Курсовая работа: Решение обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка методом Рунге-Кутта

РЕФЕРАТ
Курсовой проект: 27 с., 8 рис., 12 табл., 9 источников.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ФОРМУЛЫ РУНГЕ-КУТТА. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД РУНГЕ-КУТТА.
Объект исследования – дифференциальные уравнения второго порядка.
Предмет исследования – метод Рунге-Кутта для решения дифференциальных уравнений.
Цель работы: показать использование метода Рунге-Кутта при решении обыкновенных дифференциальных уравнений.
Методы исследования: математические, аналитические, классификации и описания, применение программной среды Matlab.
Исследования и разработки: изучен метод Рунге-Кутта и его применение в решении обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
Автор работы подтверждает, что приведённый в ней материал правильно и объективно отражает состояние исследуемого процесса, а все заимствованные из литературных и других источников теоретические, методологические положения и концепции сопровождаются ссылками на их авторов.




СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ................................................................................................... 4
1 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА МЕТОДОМ РУНГЕ-КУТТА........................................................................... 5
1.1 Идея метода Рунге-Кутта.......................................................................... 5
1.2 Формулы Рунге-Кутта............................................................................... 7
1.3 Примеры формул Рунге-Кутта различных степеней.................................... 7
2 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РУНГЕ-КУТТА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА............................................................ 12
2.1 Решение обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка методом Рунге-Кутта Программный код метода Рунге-Кутта...................................................................................... 12
2.2 Решение обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка методом Рунге-Кутта в среде Matlab.................................................................................................................... 21
ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................................................ 24
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ......................................... 25
ПРИЛОЖЕНИЕ А Результаты ручного вычисления методом Рунге-Кутта...... 26
ПРИЛОЖЕНИЕ Б Программный код метода Рунге-Кутта.............................. 27




ВВЕДЕНИЕ

Обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы являются математическими моделями для значительного числа прикладных задач в различных областях естествознания (механика, физика и др.), техники и экономики. Как правило, эти задачи практически исключают получение аналитических решений. В первую очередь это относится к нелинейным дифференциальным уравнениям либо к системам линейных дифференциальных уравнений высокой размерности с переменными коэффициентами. В таких случаях единственная возможность их исследования или решения обычно связана с применением численных методов.
Во многих случаях такие задачи приводятся к численному решению задачи Коши или некоторого набора таких задач. Простейшим примером задачи Коши является начальная задача для дифференциального уравнения


для которого требуется найти частное решение на интервале удовлетворяющее заданному начальному условию:


где – начальная точка, – начальное значение и предполагается, что
функция – правая часть уравнения (0.1) – является непрерывной функцией. Далее предполагается, что функция такова, что решение задачи (0.1), (0.2) существует и единственно на любом заданном интервале . Здесь < ≤ ∞, хотя в общем случае задачу Коши можно рассматривать и на интервалах , когда -∞ ≤ < .
Поскольку отыскание точного решения задачи Коши (0.1), (0.2) в виде или, по крайней мере, значения , как правило, не представляется возможным, то эту задачу приходится решать приближенными методами вычислительной математики, которые в зависимости от формы представления получаемого решения можно разделить на две группы:
1. Аналитические методы, доставляющие приближенное решение уравнения (0.1) в виде некоторого аналитического выражения;
2. Численные методы, доставляющие приближенное решение в виде некоторой таблицы значений искомой функции в заданных точках , совокупность которых называется сеткой на , а каждая точка , соответственно, – ее узлами.