Теплопередача (Исаченко В. П. Осипова В. А. А. Сукомел С.), страница 11

При этих условннх теипература вдоль линна теплового патоке будет измеиятьси по линейному закону (рис. 2-17). Г! При заданной температуре у основания ребра Д и при температуре вершины ребра, близкой к температуре окружающей среды ! ., в силу. одномерности задачи для любого сечения ребра можно записать: Рис.

2-17. Ссчеиие Ребра и иимального кеса. ! — г. = — „(1,— ! ), (2-99) где х — расстояние па оси ребра от его вершины; й — полная высота ребра. Рассмотрим элемент поверхности ребра на расстоянии х. Пусть этот участок поверхности образует с осью ребра угол и. Если плотность теплоиого потока вдоль оси ребра ранна д, то через рассматриваемый элемент поверхности ребра ова будет равна Е в!и!с (рнс. 2-17). Т!ри этом должно быть справедливо соотношение дз!пм=п(! — 1„,), и ~и (2-100) де)пр= — — л(1,— ! ).

Ь Из равенства (2-!00) следует, по угол тр является функдией только х: в, зшр=фх. !2.100) Контур ребра, найденный указанным методом, представляет собой дугу окружности с радиусом г, так как з!пф-к/г. Иэ уравнений (2-100') следует, что гй Ей!пбь Доказано, что такой профиль ребра. 5? (200!1 образованный дугамн окружности, обладает минимальной массой. Такое ребро и ребро треугольного сечения по массе отличаютгл очень малс. По технологическая причинам проше изготовить ребра треугольнога профиля, поэтому на практике они используются чаще, чем ребра, образованные лугой окружности. Ребро треугольнагр и трзпе) — хт — 1 — б,' ц и е в н л н о г о с е ч е н и я.

В практике иаш- ли широкое применение прямые ребра как . Р;.~;Рг;;-,':;с,'г) греугольнагосечеиия с острой вершиной,так ,ч ч"ф.бмф; и с усеченной вершиной — трапециевидные. 777 ' 'Яб фб Пусть заданы размеры трапециевидного РебРа (рнс. 2-18) и избыточная температура бл у его основания. За начало координат Рв«.

2-)8. пепе»ос тез»атм че аслесообразно принять вершину треугильгез прямее ребра шзаеаиевка- ника, направив ось х вдоль оси симметрии ного сеченая. ребра Прн этом веитор плотности теплово- го потока 4 будет направлен в сторону, про-. тивоположну|о положительному направлению оси х (Л. 124). Для такого ребра площадь иоперечиого сечения 1 будет функцией только координаты х: (=18=2(х(2 Р. (а) Количество теплоты, которое будет отдаваться в окружаюп(ую среду с элемента ребра бх, будет равно: б~д) — я» 7)=аиббх', (Лз Л (б) где а -- коэффициент теплоотдачи на поверхности ребра; и — периметр сечения ребра на расстоянии х, который можно выразить как я=21; л(х'=г(х/соз и.

Произведя дифференцирование выражения (б) с учетом соотношения (а), получим: —,+ — — — — В=О. ла ! ю (в) я»* » я» х лиат После введения новой переменной х=(а(Лз)п6)х уравнение (в) приобретает вид: и'а ! яе —,+ — — 0=0. З» + з яг Дифференцвальноеуравнепие (2-!01) есть модифицированное уравнение Бесселя, решение которого имеет вид: 8 С 1»(2У7)+ СаКе(2) "а ) (2-10») где !з и Ке — модифицированные функции Бесселя первого и второго рода. Постовнные С~ н Ст в уравнении !(2-102) находятся из граничных условий, которые для рассматриваемого случая запишутся так: при х=хг имеет место 6=-6» Если пРенебРечь потеРЯми тепла с тоРца РебРа, то пРи х=хз имеем 6=67 н (бб(бх)„=0. После определения постоянных Сг и Сз получим: лля текушей температуры в ребре 8 ), (7У») К,(2Уг,)+),(2)'х,!К,(21' ) ' 7, (2 У»,) К, (2 Уж) + ), (2,) К, (г Ух)Л( для температуры иа конце ребра <,<2Ум) К,(2Ум)+<,(2У.) К,(2У*,) '<,<грл)К,<2Ум)+<,(2Ум)К.<2Ул) ' Тепловой поток можно определить по закону Фурье: [2-!04) 1(, ,(2Улж) К,(2Уе,) — <,(2УУДК,<2)'з)] ( Г,<трл,)К,(2.Улл) т< <2 Уел) К.21 лП При пользовании этими формулами теплоотдача с торца может быть учтена условным увеличением высоты ребра й на половину толщины его торца бл/2 Веля ребро имеет треугольное сечение, то н этом случае щ=О, а следоватепьно, н в.=0, /,(0) =0 и формулы (2-103) — (2-!05) принимают вид: (2-105) (2-1Сб) (2-)ОУ) (2-105) Г (2Уе) (.2 Уе, й,=б, Г,<2~ л,) «Е,а,! ( Г,(22 л) < *.и т 1 «,22",) ) 5<аксвмальный тепловой поток через ребро треугольного сечения данной массы будет имщь место прв выполнении равенства (2-109) Формулы (2-103), (2-10<) и (2-105) громоздки п неудобны аля практических расчетов.

Поэтому расчет ребер переменного сечения можно свести к методике расчета прямьж ребер постоянного сечения. В этом случае О"= Р"Ф (2-! 10) )1' Т где (гт — количество передавае. мой теплоты в едииицу времени; /ж — поверхность охлаждения гд .Иле ребра; д=<;1/Р— плотность тепло. ваго потока Лля прямоугольного ребра, длина, высота и толщвна которого равны длине, высоте и толщине суженного ребра; е"= р пг л" сл и" хл =/(<В/Ог, бл/бг) — поправочиый рлс 2 <в е -/<в(лв, в,/в,) — еслеиеганоэффнциеит иа суженяость реб- ми элиа тра<ми ллл расчете ребре трапера; в" опревеляетсп по графику мл.лилнсгс л трегпщ а|с еменза.

рис. 2-19. Нижняя кривая (при бл/5,=1) соответствует прямому ребру постоянного сечения, а верхняя (<Ц/бе=О) — треугольному ребру. Отношение бг/О, вычисляется ио форм>ле (2-И). Теплоотдача с торца ребра при этом учитывается путем увеличения высоты ребра Ь на половину толщины торца. т! з-тт. 1ЕППОП3'ОВОДНОСта ППОСИОИ пОпуОграниченнОЙ ОднОРОднОЙ ппастнны а*г ач —,+ —,=0 ил' др' —,+ —,=О, д% ФФ дх рг' (2-П1) где Π— избыточная температура, отсчитанная от Гг, т. е. 6=! — Гь Граничные условия: (О при х=0, Д (2-11л] (О при у — ео; )(х) — Гт=р(х) прн у=0.

)(ля решения уравнения и частных производных (2-П1) воспользуемся методом разделения переменных'. Предположим, что 6= )(х, р) О(х)ф(у). Тогда уравнение (2-П1) приводится к виду = — — сопя!. Р" 06 4" !Р) РОО ФОО (2-П 3) Правая и левая части уравнения одииакпвы в постоянны. Обозначим ик через — ее. Таким образом, мы получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения: р"(х) +е~р(х) =.О; (2-!14] т)" (у) — лев (у) = О. (2-!16) Решением дифференциального урввнешгн (2-П4) является функция вида: О(х) тСт гол (гх) +Слети (ех]. (2-116) Согласна (2-79) общее решение уравнения (2-Пб) будет иметь вид: ф(у) =С,е "+С е (2-112) ' Наюе лалроаю ыот метод рееемотрлоаетол л гл 3 лрлмевемльао х еоаачлм лееталоолерлаа теллолроет,ллоотл.

60 Рассмотрим плоскую однородную пластину тпириной 6 с постоянньпл коэффициентом теплопроводвости д н неограниченным размерам в направленвн оси Оу (рис. 2-2]) (Л. 204). Г!ред~толагается, чтп нз поверхностях пластины, определяемых координатами х.==О, х=б и уеео, гемоература поддерживается постоянной н равной гь а вдоль поверхности у=-0 шмпература является функцией координаты х, т.

е. 1=Пх). Предполагается, что пластина относительно тонкая в направлении оси Ох, а поверхности, параллельные координатной плоскости хбр, имеют идеальную тепловую изоляцию. Ввиду зтого градиешпм температур д!/дх можно пренебречь, и температурное поле такой пластины будет двухмерным.

Для двухмерной стационарной задачи без внутренних источников теплоты Лифференциальное уравнение теплопроводности запишется: Обшее решгнне уравненвя (2-111) получим после перемножения уравнений (2-116) н (2-117). Решение (2-110) будет уловлетворять граннчпому условию 6=0 прн х О, когда ф(х)-0 прв х=б, а это возможно при С~=-О. Условие 6=0 прп р — ао выполняется тогда, когда ф(р] =0 прн р — ьоо, что возможна лишь прн Се=0.

Таким образом, решенне для (2-111) прнводится к виду 6=Се шмп (ех). Для того чтобы полученное выражение удовлетворяло граничным условннм 6-:=0 пра к=-б, должно К быть я>п [кб)=0 ~шп е —.пп)б (где п=!, 2, 3 -.-)- Рзе, тзс Поэт- Каждому значению и соответствует частное ре- огракичевэзэ паэшенгпк а каждому частному решению соотвшствует стан». свое эначенне постоянной интегрирования. Общее реп)ение есть сумма частных решений Лля всех послеловательных положительных значений чнсгл и." 6= ~„'С„е ' !и("— ," х).

=.1 (2-118 Полученное решенне удовлетворяет н третьем> граничному условны, т. е. 6=0 при у — т м. Оставшиеся постоянные С„определяются нз граничных условий б=г (х) при р=б. Прн этом Р(х)= 'Ц С„зйг( — х). — > Это ранепство есть разложение функции р(х) в ряд Фурье по сннусаы. Коэффициенты ряда Фурье определяютсн следующим выражепнгм: С„=- з ') Г (х) за ( — х) бх. а Окончательное решение для температурного поля рассматриваемой задачи с учетом последнего соотношеняя можно записать в випе 6= — Яе з!п э х~р(х)мп( а х)Ыс.

(2110) =3 з Итак, окончательное решение рассыотренной двухмерной задачн после определения постяпных интегрированна представгпся суммой бесконечнгло рпцз. Аналогичным образом моною получить решение н для сплошного цилиндра прн нзмененяя температурного поля в двух измереннях. Окончательное решение, как я для плксп>ны. представитсн суммой бесконечного ридя. 61 Прн реп1еиин конкретной задачи вычисляют интеграл в уравнении (2-Н9), исходя иэ условий задания температуры. Следующим этапом шшяется вычисление членов ряда в завиеимостн от условий сходимости и требуемой точности вычислений. Например, если 1=(з=сопз1 при у=б, то )(х) =Гг, а Н(х)=-1» — Гь Интеграл а Ь е ) =-- ( ' )~=- го т В г г (х) яп ( — ху1 Ас = — — (1„— Г,) ~ — соя — ' х) ~ = — „(ф — 1,], а (л =1.

3, б, 7 ...). У!одставив этот интеграл в уравнение (2.119), получим: з* 0=(Г,— 1) — ~е ' з)п ~ —" х)+ — е яп ~ — 'х)+ 1 '(з ) з ~з + —,е яп ( — х)+...]. (2-120) Можно показать, что полученный ряд сходится. Лля вычисления яэотерм существуют различные методы. Наиболее точным явлвется метод, при котором у прлпнмается е качестле постоянного параметра. По серия кривьи, отвечающих постоинному значению у, строят изотермы.