Тема 9. Модуляция и демодуляция (Материалы лекций), страница 4

(4.19) 4.8 Литиктиоониыии сысниив и сиесслиим иииви 20й Здесь о,' — дисперсия шума. На рис. 4.9 правая функция правдоподобия р(ф,) иллюстрирует вероятностное распределение сигналов иа выходе детектора г(Т) при переданном сигнале хн Подобным образом левая функция правдоподобия р(грг) демонстрирует вероятностное распределение сигналов на выходе детектора г(т) при переданиом сигнале хг. Абсцисса -(Т) представляет полный диапазон возможных значений выборок на выходе корреляциоииого приемника, показанного иа рис.

4.8. Линия решений Н, у, =О. Н, (4.20,а) 1 выбрать сигнал х,(г), выбрать сигнал н(г) если г, Щ > гзЩ в противном случае (4.20,б) 4.4. Когерентное детектирование 4.4.1. Когерентное детектирование сигналов РВК На рис. 4.7 показан детектор, который может использоваться для когерентного детектирования любого цифрового сигнала. Подобный корреляционный детектор часто называется детектором, работающим оо критерию максимального лравдооодобия (шах(шиш !1(ге11пооб г(е1есгог). Рассмотрим следуюшую бинарную модуляцию РЗК (ВЕК).

Пусть Н(г) 1 — сов(оха+ф) О < г < Т Ж з( Т (4.21,а) 12Е я (Г) о ( — СОБ(ГОфеф+К) = 1( Т Г2Е =-~ — соз(гоег+ф) 0<г<Т т(Т (4.21,б) я(г) — случайный белый гауссов процесс с нулевым средним. Здесь фазовый член ф — произвольная константа, которую мы для удобства положим равной нулю. Параметр Š— это энергия сигнала, приходящаяся на символ, а Т вЂ” длительность символа. Для данного антиподного случая требуется одна базисная функция.

Используя формулы (3.10) и (3.11) и предполагая пространспю ортонормированным (т.е. К = 1), базисную функцию ~,(г) можно выразить слелуюшим образом: Г2 т,(г) = х) — соз озог для 0 < г < Т. )1 Т (4.22) Здесь а1 — сигнальный компонент г(7) при передаче е(г), а а, — сигнальный компонент г(Т) при передаче о(г). Порог у,, равный (а, + а,Д, — это олтимальиый порог для минимизации вероятности принятия неверного решения при равновероятных сигналах и симметричных функциях правдоподобия. Правило принятия решения, приведенное в формуле (4. 19), указывает, что гипотеза Н, (решение, что переданный сигнал — это Л(г)) выбирается при гЩ>у,, а гипотеза Нг (решение, что переданный сигнал — это г,(г)) — при .(7) < уь Если г(Т) =ух решение может быль любым.

При равновероятных антиподных сигналах с равными энергиями, где г,(г) =-Н(г) и а, =-а„оптимальное правило принятия решения принимает следуюший вид: где не(2) — компонент шума. Для сокрашения записи мы иногда будем выражать г(г) как а, + л,. Компонент шума ле — это гауссова случайная лергменная с нулевым сред- ним; следовательно, г(Т) — это гауссова случайная переменная со средним а, или а,, в зависимости от того, была передана двоичная единица или двоичный нуль. 4.3.2.1. Порог двоичиого решения На рис. 4.9 для случайной перемеииой г(Т) показаны две плотности условных вероятиостей — р(ф,) и р(фг) — со средними значениями а, и аь Эти функции, имеиуемые лраодолодобием х, и лравдолодоойеи х„были представлены в разделе 3.1.2.

Приведем их повторно: (4.18,а) и г 1 ~ 1(г-аг ) р(4вг) = ехр — — ( ) оот(2я ~ 2 оо (4.18,б) г(г) в1 +аз го = — = о г Рис. 4.9. Плотности условных вероятностей р(4х~) и РЯг) При рассмотрении задачи оптимизации порога двоичного решения относительно принадлежиости принятого сигнала к одной из двух областей, в разделе 3.2.1 было показано, что критерий минимума ошибки для равиовероятных двоичных сигналов, искажеииых гауссовым шумом, можно сформулировать следующим образом: и, г(Т) ~ ~— '' = у,.

(4.19) 4.8 Литиктиоониыии сысниив и сиесслиим иииви 20й Здесь о,' — дисперсия шума. На рис. 4.9 правая функция правдоподобия р(ф,) иллюстрирует вероятностное распределение сигналов иа выходе детектора г(Т) при переданном сигнале хн Подобным образом левая функция правдоподобия р(грг) демонстрирует вероятностное распределение сигналов на выходе детектора г(т) при переданиом сигнале хг. Абсцисса -(Т) представляет полный диапазон возможных значений выборок на выходе корреляциоииого приемника, показанного иа рис. 4.8. Линия решений скольку модулятор/демодулятор является дифференциальным, для нашего примера (г = 2 получаем следующее: (4.72) афь=2 Фь=з Фь-"ь Будем считать, что в предыдущий момент времени 1= 1 демолулятор правильно определил, что фаза сигнала равна к.

Тогда из формулы (4.72) можем получить следующее: (4.73) У~к = з = 5я(4 — я = х(4. Вернувшись к таблице модуляции на рис. 4.23, видим, что данной фазе соответствует информационная последовательность х,узгз = 001, что совпадает с данными, послан- ными в момент времени к = 2. 4.7. Вероятность ошибки В бинарных системах 4.У.1. Вероятность появления ошибочного бита при когерентном детектировании сигнала ВРЗК качества вследствие внесеннои каналом или схемои межсимво Как показывалось в разделе 4.4.1, антиподные сигналы гч(г) и одномерном сигнальном пространстве, где и ()= (еу () 1, Обе > Т. гз(г) =- ГЕц,(г)) (4.74) Детектор выбирает й(г) с наибольшим выходом коррелятора о(Т); или, в нашем случае антиподных сигналов с равными энергиями, детектор, используя формулу (4.20), при- нимает решение следующего вида: и г1(г), еслих(Т) >уь =0 (4.75) ьз(г) пря других г(Т) Как видно из рис.

4.9, возможны ошибки двух типов: шум так искажает переданный сигнал п(г), что измерения в детекторе дают отрицательную величину г(7), и де- Важной мерой производительности, используемой для сравнения цифровых схем модуляции, является вероятносп ошибки, Ра Для коррелятора или согласованного фильтра вычисление Р, можно представить геометрически (см. рис. 4.б). Расчет Р, включает нахождение вероятности того, что при данном векторе переданного сигнала, скажем а„вектор шума и выведет сигнал из области !. Вероятность принятия детектором неверного решения называется вероятностью символьиой ошибки, Рг (когда М > 2).

Несмотря на то что решения принимаются на символьном уровне, производительносп системы часто удобнее задавать через вероятность битовой ошибки (Р,). Связь Р, и Р, рассмотрена в разделе 4.9.3 дяя ортогональной передачи сигналов и в разлеле 4.9.4 для многофазной передачи сигналов. Для удобства изложения в данном разделе мы ограничимся когерентным детектированием сигналов ВРБК. В этом случае вероятность символьной ошибки — это то же самое, что и вероятность битовой ошибки.

Предположим, что сигналы равновероятны. Допустим также, что при передаче сигнала б(г) ((= 1, 2) принятый сигнал г(г) равен е(г) + л(г), где л(г) — процесс А%ОХ; кроме того, мы пренебрегаем ухудшением льной интерференции. о(г) можно описать в тектор выбирает гипотезу Нхг что был послан сигнал хх(/). Возможна также обратная ситуация: шум искажает переданный сигнал хь(/), измерения в детекторе дают положительную величину с(7), и детектор выбирает гипотезу /7„соответствуюцгую предположению о передаче сигнала хн В разделе 3.2.1.1 была выведена формула (3.42), описываюшая вероятность битовой ошибки Рь лля детектора, работающего по принципу /вини/калькой вероятности ошибки; (4.76) Здесь пь — среднеквадратическое отклонение шума вне коррелятора.

Функция (7(х), называемая гауссовыи интегралов ошибок, определяется следующим образом: (7(Х) = — ~ехр~ — — ~ /(и. /2х я2 (4.77) Рв = — ехр~ — — ~ /ги = ,(2к п). 2,) зеь/иь (4.78) =(Ю (4.79) Данный результат для полосовой передачи антиподных сигналов ВР5К совпадает с полученными ранее формулами для детектирования антиподных сигналов с использованием согласованного фильтра (формула (3.70)) и детектирования низкочастотных антиподных сигналов с применением согласованного фильтра (бюрмула (3.7б)). Это является примером описанной ранее теоремы эквивалекткости. Для линейных систем теорема эквивалентности утверждает, что на математическое описание процесса детектирования не влияет сдвиг частоты.

Как следствие, использование согласованных фильтров или корреляторов для детектирования полосовых сигналов (рассмотренное в данной главе) дает те же соотношения, что были выведены ранее для сопоставимых низкочастотных сигналов. Пример 4.4. Вероятиосзь битовой ошибки прп передаче сигналов ВРВК г)лйлите вероятность появления ошибочного бита в системе, используюшей схему ВРьь и скорость 1 Мбит/с.

Принятые сигналы г,(/) = А сох о)ь/ н т(/) = -А сох о)а/ де)ектнру)отел 237 4.7. Вероятность ошибки в бинарных системах Эта функция подробно описывается в разделах 3.2 и К3.2, Для передачи антиподных сигналов с равными энергиями, таких как сигналы в формате ВЕК, приведенные в выражении (4.74), на выход приемника поступают следуюшие компоненты: а, =,(Еь, при переданном сигнале х,(/), и аз = — )~Еь, при переданном сигнале х,(/), где Еь — энергия сигнала, приходящаяся на двоичный символ. Для процесса А%х/1) дисперсию шума пь' вне коррелятора можно заменить )Уь/2 (см, приложение В), так что формулу (4.7б) можно переписать следующим образом: когереитно с использованием согласованного фильтра.

Величина А равна 10 мВ. Однополосную спектральную плотность шума считать равной )тн = 10 " Вт/Гц, а мощность сигнала и энергию на бит — нормированными на ! Ом. Решение А= ~ — =10 В Т= — =10 с ~2Еь з 1 '1' т )г Следовательно, Еь — — — Т=5х 10 Дж и — =3,16, А и Ж.', 2 )уо Р =(с ~= (3,1 ( )2Ец ~! )уо Используя табл. Б.! или формулу (3.44), получаем следующее: Р =8х10 4.7.2. Вероятность появления ошибочного бита при когерентном детектировании сигнала в дифференциальной модуляции ВРЗК Сигналы в канале иногда инвертируются) например, при использовании когерентного опорного сигнала, генерируемого контуром ФАПЧ, фаза может быть неоднозначной.