Курсовая работа: Вычисление коэффициентов дробных скручиваний Дена

Содержание

• Введение

Теория групп кос является важной областью в математике, дающей ценную инфор-мацию об узлах и поверхностях. Значительным достижением в этой области является определение коэффициентов дробных скручивания Дена для кос, позволяющее глуб-же понять и проанализировать свойства кос. Отметим, что далее в нашей работе, КДСД будет аббревиатурой коэффициентов дробных скручиваний Дена.

В этой работе мы стремимся разработать алгоритм и программу, которые эффек-тивно вычисляют КДСД для кос, и использовать их для дальнейшего изучения этих коэффициентов. Во введении дается исторический обзор групп кос и КДСД, обсуж-дается их применение, обрисуется мотивация, стоящая за этой работой, и представ-ляется ее краткое содержание.

0.1 Историческое введение и применения

Изучение кос можно проследить до начала 20-го века, когда фундаментальный вклад внесли такие математики, как Эмиль Артин, Курт Рейдемайстер и Дж.У. Алексан-дер. Работа Эмиля Артина над группами кос в 1920-х годах (см. [1]) заложила основу для алгебраического изучения кос. Основополагающая книга Курта Рейдемайстера “Knotentheorie” ([2]), опубликованная в 1932 году, еще больше расширила понимание кос и их взаимосвязи с узлами.

Понятие коэффициентов дробных скручиваний Дена может быть определено мно-жеством различных способов и фактически может быть определено не только для кос, но и для классов отображений поверхностей общего вида с краем. Впервые понятие КДСД появилось в литературе в 1898 году в работе Габая и Эртеля [3]. Определение, которое наиболее полезно для нас, основано на понятии порядка Деорнуа на груп-пах кос и дано в работе [4] А.В.Малютина. Преимущество этого подхода состоит в том, что порядок Деорнуа дает конкретную характеристику положительности косы в терминах ее слова в образующих Артина.

Коэффициенты дробных скручиваний Дена для кос широко используются в тео-рии узлов, топологии малых размерностей, и даже в областях, таких как криптогра-фия, информатика и физика.

0.2 Основные результаты работы

Мотивация, стоящая за этой работой, проистекает из потребности в эффективном ал-горитме и программе для расчета КДСД для