Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин, страница 11

х1] — — 16 (2.36) Рз (хм хю хз) = зйй (а + х,) (1з + хз) .=- л. Интегралы (2.36) получены из общнх теорем динамики. Конечио, можно было сначала составить дифференциальные уравнения возмущенного движения (1.27), а затем, комбинируя их, найти интегралы (2.36). Как уже было отмечено ранее в $ 2.5, выбранный здесь путь является, как правило, более простым '). Перейдем к исследованию устойчивости стационарного движения маятника относительно величин О, 0 и ф. Ни один иа найдеигрзх интегралов не является знакоопределенноп функцией относительно величин х„х и хз. Пожому составим линейную связку интегралов (2,30), положйв )ч =- ( и Хз =-: )х Г = Є— Р, (О] + й (Рз — Рз (О)):= (ху + ззв (а + хз] (1з + хз)з]— 2д 1 .

2г — — соз (а+ х,] — 1 азазвза — — соз а) + т + Х зйй (и -,' з,) (1е + зп) — й з1п' а ю. ') Для того чтобы оценить рассмотренный здесь метод, рекомендуем читателю получить интегралы (2.36) иэ уравнений возмущенного движения (П27). 1 ".з пРимеРы на пэименннпе теогямы ляпгновл 56 23 Члены — (вз з!па а — — гоз и) н — Л э!пз и.ю внесены для того, чтобы функция У обращалась в нуль при х, =- х, =- хз = О. Заменим отношение уП его значением на равенства (2.34) и разложим функцию у в ряд по стененям хы х„, хз.

Имеем з!пт (а + х,) =- шпз а + зш 2а хг + соз 2а.хге +..., 1 з сов(и+хг) = сова — з!пи г, — — сов п х +..., 1 где точками обоаначены члены высшего порядка. Внесем эти значения для з!пз (и + х,) и соз (и + х,) в последнее выражапие для функции у и сгруппнруем члены: У = ю ((Л+ ю) соз 2а + ю созе а] х„'+ хе+ гбпт и.хзз + + ю з!и 2а.(Л+ 2ю) т, + е!и' а.(Л + 2ы) х„+ + зйг йи-(Л+ 2ю) х,хз Для того чтобы функция У была оп! одоленно-положительной, необходимо прон<де всего избаэнтьсн ог членов, содержащих вариации х,, х, и хз в первой стенени (см.

нримечание к формуле (2.5)). В данном случае для этого достаточно полонить Л = — 2оз. Прп таком значении Л функция У примет вид у = ыззшза х" +х,'+з)пза.х + х ' з Так как квадратичная часть функция У определенно-положительна относительно х„хз и хз, то прн достаточно малых аиачевиях х„х, и хз вся функцпн !' будет также определенно-положительна. Проиаводная по времени функции У на основании интегралов (2.36) тождественна равна нулю, н, следовательно, стационарное движение конического маятнвка устойчиво относительно О, О и Эь Этот результат будет получен в примере 1 1 3.5 другим методом.

Пример 2. Устойчивость стационарного двпнсеипя центра масс искусственного спутника Земл и. В 4 !.3 было показано, что искусственный спутник Земли может совершать движение с постоянной скоростью по окружности радиуса гз. Параметры этого движения удовлетворяют условию (1.36) ы'гэ =- р. (2.37) 11оложенне спутника в возмущенном движении будем онределять сферическими координатамв г, ~, О (ркс. 1.5, б). Кинетическая Т и потенциальная П энергии спутника определяются выражениями (1.31): /я «$ Т .. — (гз -Р гз3з .

(- гз созе О~рз), и —. — р —,, 2 Так как действующая ва искусственный спутник Земли сила тяготения потенцпзлька, а координата ~р циклическая, то существуют дза 60 РЛ. П. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА Иптэтрапа дВИжЕНИя (й Н и — ПОСтаяПНЫЕ) 1) т т т Т+ П = — (гз+ гойз+ гзсозоО<ЭО) — р — „= — й, 2 г 2 дТ вЂ” .= тгз созз О~р = ти. д(р Будем рассматривать устойчивость стационарного движения спутника по круговой орбите относительно величин г, г, О, О и ф. Введем обозначения: г = го+ х„г = х„О = хз, О = ха, ф = =(в+ ха.

В сделанных обозначениях найденные интегралы можно записать в следующей форме: Р1 = х, + (га -) - х1) ха + (го + х1) сов хз (О1 + х,) — 2 = й, Рз = (г, + х,)' соз' х, (оа + х,) = и. (2 39) Отметим, что, так нас как и в первом примере, оба интеграла дифференциальных уравнений возмущенного движения получены из общих соображений, беэ помощи самих уравнений.

Конечно, втоой интеграл (2.39) вытекает непосредственно иэ третьего уравнения 1.32), а первый интеграл может бмть получен путем комбияацни отих уравнений,но этот путь требует не только составления самих уравнений (1 32) или (1.33), но и умения получить из них нсобходвмые интегралы. Перейдем к исследованию невозмущенного движения спутника. Ни один нз нацаепных интегралов не является эпакоопределенной фУнкЦией величин х„хз, хз, ха, х,.

ПоэтомУ фУнкЦию ЛЯпУнова )г будем искать в форме связки этих интегралов У =- Г, — Р, (О) + Х [Р, — Р (О)) + к (Р~з — Р" (О)), где Х и к — постоянные числа. Внесем в это выражение для у значения интегралов Р и Г,: р = хз + (га + х1)з хз + (го + х1)1 созз хз (в + ха)4— — 2 — гзовз + 2 —, + Х Иго+ х1)з созз хз (в + ха) — гОв) + +к((г,-)-х1)асозах, (в-(-ха)з — гаво). разложим правую часть етого равенства в ряд по степеням х„... ..., ха. Имеем л з з соз ха = (1 — 2 +...) = 1 — хз+... 1 з 4 з соз' хз = (1 — 2 +...

~) = 1 — 2хз -(-..., э )4 го+х1 го )4 з +)1 з +'''' го а где точками обозначены члены высшего порлдка. ') Эти интегралы можно получить путем комбинации уравнений возмущенного движения центра масс искусственного спутника Земли (1.33). Э Кз, ПРИМЕРЫ НА ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЛЯПУНОВА 61 Подставим эти выражения в носледнее равенство и учтем, что в.стационарном движении нараметры в и г удовлетворяют условию (2.37), Тогда после очевидных преобразований получим у = в ( в + й + бхгов) хз + хз — гов (в + й + 2ж ов) хз + + 'охо + 'о (1 + х'о) хь + 2'ов (йв + й + 2ггвв) хз + + го (2в + Х + 2хгозв) хз + 2го (2в + Х + 4хгзв) хзхз +...

Для того чтобы функция У была знакоопределенной, нужно прежде всего приравнять нулю коэффициенты при членах, содержюцих переменные хз и хз в первой степени (см. примечание к формуле (2.5)). Таким образом, числа А и х долнжы удовлетворять соотножению 2в + Х + 2хг'в = О. Отсюда Х = — 2в — 2хгзв. о Подставляя вто значение Х в последнее выражение для У, найдем У = вз (4хгв 3) хз + т, + г~взхз + голо + + гз (1 + хгз) хз + 4хгзвхзхз + .

Разобьем квадратичные члены на две функции: = х, + гзвзх + гзхз, з а з оо' Уз = вз (4хго — 3) хз + 4хговхзхз + гоз (1 + хго) хзз. Функция )'з определенно-положительна относительно величин х, х, н хз. Поэтому для того, чтобы функция У бмла знакоопределенной относительна хз, хз,*з, хз, хз, достаточно показать, что можно найти такое число х, при котором функция Уз будет определенно-положительной относительно хд и х,.

Критерий Сильвестра для функции у имеет вид (см. формулы (2.9)) йз = вз (4хгз — 3) ) О, ~ вз (4хго — 3) 2хгов 2хгзв гз (1 '.. хгз) о о Из этих выражений видно, что при х ) 3/г~ оба условия будут выполнены и, следовательно, функция Уз будет определенно-положительной относительно х„ х, а функцйя у — определенно-лоложительной относительно хз, хз, хз, хв хз, что и доказывает устойчивость стационарного движения искусственного спутника Земли относительно величин г, г, О, О, гу '). ") Этот результат получен В. В. Румянцевмм (46) другим методом (см. пример 2 1 3,5). Там я~с исследованы на устойчивость другие стационарные двпгкенпя искусственного спутника Земли.

ГЛ. П. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУПОВЯ Прежде чем перейти к следующему примеру, сделаем одно замечание. Во многих задачах требуется ответить на вопрос: будет ли рассматриваемое движение устойчиво, асимптотически устойчиво кли неустойчиво? Первые два примера относились как раз к втой группе задач. Однако, как уже отмечалось ранее, в технике, как правило, встречаются задачи другого плана, а именно: известно, что при некоторых значениях параметров системы невозмущенное движение неустойчиво.

Ставится задача: как следует выбрать параметры системы, чтобы ее движение сделалось устойчивым (или асимптотически устойчивым)ф Третий пример относится ко второй группе задач. Пример 3. )(остаточное услозпе устойчияогтн волчка (услазпо устайчпзостк зрашательного дпиженпя снаряда). !(аждому ребекку известка, чта незращающппгя палчак падает и, для того чтобы его Огь сохраняла згртпкальное полажение, волчок нужна сильно закруюжь, т.

о. ому пуягпа сообщить достаточно большую скорость сабстяенного пращопия. Точно так же зсо артиллеристы знают, что пеяращающийся продолговатый снаряд (снаряд, яыстрелепный из гладкоствольного орудия) кувыркается. Кстестиенно иозпикает запрос: какую угловую скорость сабстяеннога вращения нужно сообщить иалчку (снаряду), чтобы он ке падал (снаряд не купыркался)2 Так как вращательное движение продалгопатого снаряда, центр масс которого перемещается по весьма настильной траектории, и дапжание яолчка около яертикали оппсызаготся созершенно одпнакозыми дифференциальными уразнеппями, та достаточна рассмотреть устойчизосгь движении одного нз пих, например устойчииагть волчка. На волчок, угловая скорость собственного яращенпя которого равна ф, дейстяуют дяе внешние силы (силами сопротивления пренебрегаем): сила тяжести Р, приложенная к центру масс С яолчка, и реакции Ке опоры О (рнс.