Топологическая классификация интегрируемых геодезических потоков в потенциальном поле на двумерных многообразиях вращения

1 Введение
Теории лиувиллевой классификации интегрируемых гамильтоновых систем, созданной А.Т. Фоменко и его школой (см. [1], том 1,2), посвящено много работ. Суть теории А.Т. Фоменко заключается в том, что интегрируемой системе с двумя степенями свободы, ограниченной на трехмерное неособое компактное изоэнергетическое многообразие, сопоставляется некоторый инвариант, имеющий структуру графа с числовыми метками. Этот инвариант, называемый меченой молекулой, или инвариантом Фоменко-Цишанга, дает полное описание (с точностью до послойной эквивалентности) слоения Лиувилля данной системы на изоэнергетических поверхностях. Е.Н. Селивановой была получена лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков на торе (см. [1], том 2, параграф 3.1), Т.З. Нгуеном, Л.С. Поляковой и В.С. Матвеевым на двумерной сфере (см. [1],том 2, параграф 3.3). Е.О. Кантонистова продолжила их работу и получила полную классификацию интегрируемых геодезических потоков на многообразиях вращения с потенциалом в случае линейного интеграла. В данной работе обобщена теоремы В.С. Матвеева и Е.Н Селивановой: получена Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков на торе вращения и на бутылке Клейна с потенциалом в случае линейного интеграла. Эта классификация получена на основе вычисления инварантов Фоменко-Цишанга (меченых молекул) исследуемых систем. Подробное изложение основ теории топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем, а также ее приложения к исследованию механических систем см. в работе А.Т. Фоменко [3], а также в работах А.В. Болсинова и А.Т. Фоменко [1], [4], [5], А.Т. Фоменко [6], [7], А.Т. Фоменко и П.В. Морозова [8], А.В. Болсинова, А.Т.Фоменко и А.А. Ошемкова [9], Е.А. Кудрявцевой, И.М. Никонова, А.Т. Фоменко [10], Е.А. Кудрявцевой, А.Т. Фоменко [11], А.Ю. Коняева, А.Т. Фоменко [12], В.В. Фокичевой (Ведюшкиной) и А.Т. Фоменко [13], [14]. Автор выражает благодарность А.Т.Фоменко за постановку задачи и А.А.Ошемкову за многочисленные и важные обсуждения. 2 Топология интегрируемого геодезического потока на торе вращения в потенциальном поле 2.1 Постановка задачи Определение 1. Многообразие M с заданной на нем метрикой g называется многообразием вращения (с метрикой вращения соответственно), если определено эффективное действие окружности S 1 на M изометриями. Рассмотрим риманово многообразие M, диффеоморфное двумерному тору (M = T 2 ), со стандартными угловыми координатами ϕ ∈ R/2πZ, θ ∈ R/2πZ и метрику g следующего вида: ds 2 = dθ 2 + f 2 (θ)dϕ 2 , (1) где f(θ) : R/2πZ → R – гладкая положительная функция. Замечание 1. Многообразие M = T 2 с определенной на нем метрикой (1) – многообразие вращения с метрикой вращения (при действии элемента ϕ0 группы S 1 точка с координатами (ϕ,θ) ∈ M переходит в точку с координатами (ϕ + ϕ0, θ) ∈ M
).
Рассмотрим натуральную механическую систему на кокасательном расслоении T ∗M к M со стандартной симплектической структурой ω = dp ∧ dq и функцией Гамильтона H = 1 2 g ij (q)pipj + V (q), (2) где q = (q 1 , q2 ) – локальные координаты на M = T 2 , p = (p 1 , p2 ) – соответствующие импульсы, т.е. координаты в T ∗ q M, а g ij – матрица, обратная к матрице метрики g. Определение 2. Пусть (M, g) – многообразие, такое что M = T 2 , с заданной на нем метрикой ds 2 = dθ 2 + f 2 (θ)dϕ 2 . Будем говорить, что пара функций (f(θ), V (θ)) (где θ ∈ R/2πZ, V : R/2πZ → R – гладкая функция) задает натуральную механическую систему, инвариантную относительно вращения, на (M, g). Утверждение 1. Гамильтонова система с гамильтонианом (2) на многообразии вращения M = T 2 для всех пар функций (f(θ), V (θ)) является вполне интегрируемой в смысле Лиувилля. Доказательство. Фазовое пространство системы четырехмерно, каждая точка задается координатами (pθ, pϕ, θ, ϕ), где (pθ, pϕ) – импульсы точки, (θ, ϕ) – координаты точки. Система имеет два первых интеграла: интеграл энергии H = p 2 θ 2 + p 2 ϕ 2f 2(θ) + V (θ) и дополнительный первый интеграл K = pϕ (т.к. p˙ϕ = − ∂H ∂ϕ = 0). Соответствующие им векторные поля полны, так как изоэнергетические поверхности Q3 h = {H = h = const} компактны. 2.2 Построение грубой молекулы Утверждение 2. Изоэнергетическая поверхность Q3 h является неособой тогда и только тогда, когда h 6= V (θi), где V 0 (θi) = 0. Доказательство. Изоэнергетическая поверхность Q3 h является неособой тогда и только тогда, когда на ней dH 6= 0. Запишем dH : dH = {pθ, pϕ f(θ) 2 , − p 2 ϕ f 0(θ)f 3(θ) + V 0 (θ), 0}. dH = 0 тогда и только тогда, когда pϕ = 0, pθ = 0, V 0 (θ) = 0. Т. к. гамильтониан имеет вид H = p 2 θ 2 + p 2 ϕ 2f 2(θ) + V (θ), то в точках (0, 0, θ, ϕ), где dH = 0 имеем: H = V (θ), V 0 (θ) = 0. Лемма 2.1. Функция K является функцией Ботта на неособой изоэнергетической поверхности Q3 h тогда и только тогда, когда функция Uh(θ) := 2f 2 (θ) (h − V (θ)), называемая эффективным потенциалом, является функцией Морса.