Ответы к экзамену: Экзаменационная программа

Темы вышмат

1. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица неопределенных интегралов.
2. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
3. Определенный интеграл, его геометрический смысл. Свойства определенного интеграла
4. Производная определенного интеграла с переменным верхним пределом. Формула ньютона Лейбница
5. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле
6. Вычисление площади плоской фигуры в декартовой и полярной системах координат.
7. Вычисление длины плоской кривой в декартовых и полярных координатах.
8. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Теоремы сравнения.
9. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
10. Частные производные, геометрический смысл
11. Дифференцируемость функции двух переменных. Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия дифференцируемости (формулировка)
12. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных (формулировка)
13. Дифференциалы высших порядков.
14. Производные сложных функций.
15. Производные неявных функций.
16. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
17. Экстремумы функции двух переменных. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума (формулировка)
18. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
19. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости.
20. Теорема сравнения для рядов с положительными членами.
21. Признаки сходимости рядов с положительными членами (признак Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши)
22. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница. Оценка остатка.
23. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
24. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Непрерывность суммы, почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов (формулировка).
25. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интеграл и радиус сходимости. Свойства степенных рядов.
26. Ряд Тейлора. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда Тейлора к его функции. Единственность разложения функции в степенной ряд.
27. Табличные разложения в ряд Тейлора. Основные приемы разложения функции в степенной ряд.
28. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (формулировка). Общее и частные решения. Общий и частный интегралы.
29. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли.
30. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (формулировка). Общее и частное решения. Общий и частный интегралы.
31. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
32. Линейные однородные дифференциальные уравнения высшего порядка, свойства их решений.
33. Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Определитель Вронского. Необходимое условие линейной зависимости системы функций.
34. Условия линейной независимости решений однородного линейного дифференциального уравнения.
35. Линейные однородные дифференциальные уравнения. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.
36. Метод Эйлера решения линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
37. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.
38. Метод подбора частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Принцип суперпозиции.
39. Нормальная система дифференциальных уравнений. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи коши (формулировка).
40. Нормальная система линейных дифференциальных уравнений. Структура общих решений однородных и неоднородных систем.
41. Автономная нормальная система двух линейных дифференциальных уравнений. Фазовые траектории, фазовый портрет. Исследование фазовых траекторий однородной системы. Понятие устойчивости точки покоя (нулевого решения) системы.