(Фейнман) Лекции по гравитации, страница 4

Ободренный этой аналогией, Фейнман рассматривает квантовую теорию гравитации "просто как другую квантовую теорию поля", такую как квантовая электродинамика. Так, в лекциях 1 — 6 он задает вопрос: можем ли мы найти разумную квантовую теорию поля, описывающую безмассовые кванты со спинам 2 (гравитоны), взаимодействующие с веществом в обычном плоском пространстве- времени Минковского? Классический предел такой квантовой теории должен был бы определяться уравнением поля эйнштейновскай теории относительности.

Поэтому, для того, чтобы убедиться в виде классической теории, Фейнман привлекает внимание к характерные особенности квантовой теории, которые должны лежать в основании теории. Геометрические идеи проникают в обсуждение Фейнмана только через "черный вход" и развиваютси первоначально как технические средства для того, чтобы помочь в построении приемлемой теории. Так, например, тензор кривизны (Римана), являющийся узловым пунктом общепринятой формулировки общей теории относительности, вводится Фейнманом первоначально (6.4) только как средство для построения членов в гравитационном действии, удовлетворяющем требуемым свойствам инвариантности.

Действительно, только в лекции 9 (разделе 9.3) лекций Фейнман показывает, что кривизна имеет интерпретацию через параллельный перенос касательного вектора по искривленному пространственно-временному многаабразию. Критической особенностью квинтовой теории является то, чта безмассоиый граинтон со спинам 2 имеет только два состояния свирвльностн. Таким образом, классическое гравитационное поле также должно иметь только лве динамические степени свободы. Тем ие менее, классическое гравитационное поле, которое соответствует частице са свином 2, ивляетси симметричным тензором Л„„с десятью компонентами. На самом деле, четыре из этих компонент Лов, Ло» (ври 1 = 1,2,3) ивлиютси иединвмическимн свюавными переменными, таи что у нас остаетси только шесть динамических компонент Лц дли того, чтабы описать состоянии с лвумя физическими спиральиостимн.

Из-за тою, что есть несоответствие между числом состояний частицы н числом полевых компонентов, слелует, что квавтоввя теории полк и отсюда также и соответствующая классическая Предисловие теория являются в большой степени теориями со связями. Пля того, чтобы разрешить зто несоответствие, необходимо включить в теорию избыточность так, чтобы многие различные классические полевые конфигурацви описывали одно и то же физическое состояние. Лрутнми словами, это должна быть каяибровочная теория. Для безмассового поля спина 2 может быть показано, что необходимый калибровочный приншш является условием общей ковариантности, что приводит к эйнштейновской теории.

В лекции 3 Фейнман построил квадратичное действие безмассового поля спина 2, которое линейным образом связано с сохраняющнмся тензором знергнн-импульса. Он объясняет калибровочную инвариавтность результирующего линейного полевого уравнешш в разделе 3.7 и дает комментарий в разлеле 4.5 о том, что можно сделать вывод о нелинейном самовзаимодействии поля, основывэлсь на требовании калибровочной инвариантности амплитуд рассеяния. Но Фейнман не доводит эту программу до конца. (Он только замечает, что это довольно трудно было бы сделать.) Вместо этого, он использует довольно отличный от этого подхода метод для того, чтобы получить эйнштейновское нелинейное классическое полевое уравнение, метод, основное внимание в котором сосредоточено на менрошвворечиэосглм Так как линейное полевое уравнение для свободного безмассового поля со сливом 2 с необходимостью имеет калибровочную инвариантность (для того, чтобы устранить ненужные состояния спнральности), общие модификации такого полевого уравнения (такие, как модификации, которые возникают тогда, когда поле спина 2 связано с материей) не допускают никаких решений.

Новые члены в модифицированном уравнении должны удовлетворять нетривиальному ус юввю меврошиеоречиеосгли, которое существенвым образом является требованием того, что новые члены удовлетворяют калибровочной симметрни. Это условие вепротнворечивости оказывается лостаточвым при указании пути в направлении специфического эйшцтейновского множества нелинейных связей и соответствующего нелинейного полевого уравнения. Более подробно: задача, как она сформулирована в разделе 6.2, состоит в том, чтобы найти функционал действия г [Ь] для поля спина 2 такого, что гравитационное полевое уравнение (П- ) согласуется с уравнением движения вещества. Здесь Т"" есть тензор энергии-импульса вегцества.

В лекции 3 Фейнман находит квадратичное выражение для г, которое удовлетворяет согласованному линейному полевому уравнению до тех пор, пока сохраняется тензор энергии-импульса вещества (для случая специальной теории относительности) Т"", = О. Беспокойство возникает тогда, когда поле Ь„взаимодействует с веществом так \ что вещество действует как источнвх Аи~, уравнение лвижения вещества модифипнруется гравитационными силами и величина Т"",„не оказывэет- Предисловие 19 ся более нулевой. Таким образом, полевое уравнешге для Й„„н уравнение движения вещества оказываются несовместнымн; эти уравнение не допускают одновременных решеш~й.

В этом состоит проблема непротиворечивости (линейной теорви) . Используя требования того, что нолевое уравнение удовлетворяется тензором Ь„совместно с уравнением движения материи, Фейнман сделал вывод о том, что нелинейные поправки более высокого порядка должны быть побавиеиы к действию г. Требование непротиворечивости может быть облачено в форму приншща инвариантности, которому удовлетворяет действие, (с учетом этого принвнпа действие есть инвариант при общих коорлииатных преобразованиях). После этого фейнмановский анализ стал довольно общепринятым и привел к заключению о том, что достаточно общее согласованное полевое уравнение, которое включает в себя не более двух производных, есть уравнение Эйнштейна (с космологической постоянной).

Результирующие нелинейные поправки имеют приятную физическую интерпретапию. Вез этих поправок гравитация не имеет связи сама с собой. Когда нелинейные поправки включаются в рассмотрение, источник для гравитационного поля (как он рассматривается в плоском пространстве- времени Минковского) есть полный тензор энергии-импульса, включающий вклад, обусловленный собственно гравитапнонным полем. Лругими словами, удовлетворяется (сильный) принцип эквивалентности. Закон сохранения, удовлетворяемый энергией-импульсом вещества, становится зйнштейновским ковариантным законом, 2"'",.„= О, который в сущности допускает обмен энергией и импульсом между вепиством и гравитациеи.

Мы знаем из фейнмановских комментариев, сделанных в 1957 году на конференции в Чапел Хилл [ПеЪ% 57], что уже тогда ои работал нэл вычислениями, описанными в лекциях 2 — б. Мюррей Гелл-Манн сообщал [ОеН 89], что Фейнман н он обсуждали различные вопросы квантовой гравитации в течении рождественских каннкул в 1954 — 55 годах, и что уже тогда Фейнман достиг "значительного прогресса" в этой области. Требование того, что елинственная разумная теория взаимодействующего безмассового полк спина 2 является по супжству обшей теорией относительности (или хорошо аппроксимируется общей теорией относительности в низкоэнергетическом пределе), довольно часто высказьвзается и сегодня.

(Например, доказывается, что так как теория суперструн содержит безмассовые частицы спина 2, это может быть теория гравитации). Фактически, Фейнман не был самым первым, кто высказал это требовэ вие. Полевое уравнение для свободного безмассового поля спина 2 было выписано Фиртцем и Паули в 1939 году [Р1Ра 39]. С того времеви идея рассмотрения эйнштейновской гравитации, как теории поля спина 2 в плоском пространстве, изрелка встречалась в литературе. Тем не менее, насколько мы знаем, первая опубликованиак попытка вывесши нелинейные связи в теории Эйнзптейна в рамках такого подхода появилась в работе Сурая Гу- 20 Предисловие Предисловие пты в 1954 голу [Сарс 54].

Гупта заметил, что действие в теории должно подчинятьсл нетривиальному условию непротиворечивости, которое удовлетворяется в общей теорви относительности. Тем не менее, он ие привел никакого детального аргумента в пользу едивссааеввостлв полевого уравнения Эйнштейна. Грубо говоря, аргумент Гупты состоит в следующем. Мы хотим построить теорию, в которой "источник", связанный с безмассовым полем спина 2, есть тензор энергии-импульса, включающий энергию-импульс самого поля спина 2.

Если выбрать источник поля таким образом, что он есть тензор энергии-импульса зТ"" теории свободного поля (которая квалратична по Ь), то связь этого источника с тензором Ь„приводит к появлению кубического члена в лэгранжиаие. Из этого кубического члена в лагранжиане может быть выведен соответствукнпий кубический член з Т"" в тензоре энергии-импульса, который тогда включается в источник. Этим порождается член четвертого порядка аТ"" и тал далее.

Эта итерационная продедура порождает бесконечные ряды, которые могут быть просуммированы для того, чтобы получить полные нелинейные уравнения Эйнштейна. Гупта кратко описал зту процелуру, но на самом леле не довел ее до завершения. Первая полная (и особенно элегантнэл) версия была опубликована Лезером э 1970 году [Пеле 70], Пезер таклсе заметил, что теория Явга— Миллса может быть выведена, исходя иэ подобного подхода. За несколько лет до работы Гупты, Роберт Крайчман, тогда 18-летний студент Массачусетского Технологического Инстнтута, также изучал проблемы вывода общей теории относительности ках непротиворечивой теории безмассового полл спина 2 в плоском пространстве. Он описал свои результаты в неопубликованной диссертации на степень бакалавра [Кгас 47].

Крайчман продолжил исслелования по этой проблеме в Институте Перспективных Исследований в 1949 — 1950 годах. Он вспоминает, что хотя он н получил некоторое одобрение от Брайса Ле Витта, очень немногие нз его холлег поддерживали его усилия. Эта группа определенно включала в себя самого Эйнштейна, который пришел в ужас от такого подхода к гравитапии, отвергавшего его собственное геометрическое понимание, полученное им в результате огромной проделанной работы, Крайчмаи не публиковал никакие из своюс результатов до 1955 года [КгМ 55, Кга1 56], когда он наконец нашел вывод, который его удовлетворил.

В отличие от Гупты, Крайчман не предполагал, что гравитация взаимодействует с полным тензором энергни-импульса. Скорее всего он, как и Фейнман, выводил свой результат как следствие нецротиворечнвости полевых уравнений. Кажется вероятным, что Фейнман совершенно ничего не знал о работах Гупты и Крайчмала. Мы должны были бы указать на то, что анализ Фейнмана весьма далек от наиболее общего анализа, который можно было бы провести (анализ Фейнмана является существенно менее общим, чем анализ Крэйчмана).

Фейнман прецполагэл некоторый частный вид для действия вещества (которое соответствует действию для релятивистской частицы) и далее предполагал строго линейную свюь поля вецсества спина 2 (катарах была бы невозмолсна для более общего действия для материи). В частности, отметим, что все физические предсказания теории не менлютсл, если проводится нелинейное локальное переопределение полл саина 2; мы вольны сделать замену Ь„(х) на Ь„„(Ь(х)) = Ь„(х) + 0(Ь(х)з). Фейнмал косвенным образом устранил эту свободу для того, чтобы делать подобные переопределеюся исходя из требования, что взаимодействие с материей должно быть линейно по Ь.

(Полевые переопределения рассматривались летально Боулваром и Лезером [ВоПе 75].) Значительно более общий анализ условия непротиворечивости для полевого уравнения проводился позднее Водном [%'аЫ 86] и привел его в конце коннов к заключениям, аналогичным тем, к которым пришли Крайчман н Фейнман. Совершенно лругой подхол к выводу формы гравитационного взаимодействия был разработан Вейнбергом [ЪЧе1ц 64а, ЪЧе1п 64Ъ].