Ответы к экзамену: Теория к экзамену
Описание
Вопросы для подготовки к экзамену по математическому анализу для всех специальностей ИУ (кроме ИУ9), РЛ, ПС, РТ (экзамен 2024-25 уч.г.)
1. Сформулируйте и докажите теорему о единственности предела сходящейся последовательности.
2. Сформулируйте и докажите теорему об ограниченности сходящейся последовательности.
3. Сформулируйте и докажите теорему о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел.
4. Сформулируйте и докажите теорему о сохранении функцией знака своего предела.
5. Сформулируйте и докажите теорему о предельном переходе в неравенстве.
6. Сформулируйте и докажите теорему о пределе промежуточной функции.
7. Сформулируйте и докажите теорему о пределе произведения функций.
8. Сформулируйте и докажите теорему о пределе сложной функции.
9. Докажите, что 
10. Сформулируйте и докажите теорему о связи функции, ее предела и бесконечно малой.
11. Сформулируйте и докажите теорему о произведении бесконечно малой функции на ограниченную.
12. Сформулируйте и докажите теорему о связи между бесконечно большой и бесконечно малой.
13. Сформулируйте и докажите теорему о замене бесконечно малой на эквивалентную под знаком предела.
14. Сформулируйте и докажите теорему о необходимом и достаточном условии эквивалентности бесконечно малых.
15. Сформулируйте и докажите теорему о сумме конечного числа бесконечно малых разных порядков.
16. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности суммы, произведения и частного непрерывных функций.
17. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности сложной функции.
18. Сформулируйте и докажите теорему о сохранении знака непрерывной функции в окрестности точки.
19. Дайте определение функции, непрерывной в точке. Сформулируйте теорему о непрерывности элементарных функций. Докажите непрерывность функций y = sin x, y = cos x.
20. Сформулируйте свойства функций, непрерывных на отрезке.
21. Сформулируйте определение точки разрыва функции и дайте классификацию точек разрыва. На каждый случай приведите примеры.
22. Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты.
23. Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.
24. Сформулируйте и докажите теорему о связи дифференцируемости и непрерывности функции.
25. Сформулируйте и докажите теорему о производной произведения двух дифференцируемых функций.
26. Сформулируйте и докажите теорему о производной частного двух дифференцируемых функций.
27. Сформулируйте и докажите теорему о производной сложной функции.
28. Сформулируйте и докажите теорему о производной обратной функции.
29. Сформулируйте и докажите свойство инвариантности формы записи дифференциала первого порядка.
30. Сформулируйте и докажите теорему Ферма.
31. Сформулируйте и докажите теорему Ролля.
32. Сформулируйте и докажите теорему Лагранжа.
33. Сформулируйте и докажите теорему Коши.
34. Сформулируйте и докажите теорему Лопиталя – Бернулли для предела отношения двух бесконечно малых функций.
35. Сравните рост показательной, степенной и логарифмической функций на бесконечности.
36. Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
37. Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
38. Выведите формулу Маклорена для функции y = ex с остаточным членом в форме Лагранжа.
39. Выведите формулу Маклорена для функции y = sin x с остаточным членом в форме Лагранжа.
40. Выведите формулу Маклорена для функции y = cos x с остаточным членом в форме Лагранжа.
41. Выведите формулу Маклорена для функции y = ln(1 + x) с остаточным членом в форме Лагранжа.
42. Выведите формулу Маклорена для функции y = (1 + x)α с остаточным членом в форме Лагранжа.
43. Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие неубывания дифференцируемой функции.
44. Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие невозрастания дифференцируемой функции.
45. Сформулируйте и докажите первое достаточное условие экстремума (по первой производной).
46. Сформулируйте и докажите второе достаточное условие экстремума (по второй производной).
47. Сформулируйте и докажите достаточное условие выпуклости функции.
48. Сформулируйте и докажите необходимое условие точки перегиба.
49. Сформулируйте и докажите достаточное условие точки перегиба.
МГТУ им. Н.Э.Баумана
avanturny
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
