Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин, страница 14
Описание файла
DJVU-файл из архива "Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "моделирование эвм и систем" из 9 семестр (1 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр DJVU-файла онлайн
Распознанный текст из DJVU-файла, 14 - страница
Считая, что анодный ток зависит тольио от сеточного напряжения иг — — и (ато достаточно хорошо выполняется для триодов с большим козффициентом усиления), будем иметь Йа с)и а'и — — — — =Я (и)— Й с)и ссс ас ГЛ. П. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА и внесем это выражение для Я (и) в проиаводную У: 1 — ьз (ВС вЂ” МЯо) ~з+..., (2.58) где точками обозначены члены, содержащие л и 1 в степени выше второй, а Яо = Я (0).
При достаточно малых по модулю значениях к и 1 проиаводная У будет не знакоопределенной, а только знакопостоянной функцией переменных ни б Поэтому, пользуяоь выбранной фунцией У (2.54), мы не можем применить теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости и неустойчивости движения. Неприыеннма к ней и теорема Чатаева о неустойчивости движения. Воспольауемся теоремами Красовского. В иачестве многообразия К возьмем совокупность точек, для которых и + О, 1 = 0 (на плоскости (8 и) это ось и). Покажем, что многообразию К не принадлежат целые траектории системы. Для этого внесем в уравнение движения (2.53) значения пеземенных 1 н и, определяющих К, При 1 = 0 н и + 0 зги уравнения ярнмут вид яв — =О и=О что неаовможно, так как на К и + О.
Рассмотрим теперь два случая: ВС вЂ” МЯ,>О, (2.59) ЛС вЂ” МЯ, ~ О. (2.60) Если параметры системы удовлетворяют нерааенству (2,59), то будут выполнены все условия теоремы Н. Н. Красовского об асиыптотической устойчивости 9 2.3. Действительно, функция У определеино-положительна, а ее производная У, согласно равенству (2.58) и соотношению (2.59), отрицательна вне К и равна нулю на К (1= О, и ~ 0).
Поэтому равновесное состояние системы 1 ~ = О, и = 0 будет асимптотически устойчиво относительно тока 1 и напряжения и. Пусть теперь параметры системы удовлетворяют соотношению (2.60). Тогда будут выполнены все условия теоремы Н. Н. Красовского о неустойчивости движения $2.4. Действительно, функция У может принимать положительные значения (она определенно-положительна), а ее проиаводная У, согласно (2.58) и (2.60), положительна вне К и равна нулю на К.
Следовательно, равновесное состояние системы 1= О, и = 0 неустойчиво. Таким образом, при выполнении условия (2.59) равновесное состояние системы асимптотически устойчиво относительно тона 1 и напряжения и, а прн аыполненни условия (2.60) равновесное состояние системы неустойчиво. Случай ВС = МЯ, требует дополнительного исследования, но практичоского интереса он не представляет, так как при небольшом нарушении этого условия (что всегда возможно, ибо все элементы системы изготовляются с определоннывш допусйами) получится неустойчивая нли асямптоткчески устойчивая система.
В $4.5 разобранныи здесь пример будет решен другим, более простым методом. Пример 4. Устойчивость равновесна системыы с одной степенью свободы, находя- д зп. пРимеРы НА Асимптптическую устОйчиВОсть 75 где М вЂ” приведенная масса системы, предполагаемая постоянной, м — постоянный коэффициент, а ю — положительное целое число, не ыеньшее двух (т )~ 2). Считая, что, помимо потенциальной силы, на систему действует сила сопротивления, пропорциональная первой степени скорости, составим уравнение возмущенного движения (за невозмущеиное движение принимается состояние покоя, при котором д = О, д= О): д дТ дТ дП 62 дф дд — дд где р — положительная постоянная, характеризующая силу со.
ротивления. Учитывая значения Т и П, получим Мд = — мдю — рд (2.62) Положим а = гы д = хз. В новых переменных уравнение (2.62) будет эквивалентно системе двух уравнений первого порядка Мгг — — — Рлг — Ях~, гз — — хм (2.62) причем по условию т ~ )2. В качестве функции Ляпунова возьмем полную механическую внергию 1 и У = Т + П = — М,'+ — „д "' 2 ' в+1 или, в новых переменных, 1, я У вЂ” — Млз + — хмы 2 2 т+1 2 (2.6е) Найдем полную производную по времени У = Мз,т, + мз'"Гз.
Внесем сюда значения 22 и вз Из УРавнений вовмущенного движения (2.63): У =- хг ( — Рз~ — клею) + мл'"Вы или, после упрощения, У = — рх. з 1 (2.65) Рассмотрим теперь возможные случаи. 1. Число н положительно (м)0), а число ю нечетное. Для этого случая У вЂ” определенно-полонсйтельная функция перемен- щейся под действием потенциальной не,аинейной силы и силы сопротивления, пропорциональной первой степени - скор о с т и. Обозначим обобщенную координату, отсчитьпаемую от положения равновесия, через о.
Будем 'считать, что кинетическая Т и потенциальная П энергии системы определяются равенствами м т= 2 м(', и=-,„( 1 ч"" (2.61) гл. и. пРямОЙ митод ляпунОВА ных х, и хз (т + 1 — число четное), а производная 1" — отрицательная функция относительно совокупности переменных х и х,. Согласно теореме Ляпунова об устойчивости движения, можно утверждать, что иевозмущениое движение устойчиво, но ые асимптотически. Теорему Ляпунова об асимптотической устойчивости применить нельзя, так как производная Р отрицательная, но ые определенно-отрицательная функция переменных .г и х., (прп х, =- О, хз чн 0 производная Р =- 0). Обратимся к теороме Барбашнна — Красовского.
Прежде всего, отметим, что функция Р, определенная равенством (2.64), удовлетворяет условию (2.16) 1(ш Р (хг, хз) = оо х ) Многообразие К получим, положив Р =- — )г з = О. Это ось хз (х, = О, х, 4= 0). Это многообразие не содержит целых траектории, так как ыа нем уравнения (2.63) прикипают вид —;~, '," = О, х, = О, / 1 к 61 ха ттг) '12' ч+т)1,з 1' (2.66) Очевидно, что хз При и) 0 и т четном функция Р может принимать положительные аначеыия (например, при х, = 0 и зе ( 0). На прежнеьг многообразии К (х, = О, х, чЬ О) проиаводная Р = О, а вые К производная Р > О. Кроне того, многообразию К ие принадлежат целые траектории системы.
Позтому выполнены все уоловия теоремы Н. Н. Красовского $2,4 и положение равновесия х, = ч = О, хе =- = о = 0 неустойчиво. 3. Число к отрицательно (к ( 0), а т — любое целое положительное число, не меяьшее двух (т ) 2). Функцию Р берем в форме (2.66). При любом целом т и к ( 0 функция Р может принимать положительные значения (например, пры хд = 0 и хз ( 0). Повторяя докааательство случая б), убеждаемся, что при х(0 положение равновесия ыеустойчиво. Таким образом, система асимптотически устойчива относительно ни д при к ) 0 ы т нечетном, Во всех остальных случаях она неустойчива. что ыевоаможно (на К перемеыная хз Ф 0).
Очевидно, что иа К производная Р = О, а вне К опа отрицательна. Таким обрааом, при сделанных предположениях (к >О, т — нечетное число), выполнены все условия теоремы Барбашииа — Красовского $2.3 и, следовательно, положение равновесия х = О, хз = 0 асимптотически устойчиво в целом при любых начальных возмущениях. 2. Число к положительно (к ) 0), а число т четное', Функциго Р определим теперь следующим образом: ГЛАВА П1 УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ И СХАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИИ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ $3Л. Теорема Лагранжа Рассмотрим механическую систему с голономными и стационарными связями, положение которой определяется г обобщенными независимыми координатами д„..., д,.
Как известно, в положении равновесия все обобщенные силы 0г такой системы равны нулю: а =О,...,а =О. (ЗЛ) Если обобщенные силы ~1г зависят от координат дг и скоростей дп то для определения положений, в которых система может находиться в~равновесии, достаточно внести в равенство (ЗЛ) значения д1 — — О и решить полученные уравнения относительно д„..., д,.
дП Для консервативных сил Дг = — — —, где 11 — потендд„' циальная энергия системы, и уравнения (ЗЛ) принимают вид (3.2) дт1 ' " ' ' дтз Решая зти уравнения относительно д„ ..., д„ найдем те значения обобщенных координат, при которых система может находиться в равновесии. Таких положений может оказаться несколько, причем в некоторых из них равновесие может быть устойчивым, а в некоторых неустойчивым. Так, например, простой маятник, подвешенный на стержне, имеет два возможных положения равновесия, из них в нижнем положении равновесие устойчиво, а в верхнем неустойчиво.