Курсовая работа: Приведение уравнения квадратичной формы к каноническому виду

Оглавление
Глава 1. Анализ задания и алгоритмы решения………………………………...2

1. Текст задания……………………………………………………………….2
2. Собственные вектора и собственные значения линейного оператора….2
3. Особенности алгоритмов…………………………………………………..3
4. Сравнение алгоритмов……………………………………………………..8

Глава 2. Практическая реализация алгоритма…………………………………9
2.1. Выбор структуры данных для хранения матриц………………………….9
2.2. Особенности реализации алгоритма……………………………………….10
2.3. Результаты экспериментов (результаты запуска кода)…………………...13
Заключение……………………………………………………………………….15
Список литературы………………………………………………………………16
Приложение………………………………………………………………………17














Глава 1. Анализ задания и алгоритмы решения

1. . Текст задания

Реализовать класс для матрицы квадратичной формы (или «обертку» для массива, хранящего её коэффициенты). Перегрузить операторы ввода/вывода в поток >>, << так, чтобы можно было вводить и выводить параметры тензора и из файла, и из консоли. Реализовать процесс поиска собственных чисел и собственных векторов линейного оператора. Собственные числа при выводе ответа должны быть отсортированы по убыванию. Собственные векторы при выводе результата должны соответствовать порядку собственных чисел. Построить каноническое уравнение квадратичной формы с помощью метода Лагранжа. Построить уравнение квадратичной формы в собственном базисе. Проверить сохранение инвариантов уравнения квадратичной формы.

1. . Собственные вектора и собственные значения линейного оператора

Самый простой линейный оператор - умножение вектора на число λ. Этот оператор просто растягивает все вектора в λ раз. Его матричная форма в любом базисе - diag(λ,λ,...,λ). Фиксируем для определенности базис {e} в векторном пространстве L и рассмотрим линейный оператор с диагональной матричной формой в этом базисе, α=diag(λ1,λ2,...,λn). Этот оператор, согласно определению матричной формы, растягивает ek в λk раз, т.е. Aek=λkek для всех k=1,2,...,n. С диагональными матрицами удобно работать, для них просто строится функциональное исчисление: для любой функции f(x) можно положить f(diag(λ1,λ2,...,λn))=diag(f(λ1),f(λ2),...,f(λn)). Таким образом возникает естественный вопрос: пусть имеется линейный оператор A, можно ли выбрать такой базис в векторном пространстве, чтобы матричная форма оператора A была диагональной в этом базисе? Этот вопрос приводит к определению собственных чисел и собственных векторов.

Определение. Пусть для линейного оператора A существует ненулевой вектор u и число λ такие, что
Au=λ⋅u.
Тогда вектор u называют собственным вектором оператора A, а число λ - соответствующим собственным числом оператора A. Совокупность всех собственных чисел называют спектром линейного оператора A.
Возникает естественная задача: найти для заданного линейного оператора его собственные числа и соответствующие собственные вектора. Эту задачу называют задачей о спектре линейного оператора.