Тема 9. Модуляция и демодуляция (Материалы лекций), страница 3

Сигнал описывается формулой э(г) = А соз саг, (4.11) где А — максимальная амплитуда сигнала. Поскольку максимальное значение в /2 раза больше его среднеквадратического (гоог-щеап-зг(оаге — ппз) значения, можем записать следующее: в(г) = ч'2А соз оя = = З/2Аии соз ои . Предполагается, что сигнал выражен через колебания тока или напряжения, так что А представляет среднюю мощность Р (нормированную на 1 Ом).

Значит, можем записать следующее: х(г) = ЙР соз Ом . (4.12) Заменяя Р (единицы измерения — ватт) на Е (джоули)/Т (секунды), получаем следующее: 12Е э(г) = ~ — сезон. 11 т (4.13) Итак, амплитуду сигнала можно записать либо в общем виде, как в формуле (4.11), либо через з(2ЕIТ, как в формуле (4.13). Поскольку ключевой параметр при определении вероятности ошибки в процессе детектирования — это энергия принятого сигнала, зачастую удобнее использовать запись в форме (4.13), так как в этом случае вероятность ошибки Р, можно получить сразу как функцию энергии сигнала. 4.3. Детектирование сигнала в гауссовом шуме Я04 Гииия 4 Полосовав моачляция и пемопчляция Паласовая модель процесса детектирования, рассмотренная в данной главе, практически идентична низкочастотной модели, представленной в главе 3. Дело в том, что принятый полосовой сигнал вначале преобразовывается в низкочастотный, после чего наступает этап финального детектирования.

Для линейных систем математика процесса детектирования не зависит от смешения частоты. Фактически теорему эквивалентности можно определить следующим образом: выполнение полосовой линейной обработки сигнала с последующим переносом частоты сигнала (превращением полосового сигнала в низкочастотный) дает тс же результаты, что и перенос частоты сигнала с последующей низкочастотной линейной обработкой сигнала.

Термин "перенос частоты сигнала" (Ьегегобуп!пя) обозначает преобразование частоты или процесс смешивания, вызывающий смещение спектра сигнала. Как следствие теоремы эквивалентности, любая линейная модель обработки сигналов может использоваться для низкочастотных сигналов (что предпочтительнее с точки зрения простоты) с теми же результатами, что и для полосовых сигналов.

Зто означает, что производительность большинства цифровых систем связи часто можно описать и проанализировать, считая канал передачи низкочастотным. 4.3.2. Корреляцмонныйприемник В разделе 3.2 было рассмотрено детекти лов в гауссовом шумс. Поскольку при детектировании паласовых сигналов используются те же понятия, в данном разделе мы просто обобщим ключевые результаты. Основное внимание будет уделено реализации согласованного фильтра, известного как коррелятор. Помимо двоичного детектирования будет рассмотрен более общий случай М-арного детектирования.

Предполагается, что сигнал искажается только вследствие шума А%ОХ. Принятый сигнал будем описывать как сумму переданного сигнала и случайного шума: (4.14) Кг)=п(г)+п(0 0<гйт 1=1,...,М. При наличии подобного принятого сигнала процесс детектирования, как показано на рис. 3.1, включает два основных этапа. На первом этапе принятый сигнал г(г) усекается до адней случайной аеременнай:(Т) или до набора случайных переменных г.,(7) (1= 1, ..., М), формируемых на выходе демодулятора и устройства дискретизации в момент времени г = Т, где Т вЂ” длительность символа. На втором этапе на основе сравнения гЩ с порогом или на основе выбора максимума:,(Т) принимается решение относительно значения символа.

Вообще, этап 1 можно рассматривать как преобразование сигнала в точку в пространстве решений. Эту точку, представляющую собой важнейшую контрольную точку в приемнике, можно назвать додетекторной (ргеде1есцоп ро1пг). Когда мы говорим о мощности принятого сигнала, мощности принятых шумов или отношении Е~Хы все эти величины всегда рассматриваются относительно додетекторной точки. Иногда такие параметры определяются относительно выхода принимающей антенны. Отметим, что хотя мощности сигнала и шума в разных точках системы имеют различные значения, параметр БАК можно смоделировать так, чтобы он был одинаковым в различных опорных точках (см, раздел 5.5.5).

Обратите внимание, что отношение энергии бита к й; определена там, где еще не существует бита. Биты появятся только после завершения процесса детектирования. Пожалуй, параметр Е~/7(, лучше было бы назвать энергией эффективного бита на бы Этап 2 можно рассматривать как определение того, в какой области региений расположена данная точка. Для оптимизации детектора (в смысле гяинимизации вероятности ошибки) необходимо оптимизировать преобразование сигнала в случайную переменную с использованием согласованных фильтров или корреляторов на этапе 1 и оптимизировать критерий принятия решения на этапе 2. В разделах 3.2.2 и 3.2.3 показывалось, что согласованный фильтр обеспечивает максимальное отношение сигнал/шум на выходе фильтра в момент г= Т. Как одна из реализаций согласованного фильтра описывался коррелятор.

Теперь мы можем определить корреляционный приемник, состоящий, как показано на рис. 4.7, а, из М корреляторов, выполняющих преобразование принятого сигнала Кг) в последовательность М чисел или выходов коррелятора, б(?) (1= 1, ..., М). Каждый выход коррелятора описывается следующим интегралом произведения или корреляцией с принятым сигналом: Опорные сигналы е1(т) цт) ейб+ п(т) ь(т) Оперные сигналы яп(т) Схема принятия цт)= хт) Мг) б) Рис. 4.7.

Корреляционный приемник: а) корреляционный приемник с опорными сигналаии (лйт)); б) корреляционный приемник с опорными сигналами (Ч~т(тй Глагол "коррелировать" означает "совпадать", "согласовываться". Корреляторы пытаются найти соответствие принятого сигнала г(г) с клждглм возможным сигналом- прототипом л,(г), известным приемнику априори.

Разумное правило принятия решения звучит так: выбирать сигнал л,(г), лучше всего согласующийся (или имеющий наибольшую корреляцию) с г(г). Другими словами, правило принятия решения выглядит следующим образом: выбрать сигнал б(г), индекс которого соответствует максимальной г,(7). (4.1б) а Ч Лптпитиппипммп гмгмппи и гпигпонпМ И!ими 207 Слелуя формуле (3.10), любой набор сигналов (г(с)) В = 1, ..., М) можно выразить через определенный набор базисных функций (цт(г)) (ты 1, ..., )т), где )У<М. Таким образом, гРуппу из М коррелвтороа, изображенную на рис.

4.7, а, можно заменить группой из тт' корреляторов, показанной на рис. 4 7, б, где в качестве опорных сигналоа исгюльзуется набор базисных функций (тр(с)). для принятия решения с помощью указанных корреляторов необходима логическая схема выбора сигнала л(г). Выбор производится на основе определения наилучшего согласования коэффициентов а„, фигурирующих в формуле (3.10), с набором выходов (т(7)). Если набор сигналов-прототипов (г(г)) формирует ортогональное множество, реализация приемника, показанная на рис.

4.7, а, идентична реализации, показанной на рис. 4.7, 6 (могут отличаться масштабом). Если же (вйг)) не является ортогональным множеством, приемник (рис. 4.7, 6), используюший гч' корреляторов с опорными сигналами (г)г(г)) вместо г)4, представляет более рентабельную реализацию. В разделе 4.4.3 мы рассмотрим применение подобного устройства для детектирования МРВК- модулированного сигнала (пш11!р1е р)тазе зЫй )геу)пй — многофазная манипуляция). В случае двоичного детектирования корреляционный приемник, как показано на рис. 4.8, а, можно построить как согласованный фильтр или интегратор произведений с опорным сигналом, равным разности двоичных сигналов-прототипов л,(г) — л,(г). Выход коррелятора г(7) используется непосредственно в процессе принятия решения. Опорный сигнал в1(г) — ве(г) Схема принятия а) Опорные сигналы в~(г) вб(г) г(г) б) Рис.

4.8. Двоичный корреляционный приемникг о) использовоние одного корреляторе; 9 применение двух корреляторов х(7) г!(7) хт(7) (4.17) как показано на рис. 4.8, б. Здесь г(Т), называемое тестовой статистикой, подается в схему принятия решения, как и в случае только одного коррелятора. В отсутствие шума на выходе мы получаем г(Т) = а,(7), где а,(Т) — сигнальный компонент. Входной шум п(Т) при этом является случайным гауссовым процессом. Поскольку коррелятор — это линейное устройство, выходной шум также является случайным гауссовым процессом [2]. Таким образом, можно записать выражение с выхода коррелятора в момент взятия выборки г = Т: е(Т) = а,(Т) + пс(7) г' = 1, 2, опя Г л гт а и При двоичном детектировании корреляционный приемник можно изобразить как два согласованных фильтра или интегратора произведений, один из которых согласовывается с й(г), а второй — с ве(г) (рис.

4.8, й). На этапе принятия решения теперь может использоваться правило, приведенное в формуле (4.16), или же из выхода одного коррелятора можно вычесп выход другого и на этапе принятия решения использовать разносп где не(2) — компонент шума. Для сокрашения записи мы иногда будем выражать г(г) как а, + л,. Компонент шума ле — это гауссова случайная лергменная с нулевым сред- ним; следовательно, г(Т) — это гауссова случайная переменная со средним а, или а,, в зависимости от того, была передана двоичная единица или двоичный нуль. 4.3.2.1.

Порог двоичиого решения На рис. 4.9 для случайной перемеииой г(Т) показаны две плотности условных вероятиостей — р(ф,) и р(фг) — со средними значениями а, и аь Эти функции, имеиуемые лраодолодобием х, и лравдолодоойеи х„были представлены в разделе 3.1.2. Приведем их повторно: (4.18,а) и г 1 ~ 1(г-аг ) р(4вг) = ехр — — ( ) оот(2я ~ 2 оо (4.18,б) г(г) в1 +аз го = — = о г Рис. 4.9. Плотности условных вероятностей р(4х~) и РЯг) При рассмотрении задачи оптимизации порога двоичного решения относительно принадлежиости принятого сигнала к одной из двух областей, в разделе 3.2.1 было показано, что критерий минимума ошибки для равиовероятных двоичных сигналов, искажеииых гауссовым шумом, можно сформулировать следующим образом: и, г(Т) ~ ~— '' = у,.