Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин, страница 13

Вольтова дуга представляет собой проводник, не подчиняющийся аакону Ома. На рис. 2.18 приведен график статической характеристики вольтовой дуги для установившихся режныов. В дальнейшем будем считать, что установленная этим графиком зависимость и = ф (>) мыкду током > и напряжением с в дуговом промежутке справедлива и для режимов, близких к установившемся. Зто равносильно предположению, что скорость колебательных процессов в схеме мала по сравнению со скоростями установления ионных процессов, обусловливающих ток в вольтовой дуге.

Пользуясь вторым законом Кирхгофа, получим в сделанных предположениях следующее дифференциальное уравнение: бч Ь вЂ” + РЛ+ >Р(>) =.Е. (2.48) 9 ЗЛ. ПРИМЕРЫ НА АСИМПТОТИЧЕСКУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ 99 Внося сюда г = 1 = спввс, получим уравнение для определения значений тока, отвечающих установившимся режимам: Еу+ ф (1) = Е. (2.49) Корни этого уравнения легко определяются как абсциссы точек пересечения графиков функций.

и=ф(г), и =Š— Ед В зависимости от вначений параметров Е и Е уравнение (2.49) может иметь три, два, один и ни одного вещественного корня. На рис. 2Д9 изображен случай трех корней этого уравнения (прп 11 1г и=Е-Е1 Рис. 2.(9 ДвУх коРнЯх точки мг и аут (или Мз и Мз) сливаготсЯ, пРп одном коР- ие прямая и = Š— Лг пересекает график функции и = ф (О в одной точна, при отсутствии корней графики не пересекаются), Рассмотрим случай трех различных корней. Это означает, что теоретически могут существовать три установившихся рожима вольтовой дуги, соответствующих трем значениям тока 1г, 1з, 1, Очевидно, что практически реализуемы только устойчйвые режимы, поэтому необходимо исследовать калсдый ив этих режимов на устойчивость.

За иевовмущонное примем установившееся движение ~ =!. Обозначим значение тока в возмущенном двшкении через «=1+х. Вноси это значение тона в дифференциальное уравнение движения системы (2,48) и учитывая, что д11аг = О, получим ех 1 ег +Е(1+х)+Ф(1+х)=Е, Разложим функцию ф (1 + х) в ряд по степеням х ф (1 + х) = ф (1) + ф' (1) х + где точками обозначены члены высшего порядка. Дифференциальное уравнение движения примот внд 8х +Е1+Е +ф(1)+ф (1)х+...=Е, 70 ГЛ. 11.

ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУЙОВЛ или, учитывая, что значения тока 1 удовлетворяют урэвнеиию (2.49): >7я Ь я> = — (В+х)э+ . ° (2.50) где для простоты поло>пеке х = ф' (1). Умиожим обе части атого дифференциального уравиеиия возмущенного движения на я. Тогда после очевидных преобразовакий получим б ! 1 — — Юге = — (В+я)ээ+ .. б> ~2 (2 51) Функция 1 У = — 1лэ 2 определенно-положительиа относительно э. Ее производная по времени, вычисленкая в силу дифференциального уравнения воамущениого движения (2.50), определяется правой частью равенства (2.5().

Если В + х ) О, то проиаводиан р будет определенно-отицательной функцией э и, следовательно, на основании теоремы япунова движение будет асимптотически устойчиво. Если >ке В + + х < О, то производная р будет определенно-положительиой функцией, и на основании теоремы Ляпуиова о неустойчивости устаковитпееся движение будет неустойчиво. Таким образом, имеем В + х ) 0 — устаковившееся движение асимптотическк устойчвво, В + х ( 0 — установившееся двшкенве неустойчиво. Иэ рис. 2И9 видно, что в точках М, и М) функция и = >р (1) возрастает и, следовательно, ее производная ф = х в этих точках поло>иительиа. На атом основании при > = 1, и 1 = 1> число В + + х больше нуля.

Это означает, что установившиеся режимы, соответствующие значениям 1, равийм 1, и 1>, асимптотически устойчивы относительно тока. Е средней точке М, фупклия и = >р (>) убывает, поэтому х, = = ф' (1,) ( О. Кроме того, график этой фуикции в точке М, более крутои, чем прямая и = К вЂ” В>ч Это означает, что модуль углового коэффициекта касательной, проведенной к графику фуикции и = ф (1) в точке Мз, больше мод)~ля углового коэффициекта прямой и 4  — В>, т.е.

(х,) =(ф (1т)(~( — В) = В. Учитывая, что х„= ф' (1з) < О, будем иметь В+ х, (О. Следовательно, установившийся режим, соответствующий току Х„неустойчив. При установившемся режиме угловой коэффициент х = ф' (1) может быть поло>нительиым, но может быть и отрицательным. Если на плоскости (В, х) построить прямую х — — В, то, очевидно, всем точкам, лежащим выше этой прямой (для них х ) — В, или В + + х 0), отвечают асимптотически устойчивые установившиеся режимы, а для точек, лежащих ниже атой прямой,— неустойчивые режимы. На рис. 2.20 показана область асимптотической устойчивости на плоскости В, х. При одиой и той же функции Р =.

и = ф (1) число корией уравненвя (2.49) и их зкачеиия аависят от параметров системы — электрадвижущей силы Е и сопротивления В. Меняя один из этих параметров или одновременно оба, моя<по получить один, два или три установившихся режима. Рассмотрим для примера зависимость то- 5 2.7. пРимеРы ИА Асимптотическую устОЙчиВОсть 71 ии бые устонобибшие режимы 12 1с /2 1с ко ои(суриаиии Е" Е, Е Е, Е Рис. 2.21 неустойчивых, называются точками биФуркации, а,сама кривая АВСРЕН, устзнавливаввцая зависимость координат в установившемся режиме от параметра (в данном примере зависимость тока 1 от алектродзижущей силы источника Е), называется кривой равновесия г).

') Теории бифуркаций, созданная А. Пуанкаре, раавнвалась в дальнейшем многими учеными, в частности Н. Г. Четаевым, А. А. Андроповым и др. ка 1 в установившемся режиме от параметра Е. Для этого построим на плоскости К1 график уравнения (2А9) К вЂ” Е1 — ф(1) = О, считая сопротивление В неизменным (рис. 2.21). Этот график можно построить, например, следующим образом. Задаем определенное значение К и определяем с помощью рис. 2.19 соответствующие аначения тека 1,после чего наносим полученные точки (К1) на плоскость Е1. Так, значению К электродвкжущей Обоисть силы (рис. 2Л9) отвечагот три значе- 1 1 1 .

Н Н Н осимоlоотииеской рис. 2.21 соответствуют точкам М„устойиибости Я М, Мз Рнс. 2,19. Было показано, что крайним значениям тока 1, и 1, соответствуют асимптотически устойчивые режимы вольтовой дуги, а среднему значе- Ф -Я нию 1з — неустойчивый рек<им. Из этого следует, что точкам кривой Рис. 2.20 АВСРЕН рис. 2.21, лежавшим ва участке СР, соответствуют неустойчивые режимы, а токам той же кривой, лежащим на участках АС и РН вЂ” асимгпотически устойчивые режимы. Точки С и Р, разделяющие устойчивые участки от Н 1~ 72 РЛ. П, ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА Кривая равновесия дает возможность наглядно проследить за состоянием системы при изменении параметра.

Так, если медленно и непрерывно изменять Е, начиная от Е = О, то, как видно ив рис. 2.21, при значениях Е, меньших Ее, установившихся режимов У' 1 1 1с 1В О 0 Е Ер Е Е Е~ а) р',) Рис. 2.22 а не существует п, следовательно, вольтовой дуги не будет. При дальнейшем изменении Е от Ев до Е, мы будем перемещаться по участку АС кривой равновесия. Возникшей вольтовой дуге будет соответствовать ток, измснягащийся от О до 1О. Прп переходе злектродвижущей силы Е через еначепие Е, ток скачкообраено паменятся от 1О До 1Р и Затем будет непрерывно увеличиваться вместе с увеличением Е (рис. 2.22, а). Если теперь уменьшать Е от аначенвй, больших Е„до Е„то ток будет непрерывно уменьшатьсн до 1О, Прн прохождении електродвижу- +Е щей силы Е через Е, ток скача кообразно уменьшится от 1и до 1В и в дальнейшем будет непрерывно уменьшаться вместе с уменыпением Е (рис.

2.22, б). Аналогично можно йостАу роить кривую равновесия, соответствующую иаиенению сопротивлении Е. + Пример 3. Условие 1 С и устойчивости лампо- вого генератора [4]. Е б Рассмотрим простейшую схему р лампового генератора с индукРис. 2.23 тинной обратной связью и колебательным контуром в цепи сетки (рис. 2.23). Пользуясь законами Кирхгофа и учитыван направления токов в цепи, а также положение поло>кнтельной полярности конденсатора, получим следующие уравнения (сеточными токами пренебрегаем): йи 1 йт Й = — С '. б ~, =и — Š— М вЂ”,' (2,32) й 2.7.

пРимнвы ЙА Асиыптотичесиу70 устОЙчиВОсть 73 Й где Я(и) = й — круасизка характеристики са лаипы (примерки ная зависимость тока сз и величины " от напряисения из — — и по- и -и Ю и и и! Рис. 2.24 казаны на рис. 2.24). Теперь дифференциальные уравнения движения (2.52) праут впд аи Й 7 с =. 5 =" С (ЛС А'Я(и))' Й С ' Й (2.53) Исследуем устойчивость равновесного состояния и = О, = 0 относительно напряжения и и тока й Для атого возьмем функцию.

Ляпунова в следующей форме: 75 У = — ~ — сз+ из) . 2 (С (2:54) Очевидно, что зта функция определенно-положительна. Вычислим производнусо )х функции У: Т Й с)и )х =- — С 7 — + н — . ас (2.55) Подставим вместо й!ас и ии(ас их значения из уравнений (2,53) или, раскрывая скобки н группируя члены, гх =- — с з (7)С вЂ” МЯ (и)) сз. (2.56) Разложим функцию Я (и) в ряд по степеням и: Я (и) = Я (О) + Я' (О) и + (2.57) Член — М асаlаг представляет з.д.с. обратной связи, наводимую благодаря воздействию на контур анодного тока, сгротекающего по катушке 1 .