В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (Учебник - Сопротивление материалов - В. И. Феодосьев), страница 8

1.9, 6). Поскольку напрюкенне постоянно, то постоянным будет и относительное удлинение е. Поэтому перемещение и возрастает пропорционально расстоянию от основания колонны (рис 1.9, е). Нормальная сила в сечении з ранна 1«' = еГ = Рет ««« . Эпюра У показана на рис. 1.9, г. рассмотренная задача относится к числу часто встречающихся в сопротивлении материалов задач иа отыскание условий равнопрочности. Если напряжение в некотором теле (в данном случае в колонне) будет постоянно для всех точек объема, такую конструкцкю называют равнопрочной. В подобных конструкциях материал кспользуется наиболее эффективно. П р и м е р 1А. Кронштейн АВС нагружен на конце силок Р (рнс.

1.10, а). Требуется подобрать поперечное сечение стержней АВ н ВС с таким расчетом, чтобы возникающие в них напряжения имели одинаковую заданную величину о. При этом угол а должен быть выбран нз условия минимального веса конструкции при заданном вылете кронштейна !. Из условий равновесия узла В (рнс. 1.10, 6) находим нормальные силы в стержнях: Ф~ = Рсзй а, Фз = Р(з1пц. Лэлее определяем площади поперечного сечения стержней по величине заданного напряжения щ ««'г Р 1«'з 1 Г, = — ю — сгйа; Гз = — —. д и к з(па Рис. 1.10 Вес конструкцкн кронштейна цроцорцнонален объему: У = ПГ1 + Вбм Подставлкк длины и цлошадн стерзкней, находим — ей+.

Величина М имеет минимум ири сов~ а = 1/3; о = 65'. 1.3. Потенциальная энергия деформации прн растяжении — сжатии стержня Рассмотрим энергетические процессы деформирования упругого тела. Внешние силы, приложенные к упругому телу, совершают работу. Обозначим ее через А. В результате этой работы накапливается потенциальная энергия деформированного тела У. Кроме того, работа идет на сообщение скорости массе тела, т.е.

преобразуется в кинетическую энергию К. Баланс энергий имеет вид А = У + К. Если нагружение производится медленно, скорость перемещения масс тела будет весьма малой. Такой процесс нагружения называется сшашичесми.м. Тело в любой момент времени находится в состоянии равновесия. В этом случае А = У, и работа внешних сил целиком преобразуется в потенциальную энергию деформвлни.

При разгрузке тела за счет потенциальной энергии производится работа. Таким образом, упругое тело является аккумулятором энергии. Это свойство упругих тел широко используется, например, в заводных пружинах часовых механизмах и в различных упругих амортизирующих элементах (рессоры, пружины, торсионные валы и др.). На рис. 1.11 показан растянутый стержень.

Лля большей наглядности последующих рассуждений удлинение стержня изображено в увеличенном масштабе и соответственно отрезку Ы внизу показан график изменения силы Р. Рис. 1.11 Рз! У = —. 2ЕР Если нормальная сила Лг меняется вдоль оси стержня, то потенциальная энергия деформации должна определяться суммированием по участкам пя (см. рис. 1.11). Лля элементарного (1.8) Поскольку на пути Ы сила Р не остается постоянной, работа, затраченная на растяжение стержня, должна быть определена интегрированием по элементарным участкам пути.

На элементарном перемещении Ы(Ы) работа текущей силы Р равна аА = Р Н(Л1). Очевидно, работа на перемещении Ы численно равна площади треугольника ОВС, т.е. А = У = 1/2РЫ. Таким образом, работа, силы на упругом перемещении определяется половиной произведения наибольшего значенкя силы и перемещения Ы. Если бы между силой и перемещением не было прямой пропорциональности, вместо коэффициента 1/2 был бы получен какой-то другой коэффициент. В частности, при постоянной силе он равен единице.

В дальнейшем при определении работы внешних сил коэффициент 1/2 будем ставить без пояснений. Исключая из полученного для У выражения Ы, найдем уз й» участка с~о" = —, а для всего стержня 2ЕГ ' ! о (1.9) Энергетические соотношения широко используются при определении перемешения в сложных упругих системах. Общие теоремы, относящиеся к этому вопросу, будут рассмотрены в гл. 5. 1.4. Статически определимые и статически неопределимые стержневые системы Во всех рассмотренных до сих пор задачах нормальные силы в поперечных сечениях стержня определяли при помоши метода сечений из условий равновесия отсеченной части.

Но такое нахождение нормальных сил, да и вообще внутренних снл, далеко не всегда возможно. На практике постоянно встречаются системы, в которых имеется большое число наложенных связей, и для определения внутренних сил уравнений статики оказывается недостаточно. Такие системы называются стпатпичесии неопределимыльи. и,l Рис. 1.12 На рис. 1.12, а показан обычный кронштейн, состояшии из двух стержней. Усилия в стержнях легко определить из условий равновесия узла А. Если конструкцию кронштейна усложнить, добавив еше один стержень (рис. 1.12,6), то усилия в стержнях прежним способом уже найдены быть не могут: для узла А может быть по-прежнему составлено только два уравнения равновесия, а число неизвестных сил равно трем.

В таких случаях говорят, что система один раз статически неопределима. Усложняя конструкцию дальше и вводя новые стержни, можно получить два (рис. 1.12, в), три и т.д. раза статически неопределимые системы. На рис. 1.13 показано еще три системы. Первая из них статически определимая, вторая и третья— соответственно один и два раза статически неопределимые. Рис. 1.1З Лля всех вариантов конструкций, показанных на рис. 1.13, можно получить только два независимых уравнения равновесия. Пля варианта а этих уравнений достаточно, чтобы однозначно определить силы в двух стержнях; для вариантов б и в число сил в стержнях больше числа уравнений, поэтому определить три 1случай б) или четыре (случай в) силы из двух уравнений невозможно.

В теоретической механике подобные задачи определенного решения не имеют, в то время как это наиболее распространненый случай в технике. Если стержни, например в варианте в, прикрепить к динамометрам, то при нагружении силой Р они покажут, какие силы в них возникли. Причем сколько бы раз стержни не нагружали силой Р, возникающие в них силы будут одни и те же. Определить их в так называемых статически неопределимых задачах можно только с учетом реальных своиств элементов конструкции. В этом принципиальное отличие теоретической механики от сопротивления материалов. Учет реальных свойств материалов позволяет рассчитывать любые конструкции, когда число связей в системе превышает число независимых уравнений статики, Можно сказать, что под а раз статически неопределимой системой понимается такал, в которой число связей превышает число независимых уравнений статики на в единиц.

Определение всех неизвестных сил, или, как говорят, раскрытие статической неопределимости, возможно только путем составления уравнений, дополняющих число уравнений статики до числа неизвестных. Эти дополнительные уравнения отражают особенности геометрических связей, наложенных на деформируемые системы, и условно называются уравнениялеи перемен4ений Для стержневых систем, показанных на рис. 1.12, уравнения перемещений должны выразить тот факт, что узел А деформированной системы должен быть общим для всех стержней. В примере, показанном на рис. 1.13, уравнения перемещений в случае, если брус А — жесткии, должны показать, что все нижние концы тяг после нагружения остаются на одной прямой и т.п. Рассмотрим принципы составления уравнений перемещений на простейших примерах раскрытия статической неопределимости систем.

П р и и е р 1.З. Прямой однородный стержень (рис. Ь14) жестко закренлен но концам и магружем врццольмой силой Р, врнложеннай на расстоянии одной трети длины от верхней заделки. Требуется онределнть каибольщие нанряження, возникающие в стержне. Смстема, очевндно, одмн рзз статнческп меапределмма, поскольку две реахцям опор В» м Вв не могут быть определены кз одного уравненмя равновесмя Вл + Вв = Р. Уравнен не перемещений должно вырззмть тот факт, что общая длмна стержня не меняется. На сколько удлнкмтся верхнзз часть, ма столько же сохратктся кмжняя. Слеловательно, )Ы»с( = ~й1ва~. Выражая удлмнення через смлы, цолучнм 1 2 "3= $ Вл — 1 Вл — 1 ВР ЕГ нлк Решая эта уравнение совместно с уравменмем равновесня, находмм: В» ††= 2(3Р, Вв —— 1(3Р. Наябалыиее напряженке вм»» = 2Р/(3Г).

П р н м е р 1.б. Сметена трех стержнем одмнаковых сеченмй (рмс. 1.15, я) нагружена вертмкальной силой Р. Определкть усклмз в стержнях. р Рис. 1.15 Прн составления уравнений равновесна узла А (рнс. 1.13, 6) воспользуемся прмнцмпом немзменностм начальных размеров. Поскольку под действнем силы Р угол а меняетсз неэначмтельно, будем считать ега неизменным. Тогда имеем № = Фз, 2№ соз а + 1Цз = Р. Полученных уравнемкй недостаточно для определения всех смл.

Необходимо составмть дополнительно одно уравнение перемещений. Для этага сопоставим форму узла А до и после нагруженнз (рмс. 1.15, е). Отрезок АА' представляет собой вертккальное перемещекме узла А. Оно равно, очевидно, удлнненмю среднего стержня: АА' = Ыз. Из точки А проводим дугу охружностк АВ с центром в точке С. Отрезок А'В представляет собой удлнненке бокового стержня: А'В = Ым Вследствие малости перемещений дугу АВ можно принять за отрезок, перпендикулярный прямой А'С, и тогда, учитывая, что угол а в результате удлинений стержней меняется незначительно, получим Ь1з = Ыз сова. Это и есть искомое уравнение перемешений.

Выразим удлинения через №1 №1 склы: Ы1 = —, Ь!з = —; тогда ЕУсоза' ЕЕ' № = 1тз соя и. з Решая это уравнение совместно с уравнением равмовесия, получим Рсоз а № = Фэ = Фз = 1+ 2сояз а' 1+ 2савз а П р и м е р 1.7. Жесткая невесомял балка шарнирно закреплена в точке О н связана с двумя одинаковыми упругимн тягами (рнс. 1.16, а).