Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г., страница 6

ду Однако эта аналогия между жидкостью и твердым телом неполная, так как напряжение в жидкости зависит от одной постоянной, а именно от вязкости )», в то время как в изотропном упругом теле оно зависит от двух постоянных. Во всех течениях, в которых наряду с силами вязкости действуют также силы инерции, важную роль играет отношение вязкости )» к плотности р, называемое кинематической зязкостью и обозначаемое буквой ти (1.4) Размерностью кинематической вяакости будет Ьз»Т. Численные значения. Для капельных жидкостей вязкость почти не зависит от давления, но сильно уменьшается при повышении температуры. ') В дальнейшем мы будем пользоваться, как правило, технической системой единиц с килограммом (кГ) в качестве единицы силы.

Однако в главе ХИ н последующих главах, а также в таблицах некоторые физические величины будут приводиться также в системе единиц ннлограмм-масса, метр, секунда с ньютоном (и) в качестве единицы силы. (В подлвнннке еднннца силы в технической' системе единиц назмвается, как зто принято в немецкой литературе, не килограмм-силой, а килопондо»» (обоаначенне йр). — Прим. вереей 22 пврвондчдльныв свндвния о твчвниях жидкости с трвнивм 1гл. г Независимость р от давления имеет место также для газов, но зато для последних р увеличивается при повышении температуры. Кинематическая вязкость т для,капельных жидкостей уменьшается при повышении температуры почти в такой же степени, как и р, так как плотность р очень слабо зависит от температуры.

Напротив, для газов, для которых р при повышении температуры сильно уменыпается, кинематнческая вязкость при увеличении температуры быстро повышается. В таблице 1.1 даны некоторые численные значения р, р и т для воды и воздуха. Значения кинематической вязкости для некоторых других жидкостей указаны в таблице 1.2. Т а 6 л и ц а 1Л. Значения плотности, динамической вяакости и кипематической вязкости для воды и воздуха при равиых температурах Вода давпеввп УЕО мм рт. ст.) кивема- тич.

вязкость !ов кввема- ткч. вязкость .!ов вязкость и 1Ов вязкость и !Ов плстиссть р темпе- ратура С 5 ь к к к к к к к Таблица 1.2'. Значения кикематической вязкости для некоторых жидкостей Кипе- матическая вязкость т !ов мв/евк Киве- матическая вязкость е !ов мз/евк тем- пература с Тем- пера Жидкость Жидкость тура 680 0,125 0,091 Смазочное масло . То же Глицерин Ртуть 20 0 100 400 100 30 20 40 60 3 3. Сжимаемость Сжимаемостью называется способность жидкости или газа уменьшать свой объем под действием сил внешнего давления.

Мерою сжимаемости является так называемый модуль объемной упруеости Е, определяемый посредством равенства Лр= — Š—, (1.5) где Л'т'/'т'о означает относительное изменение объема, вызванное повышением давления на величину Гьр. Для капельных жидкостей сжимаемость — 20 — 10 0 10 20 40 60 80 100 999,3 999,3 997,3 991,5 982,6 971,8 959,1 101,9 101,9 101,7 101,1 100,2 99,1 97,8 1795 1304 1010 655 474 357 283 183 133 103 66,8 48,3 36,4 28,9 1,80 1,30 1,01 0,661 0,482 0,368 0,296 1,39 1,34 1,29 1,25 1,21 1,12 1,06 0,99 0,94 0,142 0,137 0,132 0,127 0,123 0,114 0,108 0,101 0,096 15,6 16,2 16,8 17,4 17,9 19,1 20,3 21,5 22,9 1,59 1,65 1,71 1,77 1,83 1,95 2,07 2,19 2,33 11,3 12,1 13,0 13,9 14,9 17,0 19,2 21,7 24,5 23 сжимаимость аз) Е = 1 кГ/смз.

Таким образом, сжимаемость воздуха в 20 000 раа больше сжимаемости воды. Аналогичное соотношение имеет место и для всех других газов. Решение вопроса о том, следует ли при течениях газа учитывать сжимаемость, зависит от того, выаывают ли изменения давления, связанные с движением газа, заметное изменение объема гааа или же такого изменения объема не происходит.

Вместо иаменения объема можно оценить изменение плотности Лр. На основании аакона сохранения массы мы имеем ()го + Азг) (Ро + АР) = ИеРо следовательно, ар ар Ро и поэтому равенство (1.5) можно переписать в виде Лр=Š—. Лр Ро * (1.5а) Очевидно, что течение жидкости допустимо рассматривать как несжимаемое до тех пор, пока относительное изменение плотности остается весьма малым, т.

е. до тех пор, пока — Р (( 1. Ро Из уравнения Бернулли риз р+ — = сопя(, где ю есть скорость течения, видно, что изменение давления Лр, связанное с процессом течения, имеет величину такого же порядка, как и динамическое давление д = рпгз/2; поэтому из равенства (1.5а) следует, что ар ро Е (1.6) Коли требуется, чтобы — (< 1, Ьр Ро ") В самом деле, из уравнения состояния идеального газа следует, что при постоянной температуре изменение объема Ь г, вызванное изменением давления Ьр, удовлетворяет соотношению (Ро + ар) (Уо + й)') = Роро, откуда имеем лу ар Ро го чрезвычайно мала.

Так, например, для воды Е = 20 000 кГ/слсз, т. е. повншение давления на одну атмосферу вызывает относительное наменение объема на 1/20 000 = 0,05е/яь То же самое имеет место и для всех других панельных жидкостей. Таким образом, для капельных жидкостей сжимаемость столь мала, что в большей части случаев ею можно пренебрегать, и поэтому течения капельных жидкостей могут рассматриваться как несжимаемые. Для гааов, если изменение объема остается сравнительно небольшим и происходит прн постоянной температуре, модуль объемной упругости равен давлению ро в начальном состоянии, в чем легко убедиться из уравнения состояния гааа '). Следовательно, для воадуха в нормальном состоянии, т.

е. при давлении, равном одной атмосфере, и температуре 0' С 24 пеРВОнАчАльные сВеДениЯ О течениЯх жиДкости с трением [гл. г то это, на основании соотношения (1.6), равносильно требованию, чтобы Таким образом, мы пришли к следующему результату: течения газа можно рассматривать с хорошим приближением как несжимаемые до тех пор, пока динамическое давление остается весьма малым по сравнению с модулем объемной упругости. Этот результат можно сформулировать также несколько иначе, если ввести в рассмотрение скорость звука с. Согласно формуле Лапласа скорость звука определяется равенством Я с =.— о Ро поэтому, используя соотношение (1.6), условие огр/ро (( 1 можно переписать в виде Ар р ц)г 1 Ец> тг (< 1.

р, о К 2( ° ) Отношение скорости течения ю и скорости звука с называют числом ЛХаха и обозначают буквами Ма: Ма= —. (1. 7 'г о Таким образом, течения газа можно рассматривать приближенно как несжимаемые, если — Ма'(( 1, (1.8) т. е. при условии, что число Маха остается малым по сравнению с единицей, или, другими словами, при условии, что скорость течения мала по сравнению со скоростью звука. Для воздуха, в котором звук распространяется со скоростью с ж 330 мlсек, число Маха Ма при скорости течения и> =- 100 м!сек равно 0,3; следовательно, относительное изменение плотности будет Р Маг 005 Ро 2 Эту скорость течения можно рассматривать как наиболыную, при которой газы еще допустимо рассматривать приближенно как несжимаемую жидкость В первых одиннадцати главах мы будем предполагать, что текущая среда несжимаема, следовательно, выведенные результаты будут действительны только для малых чисел Маха.

Однако в дальнейшем, в особенности в главах Х11, Х111 и ХХ1П, мы будем рассматривать также сжимаемые жидкости. $ 4. Течение Хагена — Пуазейля в трубе Элементарный закон трения для течения чистого сдвига, приведенный. в $ 2 настоящей главы, находит важное применение для расчета течения в прямой круглой трубе с постоянным по всей длине диаметром 17 = 2Л. Скорость течения на стенках трубы вследствие прилипания равна нулю, в середине же трубы она имеет наибольшее значение (рис. 1.2). В точках цилиндрических поверхностей с осями, совпадающими с осью трубы, скорость течения постоянна.

Отдельные концентрические слои скользят один по другому, и притом так, что скорость везде имеет осевое направление. Движение такого вида называется ламинарным течением (от латинского 25 ТЕЧЕНИЕ ХАГЕНА — ПУАЗЕИЛЯ В ТРУБЕ рт — рв о (1.9) Для рассматриваемого случая скорость и уменьшается с увеличением коор- динаты у; поэтому на основании элементарного закона трения (1.2) следует принять, что Подставив это значение т в уравнение (1.9), мы получим Лн Р1 Рв р или, после интегрирования, и(у) = ~' ~~ (С вЂ” ~ ) Постоянную интегрирования С следует определить из условия прилипания жидкости к стенкам трубы, т. е. из условия, что и (у) = 0 при у = Х.

Отсюда С =- ХЧ4, следовательно, (1.19) Таким образом, имеет место параболическое распределение скоростей по радиусу трубы (см. рис. 1.2).-Наибольшее значение скорость имеет в середине трубы, где она равна 4н2 Полное количество Ч жидкости, протекающей сквозь поперечное сечение трубы (расход жидкости), определяется совсем просто, так как объем слова «1аш(п໠— слой). На достаточно болыпом расстоянии от входа в трубу распределение скоростей течения вдоль радиуса не зависит от координаты в продольном направлении. Движение жидкости в трубе происходит под действием перепада давления в направлении оси трубы, но в каждом поперечном сечении,перпендикулярном к оси трубы, давление можно рассматривать как постоянное.

Вследствие трения от одного цилиндрического слоя к дру- — г~у) гому передается касательное напряукение, пропорциональ- х ное градиенту скорости ггиУу. Следовательно, движение каждого элемента жидкости уско- уту рг ряется вследствие перепада давления и замедляется вслед- Рио. 2 Л. Ламинарное течение в трубе.