ВКР: Пространственное развитие вязких струйных течений

Содержание

1 Введение2

2.1 Граничные условия......................................................................................................... 5

3 Численное решение задачи11

4 Усовершенствованный метод вычисления производных с помощью мно-гочленов Чебышева14

5 Течение вязкой жидкости под действием силы тяжести20

5.1 Формирование профиля скорости и вычисление толщины струи, метод ко-нечных разностей......................................................................................................................... 20

5.2 Сравнение расчетов задачи и асимптотического соотношения............................ 21

5.3 Формирование профиля скорости и вычисление толщины струи, метод ап-проксимации полиномами Чебышева................................................................................................. 24

5.4 Скорость выхода на асимптотику и результаты по оптимизации численного метода при помощи многочленов Чебышева................................................................................. 26

6 Течение двухслойной жидкости29

7.1 Течение кольцевой поверхностно заряженной струи во внешнем электри-ческом поле.......................................................................................................................................... 34

8 Течение в канале37

9 Выводы39

10 Приложение40

11 Список литературы41

1. Введение

В данной дипломной работе рассматривается задача пространственного развития вяз-ких струйных течений.

Важность этого направления исследований обусловлена как сложностью ее матема-тической постановки, так и значением ее прикладных результатов. Результаты, полу-ченные в этой области широко применяются в энергетике, медицине и при производстве материалов. А также для создания принтеров и при конструировании каналов.

Обратимся к истории вопроса по этому научному направлению. Один из основных подходов в решении задач со струйными течениями является метод равных расходов. Ме-тод впервые был предложен В.Я. Шкадовым, им в работе [1] описывается вид, в котором ищется решение и приводятся результаты расчетов. Метод эффективно используется для вычисления течений в сплошных средах, описываемых уравнениями пограничного слоя. Впоследствии метод применялся в различных постановках в его совместных работах c Л.П.Холпановым в [2], В.К.Ахметовым [3] и Ю.В.Медведевым [4] [5]. Наиболее обширно он применяется в [2] для описания гидродинамики и тепломассообмена в пленке жид-кости. В монографии [3] рассматривается применение этого метода для моделирования аэродинамических потоков в теплоэлектростанциях, работающих по принципу сжигания ископаемого топлива. Разработанные модели нашли применение в отраслях тяжелой и

химической промышленности.

Теперь рассмотрим какие результаты уже были получены по задаче формирования струи.

В [7] рассматривается осесимметричное течение закрученных капиллярных струй, со-стоящих из несмешивающихся жидкостей. Решение данной задачи строится в постановке задачи Коши при использовании многочленов Чебышева для построения численного ре-шения. Предложенный в статье метод позволяет найти значение x при котором течение выходит на асимптотическое решение, и найти характеристики течения для промежу-точных сечений.

В более поздней работе [8] рассматривается течение двухслойной осесимметричной струи с предварительной закруткой. Вводится система поверхностей равных расходов. Далее решение ищется в виде аппроксимации через полиномы Чебышева. Окончательно постановка сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая решается методом Адамса-Бэшфорта. Непосредственные расчеты приведены для таких жидкостей как вода и бензин. Авторы статьи отмечают, что многочлены Чебышева могут быть использованы для решения более широкого класса задач.

Возвращаясь к данной работе, рассматривается некоторый резервуар, из которого под действием силы тяжести истекает вязкая, несжимаемая жидкость с заданным рас-ходом и профилем скорости, характер движения осесимметричный. Далее вводится ци-линдрическая система координат, производится обезразмеривание уравнений. И с помо-щью центрального в этой работе метода равных расходов, составляется численная схема моделирующая течение.

В качестве приложений рассмотренной теории и метода вычислений, будут разобраны следующие задачи.

Задача о течение двухслойной жидкости с разными коэффициентами динамической вязкости [7].

Задача течения жидкости под действием электрического поля [9]. Которая может быть решена как вариация исходной задачи с изменением граничного условия на по-верхности жидкости. Это условие является по сути законом сохранения электрического

заряда. Рассмотрено две постановки с течением всей струи и течение с внутренней по-лостью заполненной маслом или газом под давлением.

Исследование посвящено формированию струи под действием вязкостных, гравита-ционных и электрических сил. Объект исследования - бесконечно длинная, несжимае-мая, однородная, осесимметричная вязкая струя. Влияние сил поверхностного натяже-ния предполагается незначительным по сравнению с действием вязкостных и гравита-ционных сил.

Новизна подхода заключается в использовании многочленов Чебышева для аппрок-симации функции профиля скорости и его производных необходимых для численного ме-тода. Это позволило увеличить скорость работы алгоритма и точность расчетов. Так же построенные коэффициенты разложения позволяют оценить скорость выхода решения на асимптотику и проанализировать члены каких порядков затухают больше остальных. Отталкиваясь от этого, можно дать более точные критерии момента выхода решения на асимптоту. Построенный алгоритм нашел применение в смежных задачах описанных выше, некоторые из них широко востребованы для решения промышленных задач.

Одним из приложений метода является задача течения кольцевой, поверхностно за-ряженной струи во внешнем электрическом поле. В ней метод равных расходов был применен впервые.

Полученные в рамках этой работы результаты не противоречат ранее известной асимптотике.