости, текущей в круглой гладкой трубе диаметром /1, м, и длиной /„м, зависит от среднерасходной скорости течения //, м/с, динамической вязкости жидкости р, Па.с, массовой теплоемкости с, Дж/(кг К), теплопроводности ь, Вт/(м К), плотности р, кг/м'. Здесь я=8, а число первичных размерностей л=4 (м, с, кг, К). Соответственно число возможных безразмерных комбинаций р=8— — 4=4.

Их каноническая форма (с учетом того, что Х/(гр) =а): (г4и=аО/Х; йе=(/11/а9 Рг=и/и; С ///)). (1.9.3) Следует обратить внимание на то, что число подобия Рг представляет собой комбинацию физических свойств, которая характеризует соотношение масштабов распространения процессов диффузии импульса и теплоты. Из этих примеров видно, что когда количество размерных величин не очень велико, переход к их безразмерным комбинациям существенно сокращает число естественных переменных данной физико-математической модели. Исторически сложилось так, что наиболее распространенные (фундаментальные) числа подобия называют по .имени их автора илн ученого, внесшего существенный вклад в данную проблему. Символами чисел подобия выбирают первые буквы соответствующего имени.

Так, в рассмотренных примерах Ке — число Рейнольдса (1883 г.), Рг — число Прандтля (1910 г.), г)ц — число Нуссельта (1909 г.). В скобках указан год публикации соответ. ствующего числа подобия тем ученым, именем которого оно впоследствии было названо. 1.1О. АНАЛИЗ РАЗВИТЫХ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Если задана система уравнений к краевых условий, однозначно формулирующая данную физико-математическую проблему, то переход к ее безразмерной форме является естественным как при численном, так и при физическом моделировании, в результате чего постановка проблемы приобретает универсальный характер, не связанный с конкретными значениями размерных величин.

19 Пример. Процесс стационарной теплоотдачи при свободной конвенции определяется системой уравнений: ау/эТ = (и, пгаб Т); — йр()АТ вЂ” пгаб рд+рлзэи = р(и, йгаб) и; (1.10.1) б!ч и = О. Здесь принято, что с температурой меняется только плотность среды р; 0 — коэффициент объемного расширения жидкости, 1(К; р — динамическая составляющая давления; йрбАТ вЂ” гидростатическая составляющая давления; влиянием переменности плотности на уравнение оплошности пренебрегают (1.7). Эта система уравнений может быть представлена в безразмерном виде с учетом канонических форм соответствующих чисел подобия: т/эТ = Ре(и, пгаб Т); Ог — кгаб рд+ йе г/эи = Вез(и, цгаб)и( 0!та=О, (1.10.2) 20 где Т= (Т вЂ” Та)/(Т„ — Та); й=и/У; рх=рпЕз/риз! Ре=У/./а — число Пекле; От=Об(Т,г — Та)Ич' — число Грасгофа; Ке= У/./ч — число Рейнольдса; Ь— характерный линейный размер; ха=я~/Ь вЂ” безразмерные координаты.

Здесь видно, что безразмерные комплексы (числа подобия) могут выступать и в качестве переменных величин, входящих под знаки операторов (в данном примере пгаб рл), и в качестве постоянных коэффициентов, построенных по масштабам размерных переменных и их физическим свойствам (в данном примере числа Ре, Ог, Ке). Этот пример иллюстрирует и определение: подобными называются физические процессы, у которых поля одноименных безразмерных параметров геометрически тождественны. Определяющими числами подобия (собственно критериями подобия) на. зываются безразмерные комплексы, составленные только из условий однозначности, т.

е, из краевых условий, совокупности характерных для данного процесса физических свойств, геометрических параметров рассматриваемой системы. Определяющие числа подобия суть независимые безразмерные переменные процесса. Неопределлющие (определяемые) числа подобия состоят нз некоторой искомой размерной переменной и обезразмериваюших ее величин, входящих в условия однозначности. Определяемые числа подобия суть зависимые безразмерные переменные процесса. Например, в выражении (1.9.3) число Хп— зависимая перемен .я, числа Рг, Ре, Š— независимые переменные. Отсюда следуют: основное правило теории подобия (Нуссельта — Афанасьевой) — каждое из неопределяющих чисел подобия является функцией совокупности определяющих чисел подобия; основное праэмло моделирования (Кирпичева — Гухмана) — подобными являются процессы одной физической природы, имеющие подобные условия однозначности и численно равные определяющие критерии.

Приведение уравнений к безразмерному виду, как и соответствующее комбинирование пепечня заданных величин при анализе размерностей, не 1.11. ВНУТРЕННИЕ МАСШТАБЫ ПРОЦЕССОВ Наряду с характерными масштабами, задаваемыми условиямн однозначности, можно конструировать внутренние (собственные) характерные масштабы физических взаимодействий (1.6). Так, линейными масштабами толщины гидродннамнческого пограничного слоя вязкой несжимаемой жидкости, возникающего на поверхности обтекаемого тела, являются интегральные характеристики полн скоростей течения вида: д" = ) (1 — и)йу; 6*'= ) и(1 — и)бу, (1.11.1) а о называемые толщиной вытеснения и толщиной потери импульса.