Глава II. Теплопроводность при стационарном режиме (Под общ. ред. академика В.С.Авдуевского и проф. В.К.Кошкина - Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике), страница 7

(2.1 1 1) Перенося цу/Х в правую часть и считая ду = сопя(, после первого интегрирования получим — = — — х + С,, (2.112) ст Чу нх Х а после второго— ((х) = — У + С,х + С,. (2.113) Выражение (2. 113) является общим решением уравнения (2.111). Постоянные интегрирования находятся из граничных условий. 50 Рассмотрим вначале задачу с гра- ;т(о ничнымн условиями 3-го рода. Пусть слева пластина омывается средой с температурой Тм и коэффициент теплоот- [ г„,; дачи между пластиной и средой равен са„ ~Г!' ! те же параметры справа от пластины Гит; обозначим через Тм и оса соответственно (рис. 2.22).

д Прн интенсивном тепловыделении внутри пластины тепло может отдавать-, дт ся в омывающие ее среды с обеих по- д верхностей, т. е, кривая распределения температур по толщине пластины будет иметь максимум. Пусть ось ординат проходит через этот максимум на расстоянии 6, от правой поверхности пластины. (Величину 6, мы определим позднее ) Тогда из равенства нулю производной ИТЫх при х = О (условие максимума) следует, что Ст = О, и решение'(2.113) примет следуюгций внд: (()= — — ",„" +с,.

(2.114) Рис. 2.22. Схема распределении температур в пластине при объемном тепловыаеле- нни Граничное условие 3-го рода на этой поверхности дТ аа (Т вЂ” Тта) = — Х— юа да [а,' дТ после подстановки Т„а и — [ нз выражения (2.1!4) примет вид дл ~е, йтда~ ! ( Чада '1 (2.1! 5) или от бе саа С вЂ” — — Т [ = с(рба. 2Л '! Выражение (2.115) можно интерпретировать, исходя из физического содержания рассматриваемой задачи. Поскольку плоскость х = О можно считать теплоизолированной [(ЙТЯх)„=о = дт ~ = О), следовательно, д =- ~ — Л вЂ” ~ = О, т.

е. все тепло, выдх !а=а делившееся в пластине справа от этой плоскости в единицу времени, должно быть отведено в окружающую среду посредством теплоотдачи с правой поверхности стенки. В противном случае будет нарушено условие стационарности процесса, и температура в стенке вследствие изменения ее теплосодержания будет изменяться. Величина дуба представляет собой количество тепла, выделяющееся в единицу времени в объеме пластины с толщиной 6, и площадью, равной единице. Слева же в уравнении (2.115) стоит 61 нли Ч~ ( аз) чт (6 — ~з)' т сс, ' 2Л ве Решая систему (2.117) относительно б„получим 2Ла,а,ат +д,ва (6а + 2Л) 2д 18а из + Л (а1+ ад)] где Хтг = Тж — Твн Этим выражением определяется положение максимума кри- вой распределения температуры по толщине пластины. Постоян- ную С, в решении (2.114) найдем подстановкой выражения (2.! 18) в любое нз уравнений системы (2.!1?). Решение задачи принимает особо простой вид в случае сим- метричного теплосъема с пластины, т.

е. когда и, = а, = а и Тз, = Тг, — — Тг Очевидно, да и из выражения (2,118) следует, что 6, = — 6/2, т. е. максимальная температура достигается в пло- скости симметрии пластины. Тогда из формулы (2.11?) находим 4„6 д„У с,= + '+т! 2а 8Л т() — -Г( — ) — х~+ — "+т,. Из решения (2.119) видно, что распределение температуры имеет вид квадратичной параболы, а максимальная температура т,„== т~.=.

.——,„+ —,+т, д„,Р 4,6 (2. 120) (2.! 17) (2.119) ог и 6 будет тем больше, чем меньше теплопровод- Л и чем хуже теплоотдача с ее поверхности, т. е. при постоянных ность пластины чем меньше а. Температура на поверхности пластины (х = 6!2), равная (2.121) также растет с ухудшением теплоотдачи. 82 выражение для потока теплоотдачи с единицы площади поверхности пластины. Аналогичные рассуждения для слоя пластины, расположенного слева и имеющего толщину 6, = 6 — б„приводят к уравнению чг (8 6з) а, (С, — ' — тг,~~= 9 (6 — 6 ). (2.116) Из уравнений (2,115) и (2.116) константа С, выражается следующим образом: дг6, чг6,2 Сз = ав ' 2Л -Р— + Твь Решение задачи с граничными условиями 1-го рода легко получить, определив 6, и постоянную С, из решения системы 4г62 — — +с,=т „.

2Л сю (2. 122) Т (х) = — ~( — ) — хз ) + Т (2.! 25) -= —..'+- чк6' (2.126) 2.12.2. Бесконечный цилиндр Дифференциальное уравнение теплопроводности при наличии объемного тепловыделения для одномерной стационарной задачи запишется в цилиндрических координатах (см. выражение (2.17) ] в виде — + — — + — = О. аг ~ ат г Нт Л (2.127) Заменяя г(т)г(г на и и умножая все члены на г, получим г — -1- и + — = О. Й~ чгГ Ну Л (2.128) Для первых членов этого уравнения можно представить как производную от произведения ги: — = г — + и, а урави (ги) 4и лг ИГ некие (2.12В) переписать в виде: — ' 63 4 (6 — 6,)з 2Л +с,=т „ являющейся математической записью граничных условий. Максимум температуры будет располагаться на расстоянии 6, от правой поверхности стенки, причем 2 '11+ 6' )' 6 ! 2ЛЬТ„Л (2.123) где Ат = Т вЂ” Там Решение же задачи примет такой вид:.

Т(х) = Т ~ + 2Л ( ~ 2 (1 + — 6, )1 ~ ° (2.124) При очень больших значениях коэффициента теплоотдачи граничные условия 3-го рода переходят в граничные условия 1-го рода с Т = Т . Это позволяет получить формулы распределения температур й максимальной температуры при симметричном теплосъеме и граничных условиях 1-го рода (Т„, = Т, = = Т ) из выражений (2.119) и (2.120), считая а —; оо. Тогда (2.1 32) 2.И. ПЛОСКАЯ СТЕНКА С ПЕРЕМЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ При значительных изменениях температуры твердых тел необходимо учитывать зависимость коэффициента теплопроводности Л от температуры Л =- Л (Т).

Основное дифференциальное уравнение теплопроводности для плоской стенки в этом случае будет иметь вид (2.135) 54 д.,ы Интегрируя по г, найдем ги = — — + С,, откуда' обратной 2Л заменой и на г(Т(аг получим ! 1 НТ Чгг С, Нг 2Л (2.129) Общее решение задачи найдем повторным интегрированием: Т (г) = — — + С,!и г (-См дгг' (2.130) Из осевой симметрии задачи (дТ)дг) ьм = О, следовательно С, = О.

В задаче с граничными условиями 3-го рода постоянная С, найдется из уравнения а(Т (1т) — Тг) = — Л вЂ” ~, (2,131) где й — наружный радиус цилиндра; Т~ и а — заданные значе- ния температуры окружающей среды и коэффициента тепло- отдачн, Подставим в выражение (2,131) значения Т ()с) и — ~ из нт аг г= а равенств (2. !29) и (2.130): а (С, — — — Тг/ = — Л ~ —— ч,Я Тогда С, = — + — + ТР 2а ' 4Л Таким образом, распределение температуры по радиусу ци- линдра выразится формулой 4Л ( ) + 2а + Р Максимальная температура (на оси стержня) будет равна Т.,„= Т~, = — + — +Т,, д Д' ч,!! (2.133) а температура на поверхности — Т(!т! — — + Т.

(2.134) Решение для случая граничных условий 1-го рода получим из формулы (2.!32), положив г( -~ оо (Т = Тг). Это уравнение решается с граничными условиями 1-го рода: при х = О Т = Т„,; при х = б Т = Т,. Введем новую переменную Ф, заданную уравнением ыФ нт — = Х вЂ”. Ых Ес ' (2.136) Тогда уравнение теплопроводности (2.135) примет вид РФ вЂ” =О, (2.137) нх' С,= (2.141) С,=Ф,. (2. 142) Удельный тепловой поток (плотность потока) определяется законом Фурье дТ о= — Х— дх которое с учетом (2.136), (2.139) и (2.!41) примет вид йФ, ш~ — язв тх " 6 (2.

143) Лля определения разности (Ф, — Ф,) уравнение (2.136) проинтегрируем в пределах х от О до 6: ') — г(х = ) Х вЂ” „г(х, (2.144) откуда Фз — Фд = ~ Хх(Т. г Подставляем выражение (2.145) в формулу (2.!43), имеем В1 6 (2. 146) 55 Уравнение (2.13?) решается с граничными условиями: прих=О Ф=Ф,; прих=б Ф=Ф,, (2. 138) Проинтегрируем уравнение (2.137) два раза: — = С6 сЮ (2.! 39) Их Ф = С,х+ С,.

(2.140) Для определения констант С, и С, воспользуемся граничными условиями (2.138): Преобразуем выражение (2.146): г, д= — ., ~ ЛЫТ (Тт — Т ). т, Обозначив г 1 мт шт (2.147) окончательно получим Лср д= — (Т, — Т,), (2. 148) АТ 1 нт Л вЂ” = сопИ или Л ~ — ~ =- сопз1. ох ~ ох Это значит, что прн уменьшении Л должна увеличиваться по пт Т модулю производная —, т. е. расти круЫх тизна кривой Т (х) (см. рис, 2.23, поз. 2). В случае, когда Л уменьшается с ростом Т, распределение температуры в плоской стенке описывается кривой (см.

рис. 2.23, поз. 3). Рнс. 2 23. Температурное попе и пластине прн переменном ноаффнцненте тмтнопроаодноетн (А =а+ ЬТ): .т т-ь о;т — ь>оге — ь<о которая совпадает по форме с соотношением (2.26), полученным для плоской стенки в случае Л =- сопз1. Из этого результата следует важный вывод: полученные формулы расчета теплопроводности при постоянном Л могут быть распространены и на случаи, когда Л =- Л (Т), если в эти соотношения подставить среднее значение коэффициента теплопроводности Л,, определенное по формуле (2.!47).

На рнс. 2.23 показано распределение температуры в плоской стенке прн различных зависимостях Л = Л (Т). Распределение температуры при Л = сопз1 дано на графике (см. рис, 2.23, поз. !). Рассмотрим теперь случай, когда коэффициент теплопроводности Л растет с увеличением температуры.