В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (В.А. Зорич - Математический анализ), страница 9

Мы вступаем в против речие с законом исключенного третьего. ф Эта теорема, в частности, показывает, что если бесконечные множест существуют, то и «бесконечности» бывают разные, 2. Об аксиоматике теории множеств. Цель настоящего пункта — даты тересующемуся читателю представление о системе аксиом, описывающих свойст математического объекта, называемого иножествои, и продемонстрировать п1 стейшие следствия этих аксиом.

114>. Бернштейн (18?8 — 1956) — немецкий математик, ученик Г. Кантора; Э. Шрес (1841 — 1902) — немецкий математик, 1' Аксиома объемности. Множества А и В равны тогда и только тог< когда они имеют одни и те же элементьь Это означает, что мы отвлекаемся от всех прочих свойств объекта «множеств< кроме свойства иметь данные элементы. На практике это означает, что если ь желаем установить, что А = В, то мы должны проверить, что Чх Цх Е А) ««» (х Е В)). 2 Аксиома выделения.

Любому множеству А и свойству Р отвеча< множество В, элементы которого суть те и только те элементы множества которые обладают свойством Р. Короче, утверждается, что если А — множество, то и В = (х е А ~ Р(х)) — то; множество. Эта аксиома очень часто используется в математических конструкциях, ког мы выделяем из множеств подмножества, состоящие из элементов, обладающих т или иным свойством.

Например, из аксиомы выделения следует, что существует пустое подмножест <ох = (х Е Х ~ х ф х) в любом множестве Х, а с учетом аксиомы объемности закл чаем, что для любых множеств Х и У выполнено Ях = З1, т. е. пустое множест единственно. Его обозначают символом <о. Из аксиомы выделения следует также, что если А и  — множества, то А ~ В = (х Е А ~ х ф В) — тоже множество. В частности, если М вЂ” множество и А — е подмножество, то С««А — тоже множество. 3' Аксиома объединения. Для любого множества М множеств сущее вдет множество 0ЛХ, называемое объединением множества М, состоящее из и и только тех элементов, которые содержатся в элементах множества М.

Если вместо слов «множество множеств» сказать «семейство множеств», то е сиома объединения приобретает несколько более привычное звучание: существу множество, состоящее из элементов множеств семейства. Таким образом, объеди< ние множества есть множество, причем х Е 0М «=» Л Х ((Х Е М) Л (х б Х)). Аксиома объединения с учетом аксиомы выделения позволяет определить пе< сечение множества М (семеиства множеств) как множество ПМ:= (х <"= ОМ ! ЧХ ((Х Е М) =» (х Е Х))). 4 Аксиома пары. Для любых множеств Х и У существует множество такое, что Х и У являются его единственными элементами.

Множество Я обозначается через (Х,У) и называется неупорядоченной пар множеств Х и У. Множество У состоит иэ одного элемента, если Х = У. Как мы уже отмечали, упорядоченная пара (Х, У) множеств отличается от неу< рядоченной наличием какого-либо признака у одного из множеств пары. Наприм< (Х, У):= ((Х, Х), (Х, У)). Итак, неупорядоченная пара позволяет ввести упорядоченную пару, а упоря! ченная пара позволяет ввести прямое произведение множеств, если воспользовать аксиомой выделения и следующей важной аксиомой. 5' Аксиома множества подмножеств. Для любого множества Х < ществует множество '<<'(Х), состоящее из тех и только тех элементов, котор являются подмножествами множества Х.

Короче говоря, существует множество всех подмножеств данного множества. Теперь можно проверить, что упорядоченные пары (х,у), где х Е Х, а у Е действительно образуют множество Х х У:= (р Е Р(Р(Х) 0 Р(У))~ р = (х, у) Л (х Е Х) Л (у Е У)). Аксиомы 1' — 5' ограничивают возможность формирования новых множес Так, в множестве Р(Х) по теореме Кантора (о том, что сагь1 Х ( сахс1 Р(Х)) имее. элемент, не принадлежаьций Х, поэтому «множества» всех множеств не сущест ет.

А ведь именно на этом «множестве» держится парадокс Рассела. Для того чтобы сформулировать следующую аксиому, введем понятие после вателл Х+ множества Х. Положим по определению Х+ = Х 0 (Х). Короче, к добавлено одноэлементное множество (Х). Далее, множество назовем индунтивнььм, если оно содержит в качестве элемеь пустое множество и последователь любого своего элемента. 6' Аксиома бесконечности. Индуктивньье множества существуют. Аксиома бесконечности -позволяет с учетом аксиом 1' — 4' создать эталоны модель множества Мо натуральных чисел (по фон Нейману'1), определив 1чо ь пересечение индуктивных множеств, т. е. как наименьшее индуктивное множест Элементами )Че являются множества которые н являются моделью того, что мы обозначаем символами О, 1, 2,...

и на: ваем натуральными числами. 7' Аксиома подстановки. Пусть У(х,у) — такое высказывание (точи 4ормула), что при любом хо из множества Х существует и притом единств ный объект уо такой, что У(хо,уо) истинно. Тогда объехтьь у, длл каждого которых существует элемент х Е Х такой, что У'(х,у) истинно, образуют м жество. Этой аксиомой при построении анализа мы пользоваться не будем. Аксиомы 1' — 7' составляют аксиоматику теории множеств, известную как . сиоматика Цермело — Френкеля~ь. К ней обычно добавляется еще одна, независимая от аксиом 1' — 7' и часто пользуемая в анализе 8' Аксиома выбора.

Длл любого семейства непустььх множеств сущес вует множество С такое, что, наново бы ни было множество Х данного сем ства, множество Х й С состоит из одного элемента. Иными словами, из каждого множества семейства можно выбрать в точности одному представителю так, что выбранные элементы составят множество С, Аксиома выбора, известная в математике как аксиома Цермело, вызвала горя дискуссии специалистов. ь)Дж. фон Нейман (1903 — 1957) — американский математик. Работы по функциона ному анализу, математическим основаниям квантовой механики, топологическим групп; теории игр, математической логике. Руководил созданием первых ЭВМ.

~) Э. Цермело (1871 — 1953) — немецкий математик; А. Френкель (1891 — 1965) — нем кий, затем израильский математик. 2. Замечания о структуре математических высказываний и заю си их на языке теории множеств. В языке теории множеств имеются ~ базисных или, как говорят, атомарных типа математических высказыван1 утверждение х Е А о том, что объект х есть элемент множества А, и утв< ждение А = В о том, что множества А и В совпадают. (Впрочем, с учет аксиомы объемности второе утверждение является комбинацией утвержден первого типа: (х Е А) ~=~ (х б В).) Сложное высказывание или сложная логическая формула строятся из а.

марных посредством логических операторов — связок, Л, Ч, =: и кв; торов Ч, 3 с использованием скобок ( ). При этом формирование сколь уг< но сложного высказывания и его записи сводится к выполнению следуюи элементарных логических операций: а) Образование нового высказывания путем постановки отрицания пер некоторым высказыванием и заключение результата в скобки. Ь) Образование нового высказывания путем постановки необходимой св ки Л, Ч, ~ между двумя высказываниями и заключение результата в скоб~ с) Образование высказывания «для любого объекта х выполнено свой< во Р» (что записывают в виде Чх Р(х)) или высказывания «найдется объе х, обладающий свойством Р» (что записывают в виде 3х Р(х)). Например, громоздкая запись 3х (Р(х) Л (Чу ((Р(р)) =: (у = х)))) означает, что найдется объект х, обладающий свойством Р и такой, что ес у — любой объект, обладающий свойством Р, то у = х.

Короче: сущест~ ет и притом единственный объект х, обладающий свойством Р. Обычно:- высказывание обозначают в виде 3'.х Р(х), и мы будем использовать тм сокращение. Для упрощения записи высказывания, как уже отмечалось, стараются о~ стить столько скобок, сколько это возможно беэ потери однозначного тол~ вания записи. С этой целью кроме указанного ранее приоритета оператор -, Л, Ч, ~ считают, что наиболее жестко символы в формуле связываю~ знаками <=, =, затем 3, Ч и потом связками -, Л, Ч, =~.

С учетом такого соглашения теперь можно было бы написать 3.'х Р(х):= 3х (Р(х) ЛЧу (Р(у) =. "д = х)). Условимся также о следующих широко используемых сокращениях: (Чх Е Х) Р:= Чх (х Е Х ~ Р(х)), (3х 6 Х) Р:= 3х (х Е Х Л Р(х)), (Чх>а) Р:= Чх (хЕКЛх>а=~Р(х)), (3х > а) Р:= 3х (х <= КЛх > а Л Р(х)). Здесь К, как всегда, есть символ множества действительных чисел. » Л. ». ПЬГ У аигшыэощкаюил ЛЫип Лп и>~ л>Ли аюмю*ц ы * С учетом этих сокращений и правил а), Ъ), с) построения сложного высн зывания, например, можно будет дать однозначно трактуемую запись 1пп Дх) = А:= Че > О Зо > О Чх Е К (О < ~х — а~ < о =~ ~~(х) — А~ < е) Х-+О того, что число А является пределом функции ~: К -» К в точке а б К.

Быть может, наиболее важным из всего сказанного в этом параграфе явл ются для нас следующие правила построения отрицания к высказыванию, с держащему кванторы. Отрицание к высказыванию «для некоторого х истинно Р(х)» означа~ что «для любого х неверно Р(х)», а отрицание к высказыванию «для любогс истинно Р(х)» означает, что «найдется х, что неверно Р(х)». Итак, - Зх Р(х) «=~Ух Р(х), - Чх Р(х) «=~ Зх - Р(х).

Напомним также (см. упражнения к ~ 1), что - (РЛЯ) «Ф - Р~/- ф (Р~l Я) «=~ РЛ- 9, (Р => Я) «=~ Р Л Я, На основании сказанного можно заключить, что, например, ((Чх > а) Р) «=~ (Зх > а) Р. Написать в правой части последнего соотношения (Зх < а) — Р было бы, к нечко, ошибочно. В самом деле, - ((Чх > а) Р):= - (Чх (х Е К Л х > а =~ Р(х))) «=~ «=~ Зх - (х Е К Л х > а ~ Р(х)) «=~ «=Ф Зх ((х Е К Л х > а) Л Р(х)) =: (Зх > а) Р. Если учесть указанную выше структуру произвольного высказывания, . теперь с использованием построенных отрицаний простейших высказыван> можно было бы построить отрицание любого конкретного высказывания. Например, (1!т У~к) = А) с4 эс > О чд> О эт а Е К (О < ~х — а~ < Б Л ~У(х) — А~ > е).

Практическая важность правильного построения отрицания связана, частности, с методом доказательства от противного, когда истинность н которого утверждения Р извлекают иэ того, что утверждение — Р ложно. 'Упражнении 1. а) Установите равномощность отрезка (х Е %~ О < х < Ц и интервала (х Е Ж ~ О < х < 1) числовой прямой Ж как с помощью теоремы Шредера — Бернштей~ так и непосредственным предъявлением нужной биекции. Ь) Разберите следующее доказательство теоремы Шредера — Бернштейна ( 1Х < 1У) Л( аУ < 1Х) = ( 1Х = У). ~ Достаточно доказать, что если множества Х, У, Е таковы, что Х Э У Э 2 сагд Х = сагд 2', то сагдХ = сагс1У.

Пусть ~: Х вЂ” » 2 — биективное отображен1 Тогда биекция д: Х вЂ” ~ У может быть задана, например, следующим образом: ~(х), если х Е 7 (Х) ~ 7 (У) для некоторого п Е М, у(х) = х в противном случае. Здесь ~" = ~ о... о ~ — и-я итерация отображения ~, а 1Ч вЂ” множество натуральн1 чисел. Ь 2. а) Исходя из определения пары, проверьте, что данное в пункте 2 определен прямого произведения Х х У множеств Х, У корректно, т.