Гиперзвуковые течения вязкого газа (Дорренс У.Х., 1966 - Гиперзвуковые течения вязкого газа), страница 16

(4.63) суммарный поток тепла к поверхности можно записать Вида Ди Ци)т (1)и)л. Это раэдЕЛЕНИЕ ТЕПЛОВОГО потока на два члена: одного, обусловленного теплопроводностью, и другого, обусловленного диффузией, как будет показано, приводит для «замороженного» бинарного 8 у. Х. дорреяс -Решение уравнений (4.5!) — (4.53) ищется при различных предположениях относительно неявной зависимости величин С, Рг и 5ш от п1 и для различных значений констант скоростей реакций, которые определяют вели- чипу юл Весьма поучительным является исследование одного из простейших частных случаев задачи о теплопередаче в точке торможения, а именно случая «заморо>кенного» течения в газовом слое, когда в уравнении (4.51) де=0.

Рассмотрим выражение (4.35) 114 Гл. 4. Диссоииированный ла.иинарньгй пограничный слой пограничного слоя к очень полезному упрощснию. Введем следуюшне определения; Ку =— (ес)е (4.64а) а А а (4.646) тогда, из уравнений (4.57), (4.61) и (4.64а) следует, что ('У)е аеЛА (4.65) Подставим сначала соотношение (4.65) в уравнение (4,53), а соотношение (4.646) в уравнения (4.5!) и (4.52), затем вычтем уравнения, получившиеся после этих подстановок, из предыдуших. В результате, помня, что гол=О, получим следующие уравнения для «замороженного» течения: (4.66) (4.67) (4.68) — ' — (1")т ~ О, р что достаточно хорошо выполняется для болыпинства пограничных слоев и холодной стенки').

Граничными ус- '1 Уравнение (4.67) строго справедливо только в случае обтекания плоской пластины. Мы пренебрегаем членом в правок части уравнения (4.52], учитывающим градиент давления, только ради удобства, так как мы алесь рассматриваем решение в критической точке. где для уравнения (4.67) предполагается, что член, характеризующий влияние градиента давления на уравнение импульса, пренебрежимо мал по сравнению с оставленными членами. Это предположение эквивалентно условию, что 4.б.

Приближение «замороженного» согронинного слоя 115 ловиямн уравнений (4.66) — (4.68) будут следующие: 2(0) = з„, я (со) = 1, (' (О) = ( (0) = О, (' (са) = 1, (4.69) 87(0)=(ау). 87( )=! Кроме того, используя соотношения (4.35), (4.49), (4.50), (4.62), (4.63), (4.64а) и (4.64б), можно показать, что — « = 1',„(гг [[ — ') ] [«уан»х.

(4.70) где вблизи точки торможения го = а и,=з ~ — ') и )г=О для двумерного тела, )г= 1 для тела вращения. Выражая тепловой поток через число Нуссельта, где — фиаьр Нп= Еж (7« ~«е) (4.71) Ве и«с ') ь1 Т. У., 14 а И а гп а 1 си В Т., У. Ае«онаиа Зс)., 22, 507 — 615 (1955). '1 1. е и у 5., д Ае«оаииг. осг., 21, 459 — 474 (!954), можно показать, что щ —— ](77) д',(0)-+7 е йааее~(0)], (4.72) е «е где значения величин 8»'(0) и а' (0) должны быть найдены из решения уравнений (4,66) — (4.68) с граничными условиями (4.69). В литературе имеются решения уравнений (4.66) — (4.68), удовлетворяющие граничным условиям (4.69) для некоторых специальных случаев. Ли Тинг-и и Нагамацу ') получили решение уравнения (4.67), связанного с уравнениями (4.68) и (4.66), для С=! и Рг или Ят=-1; Лсвпа) получил решение для 116 Гл.

и Дывооаыырованный ломинарный аограныынв~й слой С=1 и Рг или Ьш=1 или 0,7; Коэн и Решотко ') получили решение для С=! и Рг или Ягп=1. Допуская, что эти решения являются специальным случаем (Рг и Ят мало меняются в пограничном слое, а С меняется достаточно сильно в пределах от 1 до 0,2), тем пе менее следует согласиться с тем, что они соответствуют реальному случаю и могут быть использованы нами здесь для отыскания н построения точного решения, полученного с использованием полных уравнений без каких- либо упрощений. Из точных решений следует, что я' (О) ж 0,47 Бшпг[! — а (О)[ (4.73) и д' (О) — 0,47 Рг'гг [1 — и (О)) (4.74) с точностью до бо/о.

То, что выражения для а'(О) и д'(О) имеют этот вид, можно заключить из решений уравнений (4.66), (4.67) и (4.68), которые выражаются в квадратурах, если предположить, что С = сопз1 = С ; здесь а ~; г) = — , '(.*р [ — 1 — га ~гв~ гв эгг~ о 1 о при 2=8ш, 1 или Рг. Кроме того, из граничных условий для уравнения сохранения импульса, следует, что 7(0) =.1'(О) =О. Отсюда с использованием разложения в ряд Тейлора следует, что 7(П)=(ы(0) — ", + ..., ') С а Ь е и С, В., к е в Ь о ! н а Е., ЫАСА кер1.

1293, 1956., еб, Приближение егалороженногог пограничного слоя 117 где, как можно показать из решения для 7и(0), г(о) = д,. 0,47 Тогда уравнение (4.75) перепишется в виде 0(со; Х) ж — ) ехр~ — —, (0,0783) чг1г74). (4.76) о Обозначим теперь $ = 0,078371з Я См тогда 0,788СИг ь я2/3 х~ и, таким образом, используя (4.77) в уравнении (4.76), мы получаем феи сг (оо; Х) = 0,785 —, [ ехр ( — ь) —, о (4.77) нлн сг(со; Е) ж0,785 —,, Г ~ — ) =0,785 — „, ЗГ[ — ~, ход 0(оо; 2) = 2,11 —,, Отсюда, например, следует ы„' (О) ',рг [1 — Я„(0)[ (4.78) 0,47 Ргнг [ а оценивая гамма-функцию, мы получим в первом приближении 118 Гж 4.

Диссоциированньсй ламинирнмй нограниннмй слой и появление соотношений (4.73) и (4.74), таким образом, оправдано, поскольку для большинства случаев С=1. Решение уравнений (4.66) и (4.68) связано с решением уравнения (4.67), так как решение уравнения (4.67), ((г1), представимо явно через функцию 6(оо; с.). Процесс нахождения различных необходимых решений включает ряд итераций. Подставляя выражения (4.73) и (4.74) в уравнении (4.70) и (4.72) и используя уравнение (4.66), получаем — 6 =0,66Рг " (р,р,)се~( — „') 1 Х Х (Ус — й,„)(1+(1 е'гз — 1) ' 1 (4 79) и „, =0,66Ргье)1+(1 еиг — 1) ' 1, (4.80) (йесс) р ~е аи) где й=1 (осесимметричный поток), С=1= Р'"' асср си и йс — йх (ие схе). о Хотя уравнения (4.79) и (4.80), как было показано, строго применимы к течению в «замороженном» погра. ннчном слое при С=-1, тем не менее, н это будет подтверждено в дальнейшем, они с достаточной точностью аппроксимируют решение общего случая; впервьге это утверждение было высказано Лнзом ') и будет нами обосновано ниже.

Отметим сходство уравнения (4.79) с приближенным уравнением (4,47), выведенным в п. 4.4. 4.6. Решение в критической точке. Теперь, когда мы рассмотрели и получили некоторое представление о природе результатов для тсплопередачи в точке торможения в специальном случае замороженного течения дис.

социирующей бинарной смеси с постоянными значениями Рг, Бт и С, мы вернемся к точному решению этой за- ') 1.ее в 1, тес РгориЫоп, 26 (4), 269 — 269 (1966). 4.д Рееиеиие в критическое! точке 1!9 дачи без каких-либо ограничений относительно изменения величин Рг, 5п! н С по т! и при произвольных значениях скоростей химических реакций. В качестве исходных уравнений мы рассмотрим уравнения (4.5!)— (4.53); в качестве граничных условий — условия (4.59).

Поскольку мы рассматриваем теченис в окрестности точки торможения, а=О и в окрестности этой точки вы. полняются следующие равенства: г,=з, ив =а ~ —;), откуда 2е Ни ие е!е 1 -е = — =2, й=-О нли 1. к+1 Последний член в уравнении (4.5!) с учетом сделанных замечаний запишется тогда так: 25 и) А ЕА Рреие нето еее (а + 1) (е!и,ф!е) А,+)( А ~ А+А+~ А ~, показали, что ек -ад кк (еА) ( + !) (тувиме)о 1+иекк где О=О(п)= — (и), Т те а = равновесное значение а = а'(т!) с,=к,р'„т,.-"~~ — "„" ~ ~ (4.81) ') Гау д Ае й!е1де!! Г.

К., У, Аееоиаиа ое!., 28(2), 73 — 88 (!958). Фэй и Ридделл '), используя правдоподобные предполо- жения относительно кинетики химических реакций 1Ю Гл. 4 Диссоииированный лимикиркл~й логриничкый слой а ро н Те — равны соответственно значениям давления и температуры торможения набегающего потока. К, непосредственно связано с йн '). Параметр С, можно рассматривать как отношение характерного времени течения к характерному времени реакции (диссоциации). Если значение С, велико, течение близко к равновесному.

Если значение С, мало, то преимущественно диффузия определяет профили концентрации атомов в пограничном слое. Наша система уравнений имеет следующий вид: — +/за+ Сгй ' а, = О, (4.82) (=') ' +. = (С~и)'+Ци-(- „( 1 ~ — ' — (~')з] =О, (4 83) ~ — д'1 + )д'+ — ( Р (1.е — 1) (йл — лм) а,аа) = О; (4.84) необходимо добавить еще дополнительные соотношения, связывающие величины Т, д, (' и аА. Из уравнений (4.6), (4.18), (4.19), (4.26), включая (4.27) и (4.46), следует, что в случае бинарной смеси справедливо соот- НОпгЕНИЕ а(Ч) е е А(Ч)АА 2 11 (Ч)1 а,ал(т() Ср +(1 — а,аа(Ч)) Ср которое является недостающим соотношением между Т и й, Т' и а.

Ср и Ср — соответственно удельные теплоемкости атомов и молекул. Уравнение (4.85) может быть использовано вместе с уравнениями (4.82) — (4.84) для нахождения явного дифференциального уравнения относительно Т(т() з). ') Приведенные выше соотношения детально рассматриваются в п. 5.9. '1 Фзй и Ридделл использовали преобразования, включающие независимую переменную з, н уравнение (4.50) с произведением р р вместо р,р„как принято в нашем случае, так что параметр С у них имеет аид С=рр/р~р, а не С=рр/р ре.

Это привалит к ана. логичной системе уравнений при аналогичных граничных условиях, !2! 4.д Решение и критической тачке Граничные условия задачи имеют вид 2(0) =2, 2(оо) = 1, ((0) = )' (0) = О, )' (оо) = 1, 8(О) = д„, йт(оо) = 1, д'(со) = О. Фэй и Ридделл нашли решение этих уравнений для значений параметра Сн изменяющегося в пределах от 0 до оо, при постоянных значениях чисел Рг=0,7! и 1е=1,0; 1,4 и 20 (Рг=Яш1е). Скала и Болкнайт') получили решения тех же уравнений для значений параметра С!=0 и оо (соответственно для случаев «замороженного» и равновесного течений) и для заданных значений чисел Яш, Рг и 1.е, которые изменяются в пограничном слое согласно локальным значениям термодинамическнх функций и концентраций компонентов.