ОТЦ Попов.В.П (В.П. Попов. Основы Теории Цепей), страница 95

(10.48) Подставляя (10.48) в (10,39), получаем рг — — ((х„— Ртв) Яха+ Йв) =- е"тот, (10.49) 1 которого следует, что модуль коэффициента отражения на выходе инин р, =- 1, а аргумент и — 2агс18(Х„Яв) при х„)0; зЬг = — и — 2агс1д(Х„Яв) прн хк -0 н ~меняется в пределах от 0 до ~п. Используя выражения (10.42), (10.43), (10.49), найдем комплексные йствующие значения напряжения н тока линии: (((Х) =()г) 1+(ЬВ(хи) СО5(()х — Гр); )(х) =- — !г)Г1+(хи/)св)'5(п(рх' — ~р), (10,50) 4ЕА где р = агс(ц Яв/х„). Из выражения (10.50) видно, что амплитуды напряжения и тока изменяются вдоль линии по периодическому закону; (/ (х) = )Г2(/з)' 1+(/св/хн)' ~ сок(1)х' — <р) /; /щ(х) =ф'21; ), 1+(хв/Яв)'(з!пфх' — !р)(, причем координаты узлов напряжения (пучностей тока) ха = (2/т+ + 1) ) /4 + /„где /, = !рХ/(2п); й = О, 1, 2, 3, ..., а координаты пучностей напряжения (узлов тока) х,' = и)./2 + 1„где и == О, 1, 2, 3, ...

Распределение амплитуд напряжения н тока при чисто реактивной нагрузке в целом имеет такой же характер, как и в режимах холостого хода илн короткого замыкания на выходе (рис. 10.7), причем все узлы и все пучнасти смещаются на расстояние 1, так, что в конце линии ие оказывается ни узла, ни пучности тока или напряжения. Режим смешанных волн Режимы бегущих и стоячих волн это предельные случаи, в одном из которых амплитуда отраженной волны во всех сечениях линии равна нулю, а в другом — амплитуды падающей и отраженной волн во всех сечениях линии одинаковы. В остальных случаях в линии имеет место так называемый режим смешанных волн, которыйможно рассматривать как наложение режимов бегущих и стоячих волн.

В режиме смешанных волн энер- -ч-- — + — — 4 — Цотов ! ! ! ! ! гия, передаваемая падаюшей вол. ! ! ! ! ! ! ! ! ! ной к концу липин, частично поглощается нагрузкой, а частично отражается от пее, поэтому ампли- х'зх/с х зз/с з/т х/с туда отраженной волны больше а) нуля, но меньше амплитуды падающей волны. Как и в режиме стоячих волн, распределение амплитуд напряже- з е г/та!и !) 1.

(к) /м мат 455 нии и тока в режиме смешанных к' уз/с х зх с х/т х/" (! волн (рис. 10.8) имеет четко вь- ю/ раженные максимумы и минимумы, повторяющиеся через х/2 Рве 10.8. Распредел вие амплвттд Однако амплитуды тока н напря- аапряженив (а) " тока (б) вдоль линни без потерь в режиме смешанных жения в минимумах ие равны ну- волн при чисто резпстнвиоя нагРузке лю. Чем меныцая часть энергии отражается от нагрузки, т.е. чем выше степень согласования линии с нагрузкой, тем в меньшей степени выражены максимумы и минимумы напряжения и тока, поэтому соотношения между минимальными и максимальными значениями амплитуд напряжения и тока можно использовать для оценки степени согласования линии с нагрузкой.

Величина, равная отношению минимального и максималь- ного значений амплитуды напряжения или тока, называется к о э ф. фициентом бегущей волны К б =(гт ппп1(Ут тах = 1го т!п1~т игах. (10.51) Коэффициент бегущей волны может наменитьси а пределах от О до 1, причец чем больше Кб, тем ближе режим работы линии и режиму бегущих поли.

Очевидно, что в точках линии, в которых амплитуда напряжения (тока) достигает максимального значения, напряжения (токи) падающей и отраженной волн совпадают на фазе, а там, где амплитуда напряжения (тока) имеет минимальное значение, напряжения (токи) па. дающей и отраженной волн находятся в противофазе, следовательно, (1т гоах = (.Гт пад+ (.1т отр (1~ т!и = (Гт пад К» отр (10 52) Подставляя (10.52) в (10.51) и принимая во внимание,что отношение амплитуды напряжения отраженной волны к амплитуде напряжения падающей волны представляет собой модуль коэффициента отражения линии р (х), устанавливаем связь между коэффициентом бегущей волны н коэффициентом отражения: К, =(и „„— ит„.„Ии„„,д+и..„) =(1 — р(х)И1+р(х)).

В линии без потерь модуль коэффициента отражения в любом сечении линии равен модулю коэффициента отражения в конце линии, поэтому коэффициент бегущей волны во всех сечениях линии постоянен: Кб = (1 — рт)г(1 + рт). В линии с потерями модуль коэффициента отражения изменяется вдоль линии, достигая наибольшего значения в точке отражения (при х ==- Ц.

В связи с этим в линии с потерями значение коэффициента бегущей волны изменяется вдоль линии, становясь в конце нее минимальным. $103. ОПЕРАТОРНЫЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОДНОРОДНЫХ ДЛИННЫХ ЛИНИЯ Проходной четырехполюсник с распределеннымн параметрамн Длинную линию конечной длины (от р е з о к д л и н н о й л ин н и ), имеющую две пары внешних выводов, можно рассматривать как проходной четырехполюсник с распределенными параметрами.

Для получения основных уравнений и первичных параметров этого четырехполюсника воспользуемся уравнениями (10.10), (10.11), вы разин входящие в них постоянные интегрирования через ток гт и напРЯжение От в конце линии (10.37) и пеРейдЯ от показательных к ги- 466 перболическим функциям с помощью соотношений (8.95).

В результате имеем: О(х) =(), сЬ(ух') +Ев Г~ зй (ух'); 1(х) = (), зЬ (ух')~Яв+ 7! сЬ (ух'). (10.53) Полагая в уравнениях (10.53) х' =- 1, У (х) = У„.( (х) =. У„находим основные уравнения четырехполюсника с распределенными параметрами в форме А: ()~ = О~СЬ (у!) -[ Я~ (з 5Ь (т!); 1,=0~зЬ(у!)Яв+ 7! сЬ(у!) и его А-параметры А„= сЬ (у1) ' Ам = Яв зЬ (у!); Ам=зЬ(Я(Хв', Ам=сЬ(у!), (10.54) (10.55) Далее, используя формулы перехода (см. приложение 2), получаем выражения для любых других первичных параметров рассматриваемого четырехполюсника, в частности выражения для г'-параметров: Уп —— Ум = А~/А =сЬ(у!)/[Ув зЬ(у!)]; Ум=- Ум —— — 1/Агч= — 1![Ев зЬ(Р1)].

(10.56) зЬа=а П [1+а'!(п'и')]; сЬа= П (1+4аз7[(2п !)зпз]) л=! ч=~ 457 Сравнивая выражения (10.55) и (8.99), убеждаемся, что отрезок однородной длинной линии можно рассматривать как симметричный пассивныи проходной четырехполюсник, характеристическое сопротивление которого ровно волновому сопротивлению линии Лв, а характеристическая постоянная передачи — произведению коэффициента распространения у на длину отрезка 1. С другой стороны, волновое сопротивление и коэффициент распространения линии можно определить как характеристические сопротивление и постоянную передачи отрезка линии, имеющего единичную длину.

Следует отметить, что понятия характеристических сопротивления и постоянной передачи были первоначально введены в теории цепей с распределенными параметрами, а затем их стали использовать и применительно к четырехполюсникам с сосредоточенными параметрами. Рассмотрим особенности расположения нулей и полюсов первичных параметров четырехполюсников с распределенными параметрами в плоскости комплексного переменного р. Используя формулы для разложения гиперболических функций в бесконечные произведения преобразуем выражения (10.56) к виду П (1+ 47! (Р) (тЛ(2л — 1)' л" Ц 1' (Р)=)' (Р)= т (Р) 12в (Р) П [! + т' (р) 1'!(л' л')] (10.57) а 1 1 ! 1 тв(Р) =Ум(Р)— т (р) 12 (р) П [1-! 1'0!) Р1(л! л')1 (10.58) а где у (Р) и Ув (р) — операторный коэффициент распространения и операторное волновое сопротивление линии, определяемые выражения ми (10.6) и (!0.9) соответственно.

Ив выражений (10.87) и (10.88) следует, что первичные параметры четырехполюсников с распределенными параметрами в отличие от первичных параметров четырехполюсников с сосредоточеннмми параметрамн имеют бесконечно большое число нулей н полюсов в плоскости комплексного первненного р. Представляют интерес два частных случая — линии без потерь и резистивно-емкостные линии. В первом случае ()т, = 6! - О) выражения (10.57), (10.58) преобразуются к виду ~0 П (1+4р' 1,, С,(Ч[(2л — 1)т лтц (Р) = 1 ю(Р)— р()! а~ П [!+Рв(.! С, И!(лтл')] а=! — 1 1 )'гт(Р) = У'ю(Р)- РС! 1 П 1!+ РЧ. ! С, Р!(л'л')] л=! л=! — 1 ! )'гт (Р) =1 м (Р) П [1+РР! С>!'"'/(л' лтц а=! 488 откуда видно, что все нули и все полюсы операторных входных характеристик линии без потерь расположены на мнимой оси, причем нули и полюсы чередуются (рис. 10.9, а).

Во втором случае (~.! =- С, =- О) выражения для )'-параметров имеют вид ОО П (1 +4рр! С, (т1[(2л — 1)в л'Ц У'м(Р) = У-(Р) П [1-]-р)7,С, (в!'(и' л'и т. е, нули и полюсы операторных входных характеристик резистнвно-емкостной линии чередуются на отрицательной вещественной полуоси (рис.

10.9, б). Для описания четырехполюсников с распределенными параметрами можно использовать не только основные уравнения, связывающие токи н напряжения на его зажимах, но и уравнения другого типа, так называемые в о л н о в ы е уравнения, связывающие напряжения падающей н отраженной волн на входе и выходе четырехполюсника. Для 2/Щ получения волновых уравнений выразим напряжения и токи в начале и в конце линии через напряжения падающей и отраженной волн в начале 4с 01 „д, (.)1 „р и в конце Ут оах, Уа „„ линии: и, =-и,„„+и..т„; ~, =((),,— и,„„),гв; гС22 а) (~тпад ~ 11()асад+) 12("аотр) с)1отр Тм ('апад + ~ 22 )астр н в форме о: ('1отр ~11('1дад+ ~12("астр с'апад ~21(У1пад+ ~22 ()2отр В матричной форме эти уравнения можно записать следующим образом: 1пад = Т влад (10.60) 1отр = $1пад (!0.61) 22 и, =-(),.„+ и,„„; 1, ==- (и,п„д- и„„), К,.

(И.69) бг Подставляя выражения (10.59) в ос- рнс. ~ось полюсно-нулевые ионные уравнения четырехполюсника, анаграммы операторной вход- получаем два уравнения, связывающие "ой "роводнмост" "п (Р) лн ннн бев потерь (а) н реанстнвнапряжения 01 п,д, 01 отр ()2 пад но.емностной линии (о) 02 „р. Очевидно, что в зависимости от того, какие из указанных величин рассматривать в качестве независимых, можно получить шесть различных вариантов записи волновых уравнений.

Наиболее часто применяют волновые уравнения в форме Т: Матрицы Т и $ называются волновой матрицей и м а т р и не й р а с се я н н я соответственно. Их элементы могут быть выражены через любые первичные параметры четырехполюсника. Например, подставляя (10.59) в уравнения (8.32) и преобразуя их к виду (10.60) или (10.6! ), получаем ~ (А„+ АмЯв+ Лв А„+ А ); (Ам — АмЯв + Ув А„— А ) ] т ~ (Ап-, 'А„Яв.— Ув А — А ); (А„— А /2 — 2 А„+А )~' ) ] (А11+А22!Лв Яв А — А )' 2ЛА ') — А1,+А1, Лв+Лв А„ЬА„] 2; — (А„— Ам!2в -~-ЛвАм — А )! Нетрудно также установить связь между элементами матриц Т и 3.

~т„; т„т — т„т„ т„~ 1 — Т„ 1 ] 1 ~22 Т= — ] ~21 ] ~11 (~11 ~22 ~12 ~21) Используя полученные соотношения, находим волновую матрицу Т и матрицу рассеяния 5 отрезка однородной линии длиной 1: т=~'- ' „], (10.62) '=[.-' '."] (10.63) Как видно из выражений (10.62), (10.63), у рассматриваемого четырехполюсника с распределенными параметрами не равны нулю только два элемента Т„, Т22 волновой матрицы и два элемента 512, 521 матрицы рассеяния.

В общем случае у четырехполюсников с распределенными параметрами, не равными нулю, могут оказаться вее четыре элемента волновой матрицы или матрицы рассеяния. Используя выражения для первичных параметров (10.55), (10.56), можно рассмотреть любые частотные характеристики отрезков однородных длинных линий, а также построить сосредоточенные П-образные и Т-образные схемы замещения отрезков линий на произвольной фиксированной частоте 22. Входное сопротивление отрезка однородной длинной линии (10.64) 460 Найдем комплексное входное сопротивление У отрезка однородной длинной линии, нагруженного со стороны зажимов 2 — 2' на произвольное сопротивление Л„: 111 н ~" (т )+ в(т ) 3 1 хи 2ь(т!)+ев с)2 (тг)— Из выражения (10.64) непосредственно следует уже известное свойство однородной линии, заключающееся в том, что при согласованной нагрузке Л„=- Яа входное сопротивление линии равна волновому и не зависит от длины линии.