Сборник задач по аналитической геометрии (Сборник задач), страница 11

Доказать, что прямая 5х — 2у — 1 = 0 парал* лельна прямым 5х — 2у-1-7 = О, 5х — 2у — 9 =- 0 и делит расстояние между ними пополам. 325. Даны три параллельные прямые: !Ох+ 15ув — 3 = О, 2х+ Зу+ 5 = О, 2х+ Зу — 9 = О. Установить, что первая из них лежит между двумя другими, и вы числить отношение, в котором она делит расстояние между ними, 326. Доказать, что через точку Р(2; 7) можно провести две прямые так, чтобы их расстояния от точки Я(1; 2) были равны 5. Составить уравнения этих прямых, 327. Доказать, чта через точку Р(2; 5) можно провести две прямые так, чтобы их расстояния от точки О(5; 1) были равны 3. Составить уравнения этих прямых.

328. Доказать, что через точку С(7; —.2) можноправести только одну прямую так, чтобы расстояние ее от точки А(41 — 6) было равно 5. Составить ее уравнение„ 329. Доказать, что через тачку В(4; — 5) невозможно провести прямую так, чтобы расстояние ее от точки С( — 2, 3) было равно!2, 330. Вывести уравнение геометрического места точек, отклонение которых от прямой 8х — 15у — 25 = 0 рав~ но — 2.

50 331. Составить уравнение прямых, параллельных 1'."'-,'.'!;..::;прямой Зх — 4у — 10 =- 0 н отстоящих от нее на рас-".-"-у стоянки И = 3. 332. Даны две смежные вершины квадрата А(2; 0) 1-,1;,",",;:;"' и В( — 1; 4). Составить уравнения его сторон. 333. Точка А(5; — 1) является вершиной квадрата, 1::;:,;::: одна из сторон которого лежит на прямой 4х — Зу— — 7 = О. Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата. 334. Даны уравнения двух сторон квадрата 4х— Зу+ 3 = О, 4х — Зу — 17 = 0 н одна из его вершин А(2; — 3). Составить уравнения двух других сторон этого квадрата.

335. Даны уравнения двух сторон квадрата 5х + + 12у — 10 =О, 5х + 12у + 29 = О, Составить уравнения двух других его сторон при условии, что точка М ( — 3; 5) лежит на стороне этого квадрата. 336, Отклонения точки М от прямых 5х — 12д — 13= = 0 и Зх — 4у — 19 = 0 равны соответственна — 3 и — 5. Определить координаты точки М. 337.

Составить уравнение прямой, проходящей через тачку Р( — 2; 3) на одинаковых расстояниях от точек А!5; — 1) и В(З; 7). 338. Составить уравнение геометрического места так, рзвноудаленных от двух параллельных прямых: 1) Зх — у+7=0, 2) х — 2у+3=0, Зх — у — 3=0; х — 2у+ 7=0; 3) 5х — 2у — б =- О, 10х — 4у+ 3=0. 339.

Составить уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми: 1) х — Зу+ 5=0, 2) х — 2у — 3=0, Зх — у — 2 =- 0; 2х + 4у + 7 = 0; 3) Зх+ 4у — 1=0, 5х + 12у — 2 = О. 340. Составить уравнения прямь*,х, которые проходят через точку Р(2; — 1) и вместе с прямымн 2х — у+ 5 О Зх+ бу '1 О ~~р~~у~~ равнабедреннь~е треугольники. 1. 841.

Определить, лежат ли точка М(1; — 2) и начало коорди)тат в одном, в смежных или вертикальных уг. лах, образованных при пересечении двух прямых: !) 2х — у — 5=0, 2) 4х+Зу — 10=0, Зх+ у+ 10 = 0; 12х — 5у — 5 = 0; 8) х — 2у — 1=0, Зх — у — 2 =0. 342. Определить, лежат ли точки М(2; 3) и тч'(5; — 1) в одном, в смежных или вертикальных углах, образо- ванных при пересечении двух прямых: 1) х — Зу — 5=0, 2) 2х+7у — 5=-0, 2х+ 9у — 2 =0; х+Зу+7=0; 3) 12х+ у — 1=-0, 13х+ 2у — 5 =0.

343. Определить, лежит ли начало координат вну- три или вие треугольника, стороны которого даны урав- нениями 7х — 5у — 11 = О, 8х+ Зу+ 3! = О, х+ 8у— — 19=0, 344. Определить, лежит ли точка М( — 3; 2) внутри или вне треугольника, стороны которого даны уран. нениями х+ у — 4 = О, Зх — 7у+ 8 = О, 4х — у — 31 = = — О. 345. Опрелелнть, какой нз углов, острый или тупой, образованных двумя прямы~и Зх — 2д+5 = 0 и 2х+. + у — 3 = О, содержит начало координат.

346, Определить, какой из углов, острый или тупой, образованных двумя прямыми Зх — 5у — 4 0 и х+ ;)-2у+ 3 = О, содержит точку М(2; — 5). 347. Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми Зх — у — 4 =- О и 2х+бу+ 3 = О, в котором лежит начало координат. 348. Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми х — 7у+5 О, 5х+ 5у — 3 = О, смежного с углом, содержащим начало координат. 349.

Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми х+2у — 11=-0 и Зх — 6у — 5 О, в котором лежит точка М(1; — 3). 350. Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми 2х — Зу — 5 = О, бх — 4у+ 7 = О, смежного с углом, содержащим точку С(2; — 1). 62 з с 351, Составить уравнение биссектрисы острого угла, ';;~,:-.Огбразованного двумя прямымн Зх Л- 4у — 5 = — О, 5х— ;„;-;,",,'-12у+ 3 = 0 352.

Составить уравнение биссектрисы тупого угла, ,Ф~!;;::;:',оэбрвзтзванного двумя прямыми х — Зд+ 5 — - — О, Зх— у+!5 = О. *ф!' ",,'!в 9 15. Уравнение пучка прямых ;;),;::,-,'' Соттокуп~тость прямых, проходттптих через некоторую точку 5, -","""-":-"иазтсттагтся пучком срямык центром Я Если .А х+В,,*т+ С1 = О и Атх+ Веу+Ст = Π— уравиенкя .::-'.";-.'':;: ''двух пряных.

псресскатоюихся в то.тке 5, то уравнение а(А х+ В ум-СО+ р тА х+ В и+ Се) =О, (!) где а, р — какие у.одно чит;лз, че равные одновременно кулю, определяет прямую, так ке проходяцтуо через точку В. Велес тото. в уравнении (!) числа и, 6 всегда возможно подобрать тют, чтобы оно определило любую (заванее назначеннзю) прямую, проходятцтю через точку 8, впаяв говоря, любую прямую пучка с центром В. Поэтому уратксние в.да [() называется уравнением пучка (с центром В) Если сс чь О, то, леля обе части уравнения (!) на и и полагая — Х, получим: А х -+ В,у+ С, + Х (А х+ Вту+ Се) = О.

(2) Этим уравнением можно определить любею прямую пучка с центй):":: трои В. кроме тоя. которая соответствует и = О, т, ".. кроме прямой 353. Найти центр пучка прямых, данного уравнением сс(2х+Зу — 1)+ ~(х — 2у — 4) = О. 354. Найти уравнение прямой, принадлежащей пуч(~~тз' ку прямых се тх+ 2д — 5)+ 6(Зх — 2у + 1) =- 0 и :'к:: !) проходящей через точку А(3: — 1); 2) проходящей через начало коорлинат; 3) параллельной оси Ох; 'т;:)! 4) параллельной оси Оу; 5) параллельнгй прямой 4х+ Зу+ 5 = — О, 6) перпендикулярной к прямой 2х+ Зу+ 7 = О. 355, Составить уравнение прямой, проходящей через ):"::. точку пересечения прямых Зх — 2у+ 5: — — О, 4х+ Зу— — 1 = 0 и отсекающей на оси ординат отрезок Ь = — 3. Решить задачу, не определяя ксторлтп ат точки пересечения данных прямых.

356. Составить уравнение прямой, которая проходит ,через точку пересечения прямых 2х + у — 2 = — О, 53 х — 5у — 23 = 0 и делит. пополам отрезок, ограниченный точками М1(5; — 6) и Мз( — 1; — 4). Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых. 357. Дано уравнение пучка прямых и(Зх — 4у — 3)+ + ()(2х+Зу — 1) = О, Написать уравнение прямой этого пучка, проходящей через центр тяжести однородной треугольной пластинки, вершины которой суть точки А( — 1; 2), В(4; — 4) и С(6; — 1), 358.

Дано уравнение пучка прямых сс(Зх — 2у — 1)+ +5(4х — 5у+8) = О. Найти прямую этого пучка, проходящую через середину отрезка прямой х+2у+ 4 = О, заключенного между прямыми 2х+ Зу+ 5 = О, х+~ .+ 7у — 1 = О. 359. Даны уравнения сторон треугольника х + 2у— — 1 = О, бх+ 4у — 17 = О, х — 4у+! 1 = О. Не определяя координат его вершин, составить уравнения вы. сот этого треугольника. 360.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2х -1- 7у — 8 = О, Зх+ 2у+ +5 0 под углом в 45' к прямой 2х+Зу — 7=0.Ре-' шить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых. 361. В треугольнике АВС даны уравнения высоты АЛ" х+ 5у — 3 = О, высоты ВА'; х'+ у — 1 = 0 и стороны АВ: х+Зу — 1 = О. Не определяя координат вершин и точки пересечения высот треугольника, составить уравнение двух других сторон и третьей высоты. 362. Составить уравнения сторон треугольника АВС, зная одну его вершину А(2; — !), а также уравнения высоты ?х — 10у+ 1 = 0 и биссектрисы Зх — 2у+ 5=0, проведенных нз одной вершины.

Решить задачу, не вы. числяя координат вершин В и С. 363. Дано уравнение пучка прямых а(2х+у+8)+ +р(х+у+3) = О. Найти прямые этого пучка, отрезки которых, заключенные между прямыми х — у — 5= О, х — у — 2 =О, равны )/5. 364. Дано уравнение пучка прямых а(Зх+у — 1)+ + 5(2х — у — 9) = О. Доказать, что прямая х -(- Зу+ +!3 = 0 принадлежит этому пучку. 365. Дано уравнение пучка прямых ск(5х+ Зу+6) + + ()(Зх — 4у — 37) = О.

Доказать, что прямая 7х-1-2у— — 15 = 0 не принадлежит этому пучку. 366. Дано уравнение пучка прямых а(Зх'+2у — 9)+; + р(2х+ 5у+5) = О. Найти, при каком значении С 64 1:; '!.": 'прямая 4х — Зу+ С = 0 будет принадлежать этому '.,: пучку. 367. Дано уравнение пучка прямых ск(бх+Зу — 7)+ „,'+ р(Зх+ 10у+4) — О. Найти, при каких значениях а ...", прямая ах+ 5у+9 0 не будет принадлежать этому ',' 'пучку, 368.

Центр пучка прямых а(2х — Зу+ 20)+ ;:-'-"' + 5(Зх+ 5у — 27) О является вершиной квадрата, ':-.-' дизгональ которого лежит на прямой х+7у — 16= О. Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата 369. Дано уравнение пучка прямых а(2х+ 5д+'4)+ + р (Зх — 2у+ 25) = О, Найти прямую этого пучка, отсекающую на координатных осях отличные от нуля отрезки равной величины (считая от начала координат). 370.

Дано уравнение пучка прямых я(2х+у+1)+ 'ж'," с+5(х — Зд --10)=-0. Найти прямые этого пучка, отсекаюгдие на координатных осях отрезки равной длины ',(считая от начала координат). 371. Дано уравнение пучка прямых к(21х+8д— — 18)+ 5(11х+Зд+12) = О. Найти прямые этого пучка, отсекающие от координатных углов треугольники с площадью, равной 9 кв. ед. 372, Дано уравнение пучка прямых и(2х+у+4)+ + 5(х — 2у — 3) = О. Доказать, что среди прямых этого пучка существует только одна прямая, отстоящая от точки Р(2; — 3) на расстоянии с(= )/10 ° Написать уравнение этой прямой. 373, Дано уравнение пучка прямых и(2х — у — 6)+ + 5(х — у — 4) = О. Доказать, что среди прямых этого пучка нет прямой, отстоящей от точки Р(З; — 1) на расстоянии о = 3. 374.

Составить уравнение прямой, 'проходящей через точку пересечения прямых Зх+у — 5=0, х— — 2у+10 = 0 и отстоящей от точки С( — 1; — 2) на расстоянии и'= 5. Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых, 375. Дано уравнение пучка прямых а(бх+ 2д+ + 4) + ()(х+ 9у — 25) = О. Написать уравнения прямых это1о пучка, которые вместе с прямыми 2х — Зу+ + 5 = О. 12х+ 8у — 7 = 0 образуют равнобедренные треугольники. 376. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения прямых 11х + Зу — 7 = О, 65 12х+у — 19 = О на одинаковых расстояниях от точек А(3; — 2) и В( — 1; 6). Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.