Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004), страница 56
Описание файла
DJVU-файл из архива "Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Просмотр DJVU-файла онлайн
Распознанный текст из DJVU-файла, 56 - страница
8х + 2у + 1 = 21д (4х + С). 2753. х + 2у + + 31п ~2Х+ Зу — 7~ = С. 2754. 5х+ 10у+ С 31п 11ОХ вЂ” бу+ 6~, 2755. р 1 — созф 2 2 1 2 или у 2СХ + С . 2756. 1п р = — — 1п ~соз у~ + С или 1п ~х~ — -и — = С. 2соз (р 2х2 2757. Прямая у = Сх или гипербола у = —. Отрезок касательной равен С у + ~~~ . 2758. у — х = С. 2759. у = Се"'.
2760. у 2рх 2761 у - ах е;у / ~о~о 3 По условию, ~ = — х. Дифференцирун дважды по х„получим диффех 4 с.'о 2 сов (2п + 1) нх -о 9 1 2пнх 1 соз 2пнх ренциальиое уравнение. 2762. у = — х. 2763. у ~4 — хз + 21п 3 ' * х 2764. Пучок прямых у - йх. 2765. Семейство подобных эллипсов Ях + 2 е, 2 2 + у = С, 2766. Семейство гипербол х — у С. 2767. Семейство окружносгей х +(у — Ь) = Ь, 2768,у х1п —. 2769.у= — — —. 2770.
х =Се 2 2 2 С С Х и/ х х 2 ОтВеты, Ркп1ения. лсАВАния 470 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ УКАЗАНИЯ 2771,(х — С) — Уг С; (х — 2) — у = 4; у =+х. 2772. /х:У + 1п~у~ С. 2773.У вЂ” 'х — —; х = О. 2774.(х + У ) (х+у) = С. 2775 У = х 1 — -х. С г 1 2 23 г . 3 2 2С' * 8 2776, (х + у — 1) = С(х — у + 3), 2777. Зх + у + 21п ~х + у — 1~ = С. 2778. 1п ~4Х + 8У+ 5~+ Зу — 4х = С. 2779, х - 1 — 2У. 2780.
Параболоид вращения, Решение. В силу симметрии искомое зеркало является поверхностью вращения. Начало координат помещается в источнике света; ось ОХ вЂ” направление пучка лучей, Если касательная в любой точке М(х; у) кривой сечения искомой поверхности плоскостью л.ОУ образует с осью ОХ угол 43, а отрезок, соединяю- 2ЫФ щий начало координат с точкой М(х; у)„— угол о, то Мй'а = (й' 2бр = 1-1'д б1~ Но ФИ а = ", $а 4р - У'. Искомое диФФеренциальное уравнение У вЂ” уу' = 2ху' х' 2 о и его решение у = 2Сх + С".
Плоское сечение — парабола. Искомая поверхность — параболоид вращения. 2781. (х — у) — Су - О. 2782. х С(2у + С). 2 2 х 2783. (2У вЂ” х )' = Сх, Использовать, что площадь равна у дх, 2784. у = Сх— 2 23 2 — х1П!х~. 278$.у Сх+ х . 2786.У = — х + —, 2787. Х41+у +сову =С. 2 1 4 С „2 6 2 Уравнение линейно относительно х и — . 2788. х = Су — — . 2789. у = — + Г(х 2 1 Е' Йу + .2790.у=-(х ~1-х +агсв1пх)р~ —.2791.у= .2792,У(х + аЬ-е" 1 2 . 1.+х х х 2 ч 1 — х созх +Сх) = 1. 2793.у - х1п —. 2794.
х . 2795.у (3 + Се' ") - х. у+Су 2797.ху Су + а .2798.У + х+ ау О. 2799.х = у1п ",2800. — + — 1. г 2 2 а Ь а х у 2801. х + у — Су + а - О. 2802. — + ху + у = С. 2803. — + ху + х = С. 2 2 2 х' г Х 2 2 2 ' 3 2804. — — -х у + 2х+ "- - С. 2805. х + у — 2агс$д" = С. 2806.х — у 3 2 2 2 2 2 2 4 2 3 ' ' х 2 2 г =Су .2807. — + уе" =2.2808. 1п~х1 —" =С.2809. — + — С.2810.— 1п х+ 2 х у 2 у + — у = С, 2811.(ха(пу+ усову — 31пу)е С.
2812. (х С + 1 — 2СУ)(х + 1 2 .р 2 2 2 2 + С вЂ” 2СУ) О; особый интеграл х — у = О. 2813. Общий интеграл (у + С) = х; 2 2 2 2 3 особого интеграла нет. 2814. Общий интеграл ~ — — у + С1 (х — ~- + ~2 ! 2 + С) О.„особого интеграла нет, 2815. Общий интеграл у + С ' 2Сх; особы н интеграл х — у О, 2816. у — сов х + -~ — в(п х. 2 1 2 2 х = 3'пр+1пр, х=ее+р~+С, х=2р- -+С, 2 2818. 2 ' 2819. Р У =рв1пр+ совр+Я+ С. у ~ р е .
2 Особое Решение У О. 2820.4У = хг + Рге 1п~Р— х~ = С + р — х 2 2 2821.!н 4р ер ~. ессеб с С, н - Ь ~ — Р-. Особое решение р - е . 2р х - 1п ~р~ — агсв1п р + С„ у - +Зх. 2823. у =р+Ь:7 2822. у С + (х ~С)," х =Се -2р+ 2, х= -(Ср- -р), Р 1 1/г 2824,, ' 2 2825. 3 ' Указание. ДнФфе- 1У=.С(1+Р)е — Р + 2, 1 ~,2 у= -(2Ср +р ). б ренциальное уравнение, из которого определяется х как фуыкция от р, х' однородно. 2826. у = Сх + С; у — — '. 2827, у - Сх + С; особого решении нет. 2828. у Сх+ 1+С," х + у 1.
2829.у Сх+ —; у 4х. 2830.ху С. 2 2 2 1 2 С' 2831. Окружность и семейство ее касательных. 2832. Астроида х + у ' а г/3 2/3 2~3 2833. а) Однородное„у хи; б) линейное относительно х; х ии„в) линейное относительно у; у = ии; г) уравнение Бернулли; у = ио; д) с разделяющимися переменными; е) уравнение Клеро; привести к виду у ху'+ ./у'; ж) уравнение Лагранжа; диФФеренцировать по х"„з) уравнение Бернулли„. у ио; и) приводящееся к уравыению с разделякицимися переменными„и х + у; к) уравнение Лагранжа„диФФеренцировать по х; л) уравнение Бернулли относительно х; х = ио; м) уравнение в полных диФФеренциалах; н) линейное; у - ии; о) уравнение Бернулли; у = ио, 2834, а) е1п к - -1п ~х~ + С; б)х=у .2835.х +у -Су.2836.у —.2837. У~С вЂ” -1п х -1.
саба 2 4 2 х ее 1 2 х+С 2838. у - Сх+ С 1п С; особое решение у -е ~" ~. 2839. у = Сх+ .~-аСС; особое решение у — . 2840. Зу + 1п = С. 2841. — е — е — агоний'у— а ~ -'-1~ 4Х ( +1)~ 2 2 — -1п (1 + у ) = С, 2842. у = х (1 + Се ."). 2843, х у (С вЂ” е-"). 2844. у- -Се-"""+ а(п х — 1.
2845. у--ах+С Б — х . 2846. У- х (х+ 1п ~х~+ С). х+1 открыты, ркшкния, уклзлния ОтнжтЫ, РИаЯНИЯ, У1~АЗАНИЯ 2847, х = Се' — 2а(1 + зп1 д). 2848. ' — ' + Зх + у + 1п 1(х 3) ~у 1~') = С. 2 2849, 2агс1а х — - 1п Сх, 2850. х = 1 — — + Се ", 2851. х' = Се-' — у — 2. 2х у 2852. «х + 1п|х~ = С, 2853. у = х агсз1п (Сх). 2854. у = Се "+ -з1п х + 5 + — соз х. 2855. ху = С(у — 1), ху = С(у — 1), 2856. х = Се" — — (а1п у + сов у). 5 ' ' 2 х - — — — + — 1п (Р+ «1+Р ), 2862.
Р 2Р 2863. у хе . 2864. 2е" — у у = 2рх+ Д+Р2. = Су . 2865. 1п ~у + 2~ + 2агс$д "— = С. 2866. у" + Се ' + — — 2 = О. х — 3 х 2867. х у - Се"'". 2868. х + — = С. 2869. у =, 2870, у = Са(п х — а. 2 З/2 4(х — 1) а 1а~х'. Га г х )-~С 2 2 2871. у— , 2872. (у — Сх)(у — х + С) = О.
2873. у = х+ а +х Сх+ —,у= — «2х .2874.х +ху — ух — у =С.2875.р +4у =Су. 1 =32 ' з ' ' з- 2 ' з 2 а 1 2876. у = х — 1, 2877, у = х. 2878. у = 2. 2879. у О. 2880. у = †(а1п х + 2 + соз х). 2881. у = — (2х + 2х + Ц. 2882. у - е " + 2х — 2. 2883. а) у - х; 4 б) у = Сх, где С произвольно; точка (О; О) — особая точка дифференциального уравнения, 2884.
а) у = х; б) у - 2Рх; (О„О) — особая точке. 2885.а)(х — С) + у = С , "б) нет решения; в) х + у х; (О; О) — особая точка. 2 2 2„ 2 2 2886. у = е"'". 2887. у = (.«2а а+ «х ) . 2888. у = 1 — е ". 2889. г = Се"~. Надо перейти к полярным координатам.
2890. Зу — 2х = О. 2891. г Й01. 2 2892. х + (у — Ь) = Ь . 2893. у + 16х = О. 2894. Гиперболы у — х ~ С 2 1 . х или окружности х + у = С, 2895. у = -(е + е ). Использовать, что 2 Х ,х 2 площадь равна у дх, а длина дуги 1+ у' дх. 2896, х "— + Су. у х 2897, у 4С(С+ а — х). 2898. Пользоваться тем, что равнодействующая силы тяжести и центробежной силы нормальна к поверхности. Принимая ось вращения за ось (ОУ) и обозначая через 01 угловую скорость вращения, получаем для плоского осевого сечения искомой поверхности дУ 2 3 -0,0001022 дифференциальное уравнение д- = 01 х. 2899. Р = 1О е ', Давление на дх каждом уровне вертикального воздупшого столба можно считать обусловленным только давлением вышележащих слоев.
Использовать закон Бойля — Мариотта, по которому плотность пропорциональна давлению. Искомое дифференциальное уравнение др - — ЙР дЬ. 2900. з - — Ив. Указание, Уравнение дз - Йв х 2 х — дх. 2901. з = (р+ — в)Й«, 2902. Т = а + (Т вЂ” а)е, Й вЂ” постоянный парૠ— х 1 -И О «з~' метр. 2903. Через час. 2904. в(«) = 100~ — ~ об«мин. 2905. За 1ОО лет распадется ~ Р1000 4,2% начального количества (~, Указание. "уравнение — - Щ; 9 = Ц ~-~ 0' 0~2« 2906. 2 = 35.2 с, Указание: уравнение к(Ь вЂ” 2Й) дй - я~ — ~ о д2.
2907. — . 2 ~112 1 ~10« ' ' 1024 Указание; уравнение изменения интенсивности света «, проходящего через слой воды, имеет вид сУ = -ЙХ дй, откуда Х .( ~ -~, где 1 — интенсивность света на 0~2«0 поверхности воды. 2908, о ~ — при 2 — оо (Й вЂ” коэффициент пропорци- ~Ю ~Й ональности). Указание; уравнение и~ — = я1д — Йо; о - ~ — ц1 ~2 ~ — ~. до 2.,Рл «УЮ д ' «Й ~~т1* 2909, 18,1 кг.
Указание: уравнение — = Й~ -- — ~ . 2910.1 = дх «'1 х ~, . Е д 2 1.,3 3ОО,~ ) хх2 х (Вз1по12 — Ь01созшг) + Ьое ~. Указание: уравнение В«+ Ь— д1 д2 С1х12 = К а1п он. 2911. у = х 1п ~х~ + С х + С . 2912. 1 + С у ~ ~ С + — ~ . 2913. у 1 2 ' 1 2 д 1п 1е " + С1~ — х + С, 2914. у С, + С,1п ~х~. 2915, у = С1е ' . 2916.
у = 1,/С,хаС . 2917.а (1 а С,'ха~а а С ~ — С,х ~ С. 2918.[х — С,) = =а1п а)п ~,2919.у -(1п~х~) +С,1п~х~+С.2920,хха — 1п — у +С,; у С2~ 1 2 ° 1 а 2 С1 у +С1 ОТВЕТЫ„РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ С,2921„у-С е + —,2922.у=+- ~х С,-х + С, агсз(п — ~ +С. Схк 1 1 Г 2 2 2 Х С,' '* С,~ +1 х 2923,у =(Се" + 1)х+ С.
2924.у= (С х — С1)е +С2~ у х + С (особое рещение), 2925. у =' С х(х — С1) + С~; у — + С (особое решение). 2926,у х + — + С х1пх+ С х+ С . 2927.у в1п(С + х) + Сзх+ Сз. 12 2 3' ' 1 2928. у = х + Зх. 2929. у = †(х + 1). 2930. у " х + 1. 2931. у = Сх . 2 2932.у С1,' у С 2933 х = С1 + 1п— 1+С2е - у С2 11 С к' у+Сз х1п ~ 2 ~. 2935.х = С,у +у1пу+ С, 2936.2у — 4х = 1. 2937.у = х+ 1.
~у+ С2~ х -1 е — 1 2 2 2 2 2938. у — — 1п ~х~ или у + — 1п ~х~. 2939. у = — х . 1-х е +1 1 2(е — 1) 2«е +1) 2940.у = — х . 2941. у = 2е". 2942.х - --(у + 2) ~ . 2943.у = е", 2944. у = 2 = — + — . 2945. у = — х — —, 2946.
у = — . 2947. у = зес х. е е . 2./2 зд 8 Зе 2 е 1 '1 е 3 3 2 й 2948. у = з1п х + 1. 2949. у - — — †. 2950. х -- е . 2951, Решения нет. х 1 1 -у 4 2 2 2 2 «х+ С1+ 1) 4 3/2 2952.у е. 2953.у 21п~х] — —. 2954.у= х 2 + - С «х + 1) + С . 3 ' Особое решение у С. 2955. у = С вЂ” + (С вЂ” С1)х + С„. Особое решение 12 1 1 у - " + С. 2956. у = — (С + х) + С х + С, 2957. у = С, + С е ' ; 12 ' ' 12 к у = 1 — е; у — 1 + е; особое решение у = —. 2958.
