Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г., страница 7

степе напряжения сдвига, вызванного трением. Другие силы на жидкость не действуют, в частности, не действуют и силы инерции, так как для каждой жидкой струйки скорость в продольном направлении постоянна. Для составления уравнения равновесия мысленно вырежем из жидкости, содержащейся в трубе, цилиндр длиною 1, радиусом у и с осью, совпадающей с осью трубы (см. рис.

1.2). В направлении оси х на вырезанный цилиндр действуют силы давления р,яув и рвяув, приложенные к левому и правому основаниям цилиндра, и касательная сила 2яуг.т, действующая на боковую поверхность цилиндра. Приравняв разность сил давления (р, — рв) яуа касательной силе, мы получим в качестве условия равновесия в направлении х уравнение.

25 пвгвонячяльнын свкднния о твчвниях жидкости с тгнниим игл. г параболоида вращения равен половине произведения площади основания параболоида на его высоту. Следовательно, а г яйг ч= 2 Л ит= г (Рг Рг) (1.11) т. е. расход (г пропорционален первой степени перепада давления (р, — рг)/1 на единицу длины и четвертой степени радиуса трубы. Введем в рассмотрение среднюю скорость течения через поперечное сечение трубы, равную и=— яяг ' Тогда формулу (1.11) можно переписать также в виде Рг — Рг = 8!г Рг и.

(1.12) з 5. Законы подобия; число Рейнольдса и число Маха Течение в трубе, рассмотренное в предыдущем параграфе, является особенно простым в том смысле, что в нем на каждую частицу жидкости действуют только силы трения и давления. Силы инерции всюду равны нулю. В трубе же с расширяющимся или суживающимся поперечным сечением на каждую частицу жидкости дополнительно действует сила инерции. Остановимся сейчас на следующем фундаментальном вопросе: при каком условии течения каких-либо жидкостей около двух геометрически подобных тел при одинаковых направлениях натекания геометрически подобны друг другу, т.

е. при каком условии геометрически подобны картины линий тока этих теченийт Будем называть такие течения с геометрически подобными границами и геометрически подобными картинами линий тока механически подобными течениями. Для того чтобы течения различных жидкостей около двух геометрически подобных тел различных размеров (например, около двух шаров) и цри различных скоростях были механически Закон, выражаемый формулой (1.11), впервые был выведен Г.

Хагеном Р! и вскоре повторно был найден Ж. Пуазейлем (г!. Мы будем называть его законом Хагена — Пуазейля ламинарного течения в тпрубе. Формулу (1 11) можно использовать для экспериментального определения коэффициента вязкости )г. Это производится следующим образом. Берется узкая труба (капилляр) определенного диаметра, и для заданной длины трубы определяется перепад давления и расход; имея эти числа, легко вычислить из формулы (1.11) величину !г. Течение, описываемое формулами (1.10) и (1.11), в действительности может происходить только в трубах со сравнительно небольшим диаметром и при сравнительно небольших скоростях.

При ббльших скоростях течения и большем диаметре трубы характер течения совершенно изменяется. А именно, в этом случае перепад давления уже не пропорционален первой степени средней скорости течения в соответствии с формулой (1.12), а приближенно пропорционален второй степени от и. Кроме того, скорость течения распределяется по поперечному сечению значительно более равномерно и вместо упорядоченного слоистого течения происходит течение, в котором на продольную скорость налагаются беспорядочные поперечные составляющие, вызывающие сильное перемешивакие жидкости в поперечном направлении.

Такой формой течения, называемой турбулентным течением, мы подробно займемся ниже, в главе ХХ. Для турбулентных течений закон трения Ньютона, выражаемый формулой (1.2), перестает быть применимым. ЗАКОНЫ ПОДОБИЯ;ЧИСЛО РЕЙНОЛЬДСА И ЧИСЛО МАХА 27 подобны, должно, очевидно, удовлетворяться следующее условие: во всех подобно расположенных точках силы, действующие на элемент объема жидкости, должны находиться в одинаковом отношении одна к другой во все моменты времени. Рассмотрим сейчас важный случай, когда имеются только силы трения и силы инерции.

Упругие силы, возникающие вследствие изменения объема, не будем учитывать, т. е. будем предполагать, что жидкость несжимаема. Не будем учитывать также силы тяжести, следовательно, исключим из рассмотрения свободную поверхность жидкости (сила тяжести внутри жидкости уравновешивается гидростатической подъемной силой). При сделанных допущениях условие механического подобия будет соблюдаться только в том случае, если во всех подобно расположенных точках жидкости отношение силы инерции к силе трения будет одинаковым. Для движения, происходящего в основном в направлении оси х, сила инерции, отнесенная к единице объема, равна рРи/Рг, где и есть скорость жидкости в направлении оси х, а Р/Рг — субстанциальная произ-, , дт водная.

Для стационарного движения мы уу можем вместо рРи/Р с написать ди дх дн р —.— = ри —, дх дг дх где ди/дх есть изменение скорости при переходе от одной точки к другой. Следовательно, сила инерции, отнесенная к единице объема, равна ри ди/дх. Выражение для силы трения легко составить на основании закона трения Ньютона (1.2). Для элемента объема с ребром г(х, параллельным направлению движения, равнодействующая сил сдвига, как легко видеть из рис.

1.3, равна (т+ д сгу) 'гх'гг — тс(х'гз= д "х "ус(з. Следовательно, сила трения, отнесенная к единице объема, равна дт/ду, или, на основании равенства (г.2), р д'и/ду'. Итак, условие механического подобия, требующее одинаковости отношения силы инерции к силе трения во всех подобно расположенных точках, приводит к необходимости выполнения соотношения ди рн— сила инерции дх = — = сопз$. сила трения дги р д„г Теперь нам необходимо выяснить, как изменяются силы инерции и силы трения при изменении величин, определяющих рассматриваемое течение. Такими величинами являются плотность р, вязкость )г, некоторая характерная скорость, например скорость У потока, набегающего на тело, и некоторый характерный линейный размер тела, например диаметр с( шара. Скорость и в какой-либо точке поля течения пропорциональна скорости У набегающего потока, градиент скорости ди/дх пропорционален У/г(, а величина д'и/дуг пропорциональна У/дг. Следовательно, отношение силы инерции к силе трения'-равно ди ррг сила инерции дх д руд сила трения дги р дуг дг 28 пеРВОнАчАльные сВедения О течениях жидкости с тРением 1гл.

Г Таким образом, механическое подобие течений будет соблюдаться, если для обоих течений величина ре'Ю[с будет иметь одинаковое значение. Эту величину, если использовать соотношение фр = т, можно представить также в виде Ю~т. Будучи отношением двух сил, оиа представляет собой безразмерное число, которое называется числом Рейнолъдса и обозначается через [ГВ. Итак, оба течения механически подобны, если для Вих число Рейкольдса Йе= — =— руа уа [1.1З> В У одинаково.

Этот закон был открыт Осборном Рейкольдсом [Го[ при исследоваяии течений в трубах и называется по его имени законом подобия Рейнольдса. В том, что число Рейкольдса безразмерно, можно сразу убедиться, если для отдельных величин, входящих в его состав, подставить их размерности, Вапример, в технической системе единиц, а именно: КТГ [р[ = Ьо [у[=в Ь Т ' Тогда мы получим Радарт[ло которая имеет нулевую размерность? Обозначим силу символом К, длиВу — символом Ь и время — символом Т. Тогда мы получим безразмерную комбинацию величин У, д, р и р, если будет осуществляться соотношение [Ралартро[ КоЬоро Без всякого ограничения общности мы можем принять одно из четырех чисел а, [[, у, 6 равным единице, так как любая степень безразмерной величины также является безразмерным числом.

Приняв а = 1, мы получим [[Гс[арт[со[ Ь ( ) ( ) КоЬоТ при 1, Т, К слева и справа, мы будем Приравняв показатели степеней иметь три уравнения: К: у+6=0, + р — 4у — 26 = О, — 1+2у+6 =О, Т: решив которые найдем 6 = — 1. т. е. число Рейнольдса действительно имеет нулевую размерность. Анализ размериостей. Для вывода закона подобия Рейнольдса можно воспользоваться вместо соображений о механическом подобии анализом размерностей. Такой анализ основан Ва принципе, что все физические закопы всегда можно выразить в виде, Ве зависящем от выбранной системы единиц.

В рассмотрепком выше случае процесс течения определяется следующими физическими величинами: скоростью е' набегающего потока, характерпой длиной сС тела, плотностью р жидкости и ее вязкостью [с. Сопоставим размерности перечисленных величин и поставим следующий вопрос: существует ли такая комбинация этих величин в виде произведения 3АНОны пОдОБия; числО РеинОльдсА и числО мАхА 29 4 51 Следовательно, единственной возможной безразмерной комбинацией вели- чин У, 55, р и )5 является отношение — = Йе. рид и Таким образом, анализ размерностей также приводит к числу Рейнольдса.

Безразмерные коэффициенты. Только что выполненный анализ размерностей можно распространить на течения с геометрически подобными границами, но с различными числами Рейнольдса. Для этого необходимо учесть поле скоростей течения и силы (нормальные и касательные). Пусть положение точки в окрестности геометрически подобных тел определяется пространственными координатами х, у, г; разделив эти координаты на характерный линейный размер тела, мы получим безразмерные координаты хЯ, уЯ, ЗЫ.