Вопросы/задания: Вопросы к экзамену

Вопросы к экзамену по курсу

КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, РЯДЫ АКФ, 2 курс, гр. АК3-31

Модуль 1. Краткие сведения о квадрируемой замкнутой области на плоскости, площадь такой области. Критерий квадрируемости плоской области. Множество меры (площади) нуль. Теорема о связи квадрируемости замкнутой области на плоскости с характером ее границы. Примеры вида границ, гарантирующих квадрируемость области.

Определение двойного интеграла. Формулировка критерия существования двойного интеграла. Формулировки теорем: о необходимом и достаточных условиях существования двойного интеграла.

Формулировка и доказательство свойств двойного интеграла: линейность, аддитивность, сохранение знака подынтегральной функции, интегрирование неравенств. Свойства двойного интеграла: сохранение знака подынтегральной функции, интегрирование неравенств, теоремы об оценке двойного интеграла и о среднем значении.

Определение двойного и двукратного повторного интегралов. Формулировка (полная) теоремы о сведении двойного интеграла к повторному для -правильной области. Формулировка (полная) теоремы о сведении двойного интеграла к повторному для -правильной области.

Криволинейные координаты на плоскости. Формула для вычисления площади параллелограмма с малыми сторонами в криволинейных координатах (через , , ). Геометрический смысл модуля якобиана. Формула для элемента площади в криволинейных координатах. Формула для площади плоской области (в криволинейных координатах).

Формулировка (полная) теоремы о замене переменных в двойном интеграле. Вычисление якобиана в полярной системе координат. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.

Краткие сведения о кубируемой замкнутой области в пространстве, объем такой области. Критерий квадрируемости плоской области. Множество меры (объема) нуль. Связь кубируемости области в пространстве с характером ее границы. Примеры вида границ, гарантирующих кубируемость замкнутой области.

Определение тройного интеграла. Формулировки теорем: о необходимом и достаточных условиях существования тройного интеграла.

Формулировка и доказательство свойств тройного интеграла: линейность, аддитивность, сохранение знака подынтегральной функции, интегрирование неравенств.

Свойства тройного интеграла: сохранение знака подынтегральной функции, интегрирование неравенств, теоремы об оценке тройного интеграла и о среднем значении.

Определение тройного и повторного интегралов. Формулировка (полная) теоремы о сведении тройного интеграла к повторному. Частные случаи для правильных областей во внешнем интеграле.

Криволинейные координаты в пространстве. Формула для вычисления объема параллепипеда с малыми сторонами в криволинейных координатах (через , , , ). Геометрический смысл модуля якобиана. Формула для элемента объема и в криволинейных координатах. Формула для объема тела (в криволинейных координатах).

Формулировка (полная) теоремы о замене переменных в тройном интеграле. Цилиндрическая и сферическая системы координат. Вывод формулы якобиана в цилиндрической и сферической системах координат. Вычисление тройного интеграла в цилиндрической и сферической системах координат. Формулы для вычисления объема тела в декартовых, цилиндрических и сферических координатах.

Геометрические и физические приложения кратных интегралов. Вывод формул для вычисления площади, массы, статических моментов и координат центра масс плоской пластины с помощью двойного интеграла. Вывод формул для вычисления массы и моментов инерции плоской пластины с помощью двойного интеграла. Формулы для вычисления объема тела; массы, координат центра масс, статических моментов, моментов инерции неоднородных тел с помощью тройного интеграла. Вывод формулы для площади поверхности с помощью двойного интеграла в декартовой системе координат.

Несобственные двойные интегралы 1-го рода: определение, признаки их сходимости. Вычисление интеграла Пуассона.

Несобственные двойные интегралы 2-го рода, признаки их сходимости.

Модуль 2. Криволинейный интеграл 1-го рода: определение, теорема существования, свойства, правила вычисления, вычисление в различных системах координат, геометрический и физический смысл.

Криволинейный интеграл 2-го рода: определение, теорема существования, свойства, правила вычисления и физический смысл.

Задача о вычислении массы материальной кривой. Формулы для вычисления массы и координат центра масс материальной кривой. Задача определения работы переменной силы на криволинейном пути.

Доказательство формулы Грина для односвязой области. Вывод формулы Грина для многосвязных областей. Вычисление площади плоских фигур с помощью криволинейного интеграла 2-го рода.

Формулировка и доказательство условий, эквивалентных независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования. Вывод формулы Ньютона-Лейбница. Нахождение функции по ее полному дифференциалу с помощью криволинейного интеграла 2-го. рода.

Поверхностные интегралы 1-го рода: определения, теоремы существования, свойства, формулы для вычисления в декартовой системе координат, формулы для вычисления, физический и геометрический смысл. Задача о массе материальной поверхности. Формулы для вычисления массы и координат центра масс поверхности.

Поверхностные интегралы 2-го рода: определения, теоремы существования, свойства, формулы для вычисления в декартовой системе координат, формулы для вычисления, физический и геометрический смысл.

Скалярное и векторное поля. Векторные линии, их дифференциальные уравнения. Градиент скалярного поля.

Дивергенция векторного поля: определение, свойства, вычисление в декартовой системе координат, инвариантность относительно выбора систем координат, физический смысл.

Циркуляция и ротор векторного поля: определения, свойства, вычисление в декартовой системе координат, инвариантность относительно выбора систем координат, физический смысл.

Поток векторного поля через замкнутую поверхность и дивергенция векторного поля.

Формулировка и доказательство теоремы Остроградского-Гаусса для объемно односвязной области. Случай произвольной области ***. Формулировка теоремы Остроградского-Гаусса в координатной и векторной формах Ее применение для вычисления поверхностных интегралов.

Линейный интеграл. Циркуляция векторного поля и ее физический смысл.

Формулировка теоремы Стокса (в координатной и векторной форме) и ее применение для вычисления криволинейных интегралов 2-го рода. Физический смысл ротора и циркуляция векторного поля.

Условия независимости линейного интеграла от пути интегрирования в пространстве.

Оператор Гамильтона (набла) и оператор Лапласа: определение, запись с их помощью дифференциальных операций векторного анализа первого и второго порядка.

Потенциальное векторное поле и его свойства. Вычисление линейного интеграла в потенциальном поле.

Соленоидальное векторное поле: определение и свойства.

Гармонические функции. Гармонические (лапласовы) поля: определение и свойства.

Модуль 3. Основные понятия числовых рядов: общий член ряда, частичная сумма, сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Формулировка и доказательство необходимого признака сходимости числового ряда. Остаток числового ряда. Простейшие свойства сходящихся и расходящихся рядов: почленное сложение, умножение ряда на число, добавление, отбрасывание и перестановка конечного числа членов ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Гармонический ряд и его расходимость.

Знакоположительные ряды, признаки их сходимости. Формулировка и доказательство признака сравнения и предельного признака сходимости. Формулировка и доказательство признаков Даламбера, радикального признака Коши и интегрального признака Коши. Вывод условий сходимости рядов Дирихле.

Знакопеременные ряды – определение. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Свойства рядов, сходящихся абсолютно и условно (включая формулировку теоремы Римана).

Знакочередующиеся ряды – определение. Формулировка и доказательство признака Лейбница. Оценка суммы и остатка знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница.

Понятие об умножении рядов**. Признаки Абеля-Дирихле и Абеля сходимости знакопеременных рядов**.

Функциональные последовательности и ряды, область сходимости ряда. Определение функционального ряда и равномерной сходимости функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. Формулировка свойств равномерно сходящихся рядов: непрерывность суммы, почленное интегрирование и дифференцирование.

Степенные ряды. Определение степенного ряда. Формулировка и доказательство теоремы Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда; привести пример. Область сходимости степенного ряда. Формулы для радиуса сходимости степенного ряда. Основные свойства степенных рядов.

Разложение функции в ряд Тейлора. Формулы для коэффициентов ряда Тейлора. Ряды Тейлора и Маклорена. Теорема о разложимости функции в ряд Тейлора и Маклорена. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды; формулы разложения функций: , , , , , и в ряды Маклорена с областью пригодности этих разложений.

Ряды Фурье. (По лекциям, см. ниже). Ортогональность системы тригонометрических функций на отрезке . Ортонормированность на отрезке системы функций, связанных с системой тригонометрических функций. Тригонометрический ряд Фурье на отрезке и коэффициенты этого ряда (уметь вывести коэффициенты Фурье). Теорема Дирихле. Тригонометрический ряд Фурье на отрезке и его коэффициенты. Неполные ряды Фурье, т.е. разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. Сдвиг отрезка разложения, т.е. разложение в ряд Фурье функции, заданной на отрезке , где .