Глава II. Теплопроводность при стационарном режиме (Под общ. ред. академика В.С.Авдуевского и проф. В.К.Кошкина - Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике), страница 5

КРИТИЧЕСКИЙ ДИАМЕТР ТЕПЛОВОЙ ИЗОЛЯЦИИ ТРУБОПРОВОДА На практике часто возникает необходимость уменьшить теплопередачу между средой, движущейся по трубопроводу, и окружающим трубопровод пространством. Эта необходимость может быть связана как со стремлениями уменьшить потери тепла горячего теплоносителя, передаваемого по трубопроводу от одного агрегата к другому (в этом случае тепловой поток направлен от трубы в окружающую среду), так н сохранить в заданном фазовом состоянии криогенное рабочее тело, например сжижснный газ при подаче его из баков.

В этом случае следует уменьшить поток тепла из окружающей среды внутрь трубопровода и предотвратить возможность вскипання жидкости. В обоих случаях внутренний диаметр трубопровода з(з, как правило, задается исходя из потребного расхода, а толщина стенок (!(з — !(!)/2 и материал (Х!) трубопровода определяются из расчета на прочность.

Температуры внутренней и внешней сред Тм и Тьо а также соответствующие коэффициенты теплоотдачи а, и а, также полагаем заданными. Рассмотрим, как будет изменяться полное термическое сопротивление трубы при нанесении на ее внешнюю поверхность слоя тепловой изоляции (рис. 2.15), коэффициент теплопроводности которой Х„, = Хз задан выбранным нами теплоизоляционным материалом (асбест, фторопласт, пенопласт и др.).

Согласно выражению (2.58) для двухслойной трубы можно записать йд = = — + — 1п — '+ — 1п — ' -1- —, (2.60) пз ! !1з Кд азд! 2Х! й! 2дз 4~з азиз ' где 4 — внешний диаметр трубы со слоем изоляции. В выражении (2.60) от толщины слоя изоляции (диаметра Лз) зависит два последних слагаемых. Термическое сопротивление теплопроводности изоляции 1п (4~4)Д2Х,) растет с увеличением толщины теплоизоляционного покрытия, а термическое сопротивление теплоотдачи 1Яа,б,) уменьшается, что связано с увеличением поверхности тсплоотдачи при увеличении внешнего диаметра трубы с(ю Очевидно, что при таком характере изменения двух слагаемых выражение (2.60) может иметь экстремум.

Исследуем на экстремум функцию Р ~д,. Приравняем нулю первую производную от равенства (2.60) по ~(,: Из полученного уравнения найдем значение внешнего диаметра Й„при котором Рч принимает экстремальное значение: й„ч, = 2Х,(~,. (2.61) Важно отметить, что критическое значение й не зависит от внешнего диаметра изолируемого трубопровода с(„а определяется лишь коэффициентом теплопроводности выбранного теплоизолятора ), и коэффициентом теплопередачи с внешней поверхности трубы а,. Для того чтобы определить, является ли термическое сопротивление Яч при с(а = Йгя максимальным или минимальным, найдем знак второй производной от Йч по Й, в данной точке (с(з = = Й„р). Для этого подставим в выражение критическое значение диаметра (2.61). Тогда Это означает, что при с(, = д„р полное термическое сопротивление системы Рц минимально (рис.

2.!6). Следовательно, если диаметр изолируемой трубы с(,'больше 4р, найденного для выбранного изоляционного материала (Х,) и Условий теплообмена с окружающей средой (2.61), то покрытие трубы слоем такой изоляции уменьшит теплопередачу через 39 Рис. 2.16. Кривые изменения козффициентов полного термического сопротивления и теплопередачн в зази. симости от внешнего диаметра изоляции цилиндрическую стенку. В случае же, когда с(з < с(„р нанесение на поверхность трубы выбранного изолятора первоначально приведет к возрастанию теплопередачи, и лишь после того, как наружный диаметр достигнет и превысит критическое значение, тепловой поток через стенку начнет убывать, затем станет равным исходной величине, которая была при отсутствии слоя изоляции, н лишь затем станет меньше ее.

Тогда следует попытаться подобрать другой теплоизоляционный материал и (или) сделать многослойную изоляцию так, чтобы Х,в, ) Х„и, если это не удастся, пойти на снижение теплопередачи путем значительного увеличения толШины нзоляционногО слоя (с1а )) (яр) 2.7. ШАРОВАЯ СТЕНКА Рассмотрим пространственно одномерную стационар. ную задачу теплопроводиостн в шаровой стенке с радиусами внутренней и внешней поверхности г, и г, (рис. 2.17) и коэффициентом теплопроводности материала стенки Х.

Одномерность задачи означает, что распределение температуры в стенке зависит только от радиуса, а потому основное дифференциальное уравнение теплопроводности в сферической системе координат 1см. выражение (2.18) ) примет вид йТ 2 оТ (2.62) йТ По аналогии с принятым в равд. 2.6, обозначим — „через и. йи 2 йи 2иг Тогда — = — — и или — = — — откуда после интегри- Йг и рования 1пи = — 21пг+ С (2.63) или йТ С д~ где 1п С, = С. После повторного интегрирования получим Т (г) = — С,/г+ С,.

(2.64) Это и есть искомое решение уравнения (2.62). Отметим, что здесь в силу тех же Рис. 2.17. Схема распределения температуры в шаро. вой стенке 40 (2.65) ТЮ2 + Сз с, т. е. С т — т ° 1/г, — 1/г, (2.66) После подстановки этих констант в выражение (2.64) получим т ( ) т (1/1 1/г2) + т 1 !1/г1 1/г) 1/г1 — 1/г~ (2.6?) В стационарной задаче полный тепловой поток 1;1= — Х вЂ” 4пг лт й. не зависит от радиуса, так как общее количество тепла, проходящее в единицу времени через нзотермическую поверхность, какой здесь является любая сфера с радиусом г, ~( г ~( г„должно быть одинаково при любом г. Используя выражения (2.63) и (2.66), получим (2.68) Для многослойной шаровой стенки в случае граничных условий 1-го рода методами, изложенными в равд.

2.7, 2.8, легко получить следующее выражение для теплового потока: 4я (т„~ — Т,„1„+!!) (2.69) я ~» 1/Х! (1/г! — 1/г! „1) 1=! где Х! и г! — коэффициент теплопроводности и внутренний радиус 1-го слоя. Распределение температур внутри 1-го слоя шаровой стенки определяется соотношением (2.67) с заменой Т„„Т„„г, и г, на т, Т !вы1, г! и гкь~ соответственно. Задачи о теплопроводности однослойной и многослойной шаровых стенок с граничными условиями 3-го рода решаются анало- 4! причин, что и в случае цилиндрической трубы (см.

равд. 2.6), распределение температуры нелинейно. Однако в отличие от трубы это распределение представляет собой гиперболу. В случае граничных условий 1-го рода, когда заданы температуры внутренней Т , и наружной Т, поверхностей шаровой оболочки, постоянные интегрирования С, и С, определяются из системы уравнений т,= с+с,;. г1 гично тому, как это делалось в равд. 2.7 и 2.8, а потому здесь не рассматриваются. Получить соответствующие решения предлагается читателю самостоятельно.

(2.71) Составляя тепловой баланс для элемент! стержйи, получим Ох Яхен» ей~~, (2.73) — )с ( — „) Е+ Х ( — ) Р' сии!йх. (2.74) 42 2.8. СТЕРЖЕНЬ БЕСКОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ Рассмотрим стационар- Т ную задачу о теплопроводности стержня бесконечной длины (рис. 2.!8). Температура одного конца стержня поддерживается Рис. 2П8, Схема тенлсигоиоднссти постоянной равной Т,. Стержень стержни бесконечной длины омывается средой с постоянной температурой ТР Коэффициент теплоотдачи от стержня к среде ст вдоль всей его боковой поверхности будем считать постоянным. Коэффициент теплопроводности материала стержня Х предполагается достаточно большим, а поперечные размеры стержня по сравнению с длиной настолько малыми, что изменением температуры в нем можно пренебречь. Температура стержня Т, таким образом, считается функцией только одной координаты: Т =- 7 (х). Разность между местной температурой стержня и температурой окружающей среды Т (х)— — тт обозначим чеРез !й (х).

В начальной точке стеРжнЯ (х = =О)т,— т =о,. Рассмотрим тепловое равновесие элемента стержня, удаленного от его начала на расстояние х, имеющего длину с(х, площадь поперечного сечения Г и периметр сечения У. Количество тепла, входящее в рассматриваемый элемент стержня через сечение 1 — 1 за единицу времени, согласно закону Фурье д„= — л('„~) р. (2.70) Аналогичная величина в сечении 11 — 11, располодхенном на расстоянии (х+ с(х) от начала стержня, будет Согласно закону Ньютона (2.18), боковой поверхностью стержня (х + с!х) будет отдано количество тепла Й~ = аО У с(х. (2.72) ° ° Принимйя во внимание, что (Щ)ак) „ь — (НЕ)йт)к Д10 (2.75) получим (2.76) Вводя обовивиенне (2.77) аУ ля 1 находим 2 (2.

78) Решение полученного линейного дифференциального уравнения второго порядка можно представить в общем виде: Е =- С„еа" + С,е — в . (2.79) Постоянные С, и С, могут быть найдены с помощью граничных условий: при х = 0 6 .= С, = С, + С,; при х -~ со О .=- 0 = = С,е". Последнее равенство выполняется только прн условии С, = О, следовательно, С, = О, и О =- О,е — а". (2.80) !(оличество тепла, отдаваемое всей боковой поверхностью стержня, можно получить как тепловой поток, вхеднщнй в стержень через его основание р, — — лр( — '," ) (2. 81) Так как согласно равенству (2.80) ~ — ) = ))9„ г ~й,) л ых )~о то ~9, = ЛЕ~В, (2.82) или а,=- ~,) «иж (2.83) р = 2 ~/ —; (2.84) а=, В,~Л=~.

яН (2.85) 43 Если теплоотдача от стержня к среде идет не по всей поверхности стержня, то под величиной у надо понимать ту часть периметРа сечения, по которой осуществляется теплообмен. для стержня круглого сечения с диаметром Й при теплоотдаче по всей поверхности получим 2.9. СТЕРЖЕНЬ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЪ| (2.87) получим — ) = (ЗС|ез — /)Сз з = О. По ураинен4)ям (2.86) и (2.88) найдем С, (еас + е — Зс) — О,е — зь = О, (2.88) (2. 89) откуда — зс — ~У. ,е ~ е а еас 1 — Зс 2 сь (()С) ,зс еас — С, = 6, 1 —,зь+ — ес ) = '9' 2сь(р|.) . (2.91) найденные значении С, и Са в уравнение (2.79) гиперболическим функциям е, получим са = ' (ез"е-зс +е-з"езс) О, 2 сь (РЕ) (2.92) (2.90) С = |9, Подставляя и переходя к или — — 6 ( )1 ' (2.93) 2 сь (()Е) .

сн ЙН ) е Напомним, что сн (х) = (е*+ е *)!2; ад (х) (е» вЂ” е-а))2. |Ь (х) = аь (х)/сн (х). 44 Если длина стержня конечна, то температура на его конце не будет равна температуре окружающей среды, а потому выведенные выше формулы не будут справедливы. Пусть длина стержня равна 1., а превышение температуры холодного конца стержни над окружающей средой — Оь.