Теория механизмов и машин. Курсовое проектирование под ред. Г.А.Тимофеева, Н.В.Умнова 2012г (Проектирование и исследование механизмов строгального станка с вращающейся кулисой), страница 6

В скалярной форме соответствующие зависимости получают, проецируя векторные контуры на оси координат. Число независимых замкнутых контуров определяют по формуле Гохмана, /с = и — р„„, (и — число подвижных звеньев; р„„, — число низших пар). При построении контуров механизмов можно также руководствоваться следующим простым правилом: четырехзвенный механизм имеет один замкнутый векторный юнтур, шестизвенный — два. При этом все звенья механизма должны входить хотя бы в один замкнутый векторный контур.

Если механизм имеет несколько векторных контуров, анализ начинают с контура, включающего начальное звено, и результаты анализа этого контура используют при анализе последующих контуров. Например, исследование кривошипно-ползунного механизма (см. рис. 2.2, а) сводится к анализу одного контура АВСА, состоящего из входного звена 1, звеньев 2, 3 и стойки 4. В векторном контуре АВСА (рис. 2.3, а) радиус- вектор гв — — АВ направлен вдоль входного (начального) звена 1, начало и конец радиус-вектора совпадает с вращательными парами А и В, а угол <р1 его наклона к оси абсцисс х выбран в качестве обобщенной юординаты. Радиус-вектор гв считается известным, поскольку известны его модуль (длина 1~в кривошипа АВ) и координаты (угол ~р~ поворота кривошипа). Направление отсчета углов совпадает с направлением ш1 вращения входного звена механизма.

В этом случае входное звено вращается лро- тив хода часовой стрелки, т. е. в положительном направлении (за положительное направление отсчета в механике принято вращение звена против хода часовой стрелки). Проекции радиус-вектора гв на оси координат х и у равны: хв = "в соз фп ув= гв яп (рп (2.3) Если в механизме кривошип вращается по ходу часовой стрелки, координаты точки В определяют по формулам (2.3). При этом угол <р1 отсчитывается в положительном направлении. Дифференцируя выражение (2.3) по обобщенной координате <рп находят координаты точки В: гдов = Ув гдгв = хв пдхв хв пдрв ув Уравнение замкнутого векторного контура АВСА (см.

рнс. 2.3, а) имеет вид Углы наклона векторов контура, кроме уже рассмотренного радиус-вектора гв, всегда отсчитываются по правилам задания координат векторов— от положительного направления оси абсцисс до положительного направления соответствующего вектора против хода часовой стрелки. Проецируя радиус-векторы гс и гв (2.5) на оси координат, находят координаты точки С: хс — — хв + 1соз <Рз, Ус = Ув + 1з1п 92 —— О.

(2.6) Из второго уравнения (2.6) следует, что Анализ схемы механизма показывает, что угол <рз в выражении (2.7) изменяется в диапазоне значе- ний 0 < «рг < и, поэтому его можно вычислить по формуле соз«рг — — 1 — з(п «рг. г 0 = у В + 1соз «рг ю г, 0 = ачув — 1(з!п«Р2 Ог~~г — соз «Рг вчг), из которых находят передаточные функции учув 1з!и «рг ш «2 адув 2 ю =-, в 2=- . (2.8) 1соз«рг 1соз«рг Аналоги скорости ччс и ускорения ачс точки С звена 3 соответствуют первой и второй производным функции хс(«р): Учс «дхв 1з«п«Р2 'шу2 (2.9) ц,с = а в 1(соз«рг ' щ„г +з!п«рг 'ечг).

2 Если на звеньях механизма есть еше и другие точки, координаты, скорость и ускорение которых представляют интерес, то их кинематические параметры находят после определения всех кинематических параметров векторов, входящих в замкнутый контур. Так, радиус-вектор гв, определяющий положение центра масс Вг звена 2 (см. рис. 2.3, б), г, =гв+б, 2 а его проекции на оси координат хв —— хв+ «усов «рг, ув — ув+ «узун«рг, (2.10) Дифференцируя уравнения (2.10) дважды, находят проекции аналогов скорости и ускорения ТОЧКИ Яг'.

учх52 у~ухВ «1з!и «рг ' шу2 Удувг = Уч«в + «(с0$ «!Уг ' шаг, (2. 11) Ц,вг =ачхв «У(соз«Рг'Озчг+з)"«Рг'адг) 2 (2.12) очаг а«уув «1(з!п«Р2 'пзбг соз«!22.вчг). Соотношения (2.10) — (2.12) справедливы при направлении отсчета угла «рг от положительного направления оси х до положительного направления вектора ВС против хода часовой стрелки.

Положение центра масс Вз звена 3 в системе координат хлу определяется координатой хс и может быть найдено из первого уравнения системы (2.6). Чтобы вычислить аналоги угловой скорости «О 2 —— =иг! и Углового УскоРениЯ в 2 звена 2, дважды дифференцируют второе уравнение системы (2.6) и получают следующие соотношения: Кинематический анализ, как правило, ограничивают определением функций положения звеньев и аналогов скоростей (угловых и линейных). Кинематические параметры обычно вычисляют не для всех звеньев и точек механизма, а только для тех, которые необходимы для расчета динамических параметров, т.

е. для тех, с которыми так или иначе связаны приложенные к механизму внешние силы. При этом руководствуются изложенными ниже соображениями. ! . Функции положения вычисляют только для тех звеньев и точек, к которым приложены силы, зависящие от положения этого звена или точки. 2. Для звена, у которого задана масса, вычисляют аналог скорости его центра масс (по соображениям, которые станут понятными далее, можно ограничиться вычислением только нроек«уии аналога на ось у). 3. Для звена, у которого задан или может быть вычислен момент инерции, определяют аналог угловой скорости этого звена. 4. Для звена, к которому приложен внешний момент, также вычисляют аналог угловой скорости.

5. Для всех точек приложения внешних сил вычисляют аналоги линейной скорости точек их приложения. Если сила приложена к точке звена, входящего в поступательную пару, и ориентирована вдоль направляющей этой пары, то рекомендуется вычислять проекцию аналога на эту направляюшую, например, в случае расположения направляюшей вдоль осей координат. Однако при наклонном расположении направляющих (например, у Ъ'-образного двигателя или компрессора) можно для каждой поступательной пары ввести дополнительно локальную систему координат, начало координат которой лежит на направляющей пары, а одна из осей ориентирована вдоль нее, и определять проекцию аналога на эту ось локальной системы, т. е. на проекцию аналога вдоль направляющей поступательной пары. Эта проекция будет иметь знак, определяемый знаком проекции аналога скорости на ось локальной системы координат.

Очень важно, что впоследствии и знак силы, действующей на поступательную пару, также будет определяться в выбранной локальной системе координат. Поскольку локальные системы координат выбирают произвольно, то можно ограничиться только положительным направлением вдоль направляюшей и определять знак проекции аналогов скорости и ускорения по совпадению или несовпадению проекций векторов аналогов на ось положительного направления поступательной пары с вектором положительного направления. Математически это можно оценить знаком скалярного произведения этих векторов.

Еще раз подчеркнем, что знак силы также будет определяться знаком скалярного произведения векторов силы и вектора положительного направления поступательной пары. При вычислении приведенного момента от внешней силы необходимо определить знак проекции действительной скорости точки на направляющую поступательной пары, а не знак проекции аналога. Напомним, что при вращении начального звена против хода часовой стрелки аналог скорости и действительная скорость одинаково направлены, а при вращении по ходу часовой стрелки — противоположно.

Как указывалось ранее, положительное направление в поступательной паре может быть выбрано произвольно. 2.1.3. Определение аналогов скоростей и ускорений с номоитъю вычислительной техники Традиционные методы определения аналогов скоростей и ускорений с помощью построения планов скоростей и ускорений достаточно трудоемкие и, кроме того, во многих случаях не обеспечивают необходимой точности. Не менее трудоемкие и методы расчета с помощью уравнений замкнутости.

Производительность вычислений существенно повышается при использовании специализированных программ. Так, для кривошипно-ползунных механизмов можно рекомендовать программу АК2*. Для более сложных шестизвенных механизмов целесообразно применение программ Ебада, САРЦМ или некоторых других программ, специализированных на конкретные виды механизмов (по рекомендации консультанта). Характерно, что в большинстве случаев эти программы не требуется предварительно изучать.

Некоторые трудности методического характера могут возникнуть только при отрицательном направлении вращения начального звена. Дело в том, что в основном в программах по умолчанию задано положительное направление отсчета углов. Поэтому при использовании программы спада следует отказаться от стандартной формы вывода результатов расчета и выбрать свою, в которой задать положительную угловую скорость начального звена и отрицательное приращение угла его поворота. Углы, для которых проводится расчет аналогов, будут отсчитываться от оси абсцисс в положительном направлении, однако их значения при этом будут уменьшаться, что имитирует движение начального звена механизма по ходу часовой стрелки. Для расчета реальных (истинных) углов поворота ~р„начального звена можно воспользоваться соотноше- нием тр„= к — 9„р, где у„р — углы поворота, получаемые с помощью программы.

Напомним, что величины и направления аналогов скорости и ускорения не зависят от фактического направления вращения начального звена. Достаточно эффективно для получения аналогов скоростей звеньев применять математические пакеты общего назначения, однако и здесь есть некоторые особенности.