Сборник задач по курсу физики с решениями (Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова - Сборник задач по курсу физики с решениями), страница 37

г ~,г Ответ 1 2'г ~ Еп — — и — з 2т! г г Ответ 2м! лп уэ(х) = А айп — х 1 Ответ 2 ! рр (х'( бх=!, ~А ап — хбх=-А 1=1. л 1 2 числа. !/3 з!з ОтВЕШ )у= 1 3 ОтВЕИ1 И = 0,195. ОРИВГ!И И' = 0,091. Докажите, что собственные волновые функции, описывающие состояние частицы в одномерной "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками", являются ортогональными, т. е.

удовлетворяют условшо ! тр„(х)з)з (х) бх =О, если ля лз. Здесь ! — ширина "ямы"; и н лз — целыс Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" шириной ! с бесконечно высокими "стенками" находится в основном состоянии. Определите вероятность обнаружения часпщы в левой трети "ямы". рз рз рз 1 1 ~ 2л 1 1 1 . 2л ! 1 . 2л = — / сх- — ~ соз — хох= — — — а)п — х = — — — з!и — =0,195. 12л ! а 3 2л Частица в одномерной прямоугольной " потенциальной яме" шириной ! с бесконечно высокими "стенками" находится в возбужденном состоянии ! л = 2).

Определите вероятность обнаружения частицы в области з(! 4 х 4 ф. Электрон находится в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" шириной 1 с бесконечно высокими "стенками". Определите вероятность 1г' обнаружения электрона в среднеи трети "ямы", если электрон находится в возбужденном состоянии ( л = 3 ). Поясните физический смысл полученного результата, изобразив графически плотность вероятности обнаружения электрона в данном состоянии.

1~ бл гцз и!з ~гйз 1 ! 6л ~лд !!с ! 1,; !бл ! дз — — — 1 соз — х цз го 1 1 бл2! . 6."г !) — — з!и — — з)п — — ~ = — — — (з)п4л-з!п2л)= —. 3 бл 1 3 ! 3 3 бл и- Частица в одномерной прямоугольной "потенциальнои яме ' ши- Р иной ! с бесконечно высокими "стенками" находится в возбужденном состоянии ! л = 3 ). Определите, в каких точках "ямы" (О ~ х ~ ! ) плотность вероятности обнаружения частицы: 1) максимальна; 2) минимальна. Поясните полученный результат графически. ! ! 5! ! 2! ОщВЕ)И 1) в=шах при я= — —, —, 2) зг=шзл при х= 6'2' 6 3' Вычисления: Ответ Г2п+ 1 ! = йл.! У Зт1гТ 4э " О!8 Еэ 9 оЕв в 16 = 0,26.

Е, 64 ~ээ'= 81 ОтВЕт Уменьшается в 3 раза. 2т!г 2т = — Е, г Ь л й л я = 12л э-1) — - л 2т!г т1г 2т э! = —,(Е-Б) й 2) —,+в) эРг — -О, д Рг дх Ответ ле„=оз5 1о-" зв, д эдэ ,ь;~э=О, дх 2т !г- = — Е. э — г Ь О Определите, при какой ширине одномерной прямоугольной "потенциальной ямы" с бесконечно высокими 'стенками" дискрет ность энергетического спектра электрона сравнима с его средней кинетической энергией при температуре Т. г г (2и+1) —,= — 8Т, 1=Ьд; (— Ь л 3 2пэ1 2т! 2 ' ЗтlгТ Докажите, что энергия свободных электронов в металле не кван гуется.

Примите, что ширина ! прямоугольной "потенциальной ямы' с бесконечно высокими " стенками" для электрона в металле составляет 1О см. Частица находится в одномерной прямоугольной "потенциазыюй яме" с бесконечно высокими "стенками". Определите, во сколько 'раз изменяется еняется отношение разности соседних энергетических уровней ~!зЕ„„ь,~Е„частицы при переходе от л = 3 к л' = 8. Объясните физическую шность полученного результата. Частица с энергией Е движется в патожнтельном направлении оси х и встречает на своем пути прямоугольный потенпиальныи барьер высотой 11 и конечной шириной 1, причем Е < 11 .

Запишите уравнение Шредингера для областей 1, 2 и 3, 2и 1'! = )гз =1 — зЕ '!'ь,з ' 2 ~У-я~ й А,=1 Ответ 2) = 0,1. Ответ ~' =10. 02 Ответ 11! — е) = о 454 зВ. . фц1~! ° Для условия з апач и 6 106 запишите решения уравнений Шрелин. гера для областей ! 2 и 3 тз -Функция обычно нормируется тал, что А, =1 Прелставьте графически качественный вид 9'-функций. 1) тч = е' и + д е вп 2) фз=Азе-Д +В еД' 3) фз =Аз е'"и Электрон с энергиеи Е = 5 зВ движется в положительном направлении оси х, встречая на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотой У =1О эВ и шириной ! = 0,1 нм.

Определите коэффициент В прозрачности потенциального барьера. Прямоугольный потенцишчьный барьер имеет ширину ! = 0,1 нм. Определите в электрон-вольтах разность энергий !! — Е, при которой вероятность прохождения электрона сквозь барьер составит 0,5. . нергией Е = 5 эВ движется в положительном направПротон с энерги " ленин оси х, встречая на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотои =- э и " У =-10 В шириной ! = 0,1 нм. Определите вероятность прохождения протоном этого барьера. Во сколько раз надо сузить барьер, чтобы вероятность прохождения его протоном была такой же, как для электрона цри вышеприведенных условиях. Отевт 1Р =1,67 10;, = 42е. ! !' Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину ! = 0,1 нм. Разность между высотой потенциального барьера и энергиеи движу егося в положительном направлении оси х зл тр ек она 1) — Е=5 эВ.Опрешего делите, во сколько раз изменится коэффициент прозрачности О потенциального барьера для электрона, если разность !) — Е возрастает в 4 раза.

Ответ 1) ~1 М =О, д М1 дхг г 2т х = — Е. г ) г гтг=о, д-р, г 2т яг = —,(Š— У) л (я — У)~Е Ответ 1) р, (х) = е' " е В, е а'" /2тЕ 1 Л 2) гр~(х)= А еа" Е,=о, (,518;г (519) р движется в положительном направлении Частица с эне гней Е оси х и встречает на своем пути бесконечно широкий п ямо нциальныи барьер высотой У, причем Е > У. Запиши ем . апишите уравнение Для условия залачи б.112 запишите решение уравнений Шредингера для областей ! и 2 чг -Функция обычно нормируется так, что А =1.

П , — 1. редставьте графически качественнь тг -ф ги вид 1г -функций, ,"1'~К вЂ” У~ л Частица с энергией Е = 10 эВ лвижется в положительном направлении оси х. встречая на своем пути бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой У = 5 эВ. Определите коэффициент преломления п волн де Бройля на границе потенциального барьера.

2) г ~ 1гггРг = О, чУг г дх Ответ л = 0,707. Электрон сдлинойволны де Бройля А, =100 пм,двигаясь в положительном направлении оси х, встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой У = 100 эВ. Определите длину волны де Бройля после прохождения барьера Частица с энергией Е = 50 эВ, двигаясь в положительном направлении осик, встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой У = 20 эВ. Определите вероятность отражения частицы от этого барьера.

И' Е>Е, /г~ >l~г, Отвею )т = о,о)б. (~ГŠ— ГŠ— СI ) (Ее Š— У) — 2(Е -,Я- и ~~И- )4 Л+Л:и ' Вычисления: Л25-,Г25 Р= — = 0146 8), ,Г Л-и (01 1 '02 22Е" ОгЕ l й1 1) — 2+ 1!1 2(21 = О, дФ, дх 0(2лОЕ ! )2 2 2) —,1- (Оэ2(2а =-0 а-р, дх '2 10 -221 (Оэ = Ь ЛОΠ— ЛОΠ— 2ООГ 2 — 2 М= (= — =! ЛОО+ 2100-200; 3+2 02220- 02 Л Е<и (а= Р, Е2 -= (520,'> Я~) Частица массой т =10 кг, двигаясь в положительном наврав. ленин оси х со скоростью и = 20 мlс, встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугсдьиый потенциш1ьный барьер высотой Ь' = 100 эВ Определите коэффициент отражения Р волн де Бройля на границе потенциального барьера, 10 .(20 м,'с) Е= ' -=2.10 ' Дж =125 эВ. 2 Частица с энергией Е движется в положительном направлении оси х и встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный потенциальнь1й барьер высотой (2', причем Е (2'.

3 ем < . апишите уравнение Шредингера для областей ~ и 2. Электрон с длиной волны 2 де Бройля, равной 120 пм, движется в положительном направлении оси х и встречает на своем пути беспечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой У = 200 эВ. пределите коэффициент отражения !О волн де Бройля иа границе потеициьного барьера. (ОЫЧИСЛЕНИЯ: (6,63 10 ' Дж с) — 1,67 10 '~ Дж =100 эВ. 2 9,11 10 " кг (1,2 10 '~ м) )р,(о~' †. грг(х) = Аг(йг) е' '*, 1+ В>= Аг, /с! — В! т!= хгАг, гр!(0) =1+ В!, !рг(0) = А,, гр!'(О) = й! — ЙД, грг(0) = йгАг, г1, — 1!!В! = Iс А, 1+В! = Аг, В, =Аз — 1, !г! — (Аг — 1)lс! = хг г, г г!! 'с!+ !!г 2!1, 2Е! =И! е!1г)Аг ° 4г = х! + !!г 1г ~рг(~ = '. е"". г 2Е! !1! + !)г' /2 (У вЂ” Е! й 4Е Ответ г!! -!-!ф Ответ ~ ~г 4Е Г2 ! ./$ЯО- к! Ь л (522) Частица с энергией Е движется в положительном направлении оси х и встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный барьер высотой и, причем Е < и .

Принимая А, = 1 (как это обычно делается) и используя условия непрерывности волновой функции и ее первой производной на границе областей 1 и 2, определите плотность вероятности г ~грг(0~ обнаружения частицы в точке х = 0 области 2. г г г г 2!1! 2 1Е 2,/Е 4к 4к-ии Т -'4и- е (4к+ ьГи- к)(4к — .4и- к) к+ .4и- к — г4и- к+ и- к и Частица с энергией Е движется в положительном направлении оси х и встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой и, причем Е < и. Принимая А,=! (как вто обычно делается) и используя условия непрерывности волновой функ) ггнн н ее 'первой производной на границе областей 1 и 2, определите плотйость вероятности обнаружения частицы на расстоянии х от потенциального барьера. Я )= Ф'!оЯ 2(! А= 1! +йг (!р,(х)~ =)А е ' ( =О г гд ~р=о, 2 2й Решение Дано 2л аэ о= Т =1 м = 9,81 мlс' дР з — = Ае — 2аАх е дх 1 Ео = асао 2 Г Т=2л— Ы Ео = г )/! 2тЕАх яс асеАх 2 2 3 — баАх+4а Ах + /2 /2 ОтВЕт Е, =1,ОЗ 1О " эв.

аЕ 34яс/с /с 2/с 3/сс~тХ 3 ~ Г 3 2яс 2 )слс 2 "у = /сосо. =1,54 10 ' м. А= 524 ж', 'с~~ „.2 Докажите, что волновая функция г/с(х) = Ах е за может быть решением уравнения Шредингера для гармонического осциллятора, масса которого лс и постоянная квазиупругой силы /с . Определите собственное значение полной энергии осциллятора. д 2 с —,= — 2аАхе — 4аАхе +4а Ах е =-баАхе +4а Ах е дхз Зъ сл/с 2яс/с з саЕ т~/с — — + — х е —— .х =О, 2й 4йз йз »с 2йз Частица массой и движется в одномерном потенциальном поле (/(х) = /сс~//2 (гармонический осциллятор). Волновая функция. описывающая поведение частицы в основном состоянии, имеет вид с/э(х) = А е, где А — нормировочный коэффициент; а — положительная пос~оянная.