Лабораторная работа 3: Исследование нелинейных систем автоматического регулирования

Тема: Исследование нелинейных систем автоматического регулирования

Целью работы является исследование свойств нелинейных систем (устойчивости и формы импульсной характеристики). В работе исследуются несколько структур нелинейных систем, а именно:
- два варианта линейной части системы: статическая из трёх инерционных звеньев, а также астатическая из одного интегрирующего и двух инерционных звеньев;
- три варианта нелинейностей с каждой из вышеупомянутых линейных частей: нелинейности «насыщение», «зона нечувствительности», «зона нечувствительности с насыщением».

Краткие теоретические сведения

Одним из важнейших показателей в вопросе устойчивости или неустойчивости нелинейной системы является её диаграмма Л.С. Гольдфарба. При построении этой диаграммы на одной координатной системе комплексной плоскости строится годограф комплексного коэффициента передачи линейной части системы как функция частоты а также годограф функции, обратной коэффициенту передачи нелинейного звена как функция амплитуды .
Здесь - коэффициент передачи нелинейного звена по первой гармонике как функция амплитуды гармонического сигнала А, приложенного ко входу нелинейного звена. В свою очередь, этот коэффициент есть отношение первой гармонике негармонического сигнала на выходе нелинейного звена к амплитуде входного сигнала, являющегося гармоническим с амплитудой А. Ясно, что речь идет о гармонической линеаризации характеристики нелинейного звена.
Дальнейшее решение вопроса сводится к тому, пересекаются ли данные годографы, или нет. Если да, то в системе возможны автоколебания, если нет, то невозможны, и систему можно считать абсолютно устойчивой. Корни подобного подхода легко найти в уравнении гармонического баланса. Действительно, если в системе возможны автоколебания, то уравнения гармонического баланса записывается следующим образом:
Эта запись означает, что в системе выполняется и баланс амплитуд, и баланс фаз для автоколебаний. Переписав это немного иначе, получаем:
.
Это равенство и означает, что если в системе возможны автоколебания (выполняется условие гармонического баланса), то годографы должны пересечься. Однако, не каждому пересечению годографов на диаграмме Л.С. Гольдфарба соответствует наличие устойчивых автоколебаний. Может быть так. Что годографы пересекаются, а колебаний в системе практически не наблюдается. В этом случае говорят, что теоретически баланс фаз и амплитуд для автоколебаний вроде бы есть, но автоколебания неустойчивы, и даже если их спровоцировать внешней силой, они быстро прекратятся после снятия этой внешней силы. Так каким же пересечениям годографов линейной и нелинейной частей соответствует устойчивые автоколебания, а каким - нет? Этот вопрос в своё время детально изучил профессор Л.С. Гольдфарб и доказал следующее: автоколебания будут устойчивы в точке пересечения годографов, если при приращении аргумента А на годографе нелинейной части он выходит из пределов комплексной плоскости, очерченных годографом линейной части. Если же годограф нелинейной части входит внутрь вышеуказанной области комплексной плоскости, то автоколебания будут неустойчивыми, то есть, практически их нельзя будет наблюдать.
Что касается фазового портрета, то вкратце можно отметить, что строится он на так называе6мой фазовой плоскости, где по горизонтали откладывается величина исследуемой функции (обычно выход системы), а по вертикали – её первая производная. Так что ни о каком привычном для радистов фазовом сдвиге на фазовой плоскости нет даже речи. Если в системе возможны устойчивые автоколебания, то фазовая траектория, двигаясь по часовой стрелке, асимптотически приближается к замкнутой кривой (часто эллипс), называемой предельным устойчивым циклом, и будет вращаться там до выключения системы. Если же в системе невозможны автоколебания, фазовый портрет представляет собой спираль, сходящуюся в состояние покоя системы (часто начало координат).
В заключение стоит сказать, что пересечений годографов на диаграмме Гольдфарба может быть и несколько. В таком случае там будут и несколько предельных замкнутых циклов на фазовом портрете.